Diferenciación Numérica

Facultad de Ciencias UNAM
Tema:
Diferenciación Numérica
Alumno: Siddhartha Estrella Gutiérrez.
Materia: Análisis Numérico
Profesor: Pablo Barrera
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INDICE
Preliminares ………………………………………………………………………… 3
Diferenciación numérica …………………………………………………………… 5
Ejemplos ………………………………………………………………………………7
Ordenes superiores …………………………………………………………………...9
3
PRELIMINARES
Fórmula de Newton:
Pagina (41)
La fórmula de Newton puede ser escrita de manera compacta como:
Donde
es el polinomio de interpolación
son las diferencias divididas
son los puntos de interpolación con j=0,…,n
Las diferencias divididas son de la siguiente forma:
Y así sucesivamente de manera recursiva de tal manera que la regla general es:
Error Polinomial:
Pagina 51
Si
es una función de variable real en el intervalo
tal que
son n+1 puntos distintos. En el intervalo
tal que
es el
polinomio de interpolación que interpola a la función en los puntos. Entonces el error
esta dado por:
Si tomamos
como un punto distinto de
en
grado < = n + 1 que interpola a
tal que
. Si
y en
es el polinomio de
entonces
4
A lo que sigue
Por lo que para todo
Por lo que el error queda en términos del siguiente término de la forma de newton
Igualdad 2.37
Página 66
Si
es continua para toda x y
Para toda
es suficientemente suave se sigue que:
y no solo para
Igualdad 2.38
Página 67
Además:
Igualdad 2.17
Página 52
Sea f(x) una función de variable real, definida en [a,b] y k veces diferenciable en (a,b)
entonces si
son k+1 puntos distintos en [a,b] existe
tal que
Para k=1 es el teorema del valor medio.
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DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA.
Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una función f(x) dada. Las
reglas que resultan son de grande importancia para la solución de ecuaciones
diferenciales. Pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones numéricas de una
derivada a partir de los valores de la función. Pero el método de diferenciación
numérica basado en interpolación numérica es un proceso inestable y no se puede
esperar una buena aproximación aun cuando la información original esta bien
aproximada, por lo que el error f’(x) – p’(x) puede ser muy grande especialmente
cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.
Ahora su p(x) es un polinomio de interpolación de f(x) entonces e(x) = f(x)- p(x) es el
error de aproximación, por lo que e’(x)=(f(x) – p(x))’= f’(x) – p’(x) es el error de
interpolación en la derivación de f(x) con respecto a la aproximación con el polinomio
p(x).
Tomamos
una función continuamente diferenciable en el intervalo
tomamos los puntos
distintos en el intervalo.
y
De la igualdad 2.37 tomamos
……….(1)
Donde
tal que
Para
es el polinomio de grado <= k que interpola a
en
y
suficientemente suave tenemos por 2.38
Por hipótesis
que obtenemos:
es continuamente diferenciable por lo que se puede derivar (1) por lo
…(2)
Definiendo el operador D como la derivada tenemos:
con
en el intervalo [c,d], si aproximamos la derivada en f por
entonces por (2) el error en la aproximación
medio de la derivada en el polinomio
es:
O bien:
6
…..(3) con
Es el error en la diferenciación numérica nos dice poco sobre el error ya que casi nunca
se conocen los valores de la derivada k+2 ni de la derivada k+1 y casi nunca se conocen
los argumentos
, Pero la expresión puede ser simplificada eligiendo el
valor
de manera adecuada de tal forma que la derivada sea evaluada o bien
eligiendo apropiadamente los puntos de interpolación.
Si
es un punto de interpolación tomamos
contiene el factor
se sigue que
desaparece.
Mas aun
Por lo que si elegimos
segundo termino:
para alguna i, como
y el primer término de (3)
con
para alguna i= 0,..,k tengo que (3) se reduce quedando el
con
……….(4)
Otra manera de simplificar la expresión es mediante la elección de
por lo que el segundo término de (3) desaparece
tal que
para
¿Cómo se logra esto?
Si k es un número impar lo podemos hacerlo poniendo Xj simétricamente alrededor de
de tal manera que las distancias:
…….(5)
Por lo que
En consecuencia:
Así derivando los intervalos:
Para todo j= 0,.. (k-1)/2 por lo que se sigue que
lo que queda
así (5) se cumple en (3) por
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……………..(6)
La derivada de f en (6) es de orden mayor que la de (4)
EJEMPLOS
1.
Si k=0 entonces
por lo que el polinomio es una constante que no es una
buena aproximación en la mayoría de los casos para
Si elegimos k >=1 tenemos
es independiente de la
Si
es el punto inicial entonces utilizando (2) y (4) con
por lo que
“diferencia anterior” queda:
…….(7)
la fórmula de la
Con el error
2.
Si elegimos
obtenemos junto con
entonces
son simétricos alrededor de
La “diferencia central”
Si elegimos
aproximación a
…..(8) con error
lo suficientemente cercanos entonces
en el punto medio
cual no recuerda el teorema del valor medio para derivadas
alguna
entre
y
y de (6)
es una mejor
que si
o
lo
para
8
3.
k=2 , tenemos tres puntos de interpolación por lo que
Entonces derivando:
Si
por (2) y (4)
…..(9)
En particular si los tres puntos son equidistantes con espacio h entonces:
Por lo que la ecuación (9) se reduce a
..…(10) con
entre
para algún
y
Si
“Diferencia central” con
(8).
entonces tenemos
para
……(11) que es la
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ORDENES SUPERIORES
Si se desea derivar (1) dos veces tenemos:
……(12)
Con
tengo:
con
Si se eligen
…….(13)
tenemos:
con
…....(14)
En puntos simétricos alrededor de
de orden superior en el error.
De 2.17 inferimos que
=
son lo suficientemente cercanas con
con
tiene como resultado una formula con derivadas
da una buena aproximación si las
.
Las fórmulas de diferenciación numérica son de la forma:
……(15) con
y con
espacio
entre los puntos de interpolación.
Es decir la derivada de f se calcula mediante el conocimiento de sus valores en k puntos
por medio de la derivada de su polinomio de aproximación a este proceso se le conoce
como discretizacion de la derivada mientras que al error
se le conoce como
error de discretizacion.
La intención además es encontrar la h optima para obtener el mejor resultado de la
diferenciación.
En la tabla 1 se muestra el cálculo de derivadas de la función exponencial:
Calculado en una IBM 7094
se calcula como (8) y
se calcula como (14)
En la exponencial la primera y segunda derivada son las mismas pero los cálculos en
sus aproximaciones en la discretizacion difieren.
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El resultado es mejor cuando h=0.01 después de estos las aproximaciones son cada ves
peores.
Para analizar el fenómeno tomamos de (11)
Al redondear se produce un error por lo que tomamos:
en lugar de
en lugar de
y
Para la derivada calculada en computadora:
Con (11) tenemos:
……(16)
Así el error de
en
consiste en dos partes: el error de redondeo y el error de
discretización, el error de discretización se hace cero cuando
pero el error de
redondeo aumenta en la práctica pues
no decrece.
Así la h óptima es cuando el error de las magnitudes de los errores de redondeo y
discretizacion se minimizan. Por lo que si tomamos la función exponencial en el punto
cero con un error de discretizacion de
y un error de redondeo de
entonces de (16)
y
tomando
aproximadamente uno
Tenemos
Para g mínima:
por lo que
así en la tabla la mejor h cae entre 0.01 y 0.001
Utilizando suficiente presición aritmética se combate el error por redondeo pero el
problema es intratable cuando crece significativamente el numero de puntos una buena
alternativa es la interpolación con spline cúbico aunque hay otras como las de los
mínimos cuadrados.