C TÉCNICAS DE INTEGRACI´ON

C
C.1
C.1.1
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
CONCEPTOS PRELIMINARES
Función primitiva
Sea f : I → R, donde I es un intervalo real. Diremos que la función F : I → R
es una función primitiva de la función f en I si se cumple que
F 0 (x) = f (x),
∀x ∈ I.
Observaciones:
• Si F : I → R es una primitiva de la función f , entonces también es una
primitiva de f la función G = F + C para cualquier C ∈ R.
• Si F y G son dos funciones primitivas cualesquiera de la función f en
el intervalo I, entonces se cumplirá que F 0 (x) = G0 (x) = f (x), ∀x ∈ I.
En particular, F 0 (x) − G0 (x) = 0, ∀x ∈ I, de donde se concluye que las
funciones F y G se diferencian en una constante, es decir,
G(x) = F (x) + C
∀x ∈ I,
para alguna constante C ∈ R.
Las observaciones anteriores justifican la siguiente definición. Dada una función f : I → R, se llama integral indefinida de f , y se denota por
Z
f (x) dx,
al conjunto de todas las funciones primitivas de f en el intervalo I. Suele
escribirse,
Z
f (x) dx = F (x) + C, C ∈ R,
donde F es una primitiva cualquiera de la función f en el intervalo I.
555
556
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
C.1.2
Linealidad de la integral
De las propiedades de la derivada se deduce fácilmente que
1) Si F : I → R es una primitiva la función f en el intervalo I y G : I → R
es una primitiva de la función g en el intervalo I, entonces F + G es una
primitiva de la función f + g en el intervalo I, por lo que
Z
Z
Z
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx.
2) De igual forma, si F : I → R es una primitiva de la función f en el
intervalo I y λ es un número real cualquiera, entonces la función λ F es
una primitiva de la función λ f en el intervalo I. En términos de integral
indefinida, esta propiedad significa que,
Z
Z
λ f (x) dx = λ f (x) dx.
C.2
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
C.2.1
Integrales inmediatas
Consideraremos como integrales inmediatas las comprendidas en la siguiente
tabla
Z
[f (x)]n+1
a) [f (x)]n f 0 (x) dx =
+ C, si n 6= −1.
n+1
Z 0
f (x)
b)
dx = ln |f (x)| + C.
f (x)
Z
af (x) f 0 (x) dx =
c)
af (x)
+ C.
ln a
(a > 0, a 6= 1).
Z
ef (x) f 0 (x) dx = ef (x) + C.
d)
Z
f 0 (x) sen[f (x)] dx = − cos[f (x)] + C.
e)
Z
f 0 (x) cos[f (x)] dx = sen[f (x)] + C.
f)
Z
g)
Z
0
2
f (x)(1 + tg [f (x)]) dx =
f 0 (x)
dx = tg[f (x)] + C.
cos2 [f (x)]
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Z
¡
¢
f (x) 1 + cotg2 [f (x)] dx =
0
h)
Z
i)
Z
j)
Z
557
f 0 (x)
dx = − cotg(f (x)) + C.
sen2 [f (x)]
f 0 (x)
p
dx = arsen [f (x)] + C.
1 − [f (x)]2
f 0 (x)
dx = artg (f (x)) + C.
1 + [f (x)]2
Z
f 0 (x) sh [f (x)] dx = ch [f (x)] + C.
k)
Z
f 0 (x) ch [f (x)] dx = sh [f (x)] + C.
l)
Z
m)
Z
n)
f 0 (x)
= th [f (x)] + C.
ch 2 [f (x)]
¯
¯
p
f 0 (x)
¯
¯
p
dx = argsh [f (x)] + C = ln ¯f (x) + [f (x)]2 + 1¯ + C.
2
1 + [f (x)]
Z
¯
¯
p
f 0 (x)
¯
¯
p
dx = argch [f (x)] + C = ln ¯f (x) + [f (x)]2 − 1¯ + C.
2
[f (x)] − 1
¯
¯
Z
f 0 (x)
1 ¯¯ 1 + f (x) ¯¯
p)
dx = argth (f (x)) + C = ln ¯
+ C.
1 − [f (x)]2
2
1 − f (x) ¯
o)
Ejemplo C.1
• Calcular las siguientes integrales:
Z √
Z
3
a)
x2 dx
b
cotg x dx
Z
b)
tg2 x dx.
Solución:
Z
Z √
2
x 3 +1
3√
3
3
a)
x2 dx = x2/3 dx = 2
x5 + C.
+C =
5
+
1
3
Z
Z
cos x
b)
cotg x dx =
dx = ln | sen x| + C.
sen x
Z
Z
Z
Z
2
2
2
tg x dx = (tg x + 1 − 1) dx = (tg x + 1) dx −
dx = tg x − x + C.
c)
558
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
C.2.2
Integrales casi inmediatas
Se denominan integrales casi inmediatas a aquellas que se pueden reducir
fácilmente a una integral inmediata mediante operaciones elementales en la
función integrando. Generalmente habrá que multiplicar y dividir por una
constante apropiada.
Z
Z
dx
dx
h
=
¡ x±a ¢2 i
2
2
k + (x ± a)
2
k 1+ k
µ
¶
Z
1/k
x±a
1
1
=
+ C.
¡
¢2 dx = artg
k
k
k
1 + x±a
k
Mediante un desarrollo análogo al anterior se deducen fácilmente las siguientes
fórmulas de integración
µ
¶
Z
dx
1
x±a
= argth
+ C.
k 2 − (x ± a)2
k
k
µ
¶
Z
dx
x±a
p
= arsen
+ C.
k
k 2 − (x ± a)2
¶
µ
Z
dx
x±a
p
+ C.
= argsh
k
k 2 + (x ± a)2
µ
¶
Z
x±a
dx
p
= argch
+ C.
k
(x ± a)2 − k 2
Ejemplo C.2
• Calcular las siguientes integrales:
Z
dx
a)
x2 + x + 1
Z
b)
√
dx
.
2 + 2x − x2
Solución:
Z
Z
Z
dx
dx
dx
a)
=
=
¡
¢
³ √ ´2
¡
¢
1 2
1
2
x2 + x + 1
x+ 2 − 4 +1
x + 12 + 23
µ
¶
2x + 1
2
√
+ C.
= √ artg
3
3
¶
µ
Z
Z
dx
dx
x−1
√
q√
√
+ C.
b)
=
= arsen
3
2 + 2x − x2
( 3)2 − (x − 1)2
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
C.2.3
559
Integración por sustitución (cambio de variable)
Todas las fórmulas que figuran en la tabla de integración inmediata obedecen
al mismo esquema y se basan en la regla de la cadena para calcular la derivada
de una función compuesta. Más concretamente, si F (x) es una primitiva de
la función f (x), entonces se tiene que
Z
f (g(x))g 0 (x) dx = F (g(x)) + C.
En efecto, aplicando la regla de la derivada de una función compuesta se tiene
que
d[F (g(x))] = F 0 (g(x))g 0 (x)dx = f (g(x))g 0 (x)dx.
En la práctica se procede de la siguiente forma.
1) Supongamos que nos encontramos una integral que podemos escribirla en
la forma
Z
f (g(x))g 0 (x) dx.
(C.2.1)
a) Hacemos el cambio de variable t = g(x)
t = g(x) ⇒ dt = g 0 (x) dx.
b) Sustituimos en la integral inicial.
Z
t = g(x)
f (g(x))g 0 (x) dx =
dt = g 0 (x) dx
Z
=
f (t) dt.
c) Calculamos una primitiva de la función f (t),
Z
f (t) dt = F (t) + C.
d) Finalmente, deshacemos el cambio de variable.
F (t) + C = F (g(x)) + C.
Todo el proceso anterior se puede sintetizar en la forma
Z
Z
t = g(x)
0
f (g(x))g (x)dx =
= f (t)dt = F (t) + C = F (g(x)) + C.
0
dt = g (x)dx
2) Si no es posible expresar nuestra integral en la forma (C.2.1) podemos
intentar resolverla efectuando un cambio de variable directo del tipo x =
ϕ(t) donde ϕ(t) es una función con derivada continua y tal que ϕ0 (t) 6= 0
∀t.
560
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
En este caso,
Z
f (x) dx =
x = ϕ(t)
dx = ϕ0 (t)dt
Z
f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt.
=
Habremos logrado nuestro objetivo si la integral resultante es más fácil
que la integral inicial. Una vez resuelta esta integral se procede a deshacer el cambio de variable despejando la variable t en la igualdad x = ϕ(t),
es decir, t = ϕ−1 (x).
Si suponemos que F (t) es una primitiva de la función f (ϕ(t))ϕ0 (t), todo
el proceso anterior se puede escribir como
Z
Z
¡
¢
x = ϕ(t)
f (x)dx =
= f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt = F (t)+C = F ϕ−1 (x) +C.
0
dx = ϕ (t)dt
3) Si nuestra integral inicial se puede expresar en la forma (C.2.1) puede
ensayarse también un cambio de variable del tipo g(x) = ϕ(t) donde
ϕ(t) está en las condiciones dadas en el apartado anterior. En este caso,
Z
Z
g(x) = ϕ(t)
0
f (g(x))g (x)dx = 0
= f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt
0
g (x)dx = ϕ (t)dt
¡
¢
= F (t) + C = F ϕ−1 (g(x)) + C.
Ejemplo C.3
• Calcular las siguientes integrales mediante un cambio de variable:
Z
Z
dx
dx
√
a)
b)
.
sen 2x ln(tg x)
x+ x
Solución:
Z
dx
√ =
a)
x+ x
x = t2
dx = 2t dt
Z
=
2tdt
=2
t2 + t
Z
1
dt = 2 ln |t + 1| + C
t+1
√
= 2 ln | x + 1| + C.
Z
b)
dx
=
sen 2x ln(tg x)
=
1
2
Z
t
= ln(tg x)
1
1
1
2
dt =
dx =
dx =
dx
tg x cos2 x
sen x cos x
sen 2x
1
1
dt
= ln |t| + C = ln | ln(tg x)| + C.
t
2
2
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
C.2.4
561
Integración por partes
La fórmula de integración por partes se basa en la regla de derivación de un
producto de funciones. Si u, v denotan dos funciones derivables, entonces se
tiene que
d(u v) = u dv + v du.
Integrando en los dos términos de la expresión anterior y despejando, se obtiene
la fórmula
Z
Z
u dv = u v − v du,
que se conoce como fórmula de integración por partes.
La fórmula de integración por partes se aplica, en general, cuando la función
integrando sea del tipo: polinómica por exponencial, trigonométrica por exponencial, ..., haciendo una elección adecuada de u y dv en la integral dada.
Obviamente, el método tendrá interés si la integral del segundo miembro resulta más sencilla o del mismo tipo que la integral dada.
Ejemplo C.4
• Calcular las siguientes integrales mediante integración por partes
Z
Z
Z
5
x
a)
x ln x dx
b) e cos x dx
c) sen2 x dx.
Solución:
Z
a)
x5 ln x dx =
=
Z
b)
ex cos x dx =
u = ln x
⇒ du = 1/x dx
dv = x5 dx
⇒
v = x6 /6
=
1 6
1
x ln x −
6
6
Z
x5 dx
1 6
1 6
x ln x −
x + C.
6
36
Z
u = ex
⇒ du = ex dx
= ex sen x − sen x ex dx.
dv = cos x dx ⇒ v = sen x
Aplicando nuevamente integración por partes en la integral resultante,
Z
Z
u = ex
⇒ du = ex dx
x
x
e sen x dx =
= −e cos x + ex cos x dx.
dv = sen x dx ⇒ v = − cos x
Sustituyendo en la integral inicial, se obtiene
µ
¶
Z
Z
x
x
x
x
e cos x dx = e sen x − −e cos x + e cos x dx
Z
= ex sen x + ex cos x − ex cos x dx.
562
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
Finalmente, reagrupando las integrales y despejando, se llega a
Z
1
ex cos x dx = ex (sen x + cos x) + C.
2
Z
Z
u = sen x
⇒ du = cos x dx
= − sen x cos x + cos2 x dx
dv = sen x dx ⇒ v = − cos x
Z
Z
Z
2
= − sen x cos x+ (1−sen x)dx = − sen x cos x+ dx− sen2 x dx
sen2 x dx =
c)
Reagrupando las integrales en el primer término y despejando, se obtiene
Z
1
sen2 x dx = (x − sen x cos x) + C.
2
La integral anterior puede también resolverse de manera inmediata a partir de
las igualdades trigonométricas
sen2 a =
1 − cos 2a
,
2
cos2 a =
1 + cos 2a
.
2
En nuestro caso,
Z
Z
Z
Z
1 − cos 2x
1
1
1
1
2
sen x dx =
dx =
dx −
cos 2x dx = x − sen 2x + C.
2
2
2
2
4
C.2.5
Integración por reducción
Consideremos la integral indefinida
Z
In =
fn (x) dx
que depende de un número natural n. El método de reducción consiste en
resolver la integral In de forma recurrente a partir de las integrales Ik , con
k < n. En la mayorı́a de los casos se utilizará para ello integración por partes.
Ejemplo C.5
• Encontrar una fórmula de recurrencia para la siguiente integral
Z
dx
In =
2
(a + x2 )n
donde n ∈ N y particularizar para n = 3.
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Solución:
In
Z
=
=
=
=
(∗)
=
=
Z
(∗)
Z
Z 2
dx
1
a2 dx
1
a + x2 − x2
=
=
dx
2
2
n
2
2
2
n
2
(a + x )
a
(a + x )
a
(a2 + x2 )n
Z
Z
a2 + x2
x2
1
1
dx
−
dx
2
2
2
n
2
2
a
(a + x )
a
(a + x2 )n
µZ
¶
Z
1
dx
x2
−
dx
a2
(a2 + x2 )n−1
(a2 + x2 )n
µ
¶
Z
1
x2
I
−
dx
n−1
a2
(a2 + x2 )n
·
µ
¶¸
1
1
x
1
In−1 −
−
In−1
a2
2(1 − n) (a2 + x2 )n−1
2(1 − n)
·
µ
¶
¸
1
x
1
−
+ 1+
In−1 .
a2
2(1 − n)(a2 + x2 )n−1
2(1 − n)
x2 dx
2
(a + x2 )n
=
u=x
⇒
x
dv = 2
dx
(a + x2 )n
⇒
Z
du = dx
1
1
v=
2
2(1 − n) (a + x2 )n−1
=
x
1
−
2(1 − n) (a2 + x2 )n−1
1
1
dx
2(1 − n) (a2 + x2 )n−1
=
x
1
1
−
In−1 .
2(1 − n) (a2 + x2 )n−1
2(1 − n)
Aplicando la fórmula anterior para n = 3, se tiene
·
¸
Z
dx
1
x
3
I3 =
= 2
+ I2
(a2 + x2 )3
a 4(a2 + x2 )2
4
·
¸
1
x
1
I2 =
+ I1
a2 2(a2 + x2 ) 2
Z
³x´
dx
1
I1 =
=
artg
+ C.
a2 + x2
a
a
Ahora basta ir sustituyendo de abajo a arriba y obtenemos I3 .
C.2.6
Integración de funciones racionales
En este apartado abordamos el estudio de las integrales del tipo
Z
p(x)
dx,
q(x)
donde p(x) y q(x) son polinomios en la variable x.
563
564
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
Una operación que aparece con bastante frecuencia en la resolución de este
tipo de integrales es la de completar cuadrados. Más concretamente, escribir
un polinomio de segundo grado como un cuadrado perfecto más una constante.
"µ
#
·
¸
¶2
2
b
c
b
c
b
=a x+
− 2+
a x2 + b x + c = a x2 + x +
a
a
2a
4a
a
"µ
#
¶2
b
b2 − 4ac
= a x+
−
(a 6= 0).
2a
4a2
C.2.6.1 Un caso particular de integrales racionales. Dos tipos de integrales
racionales que aparecen con mucha frecuencia en la práctica son
Z
Z
1
mx + n
dx,
dx.
2
ax + bx + c
ax2 + bx + c
En la resolución de ambos tipos de integrales se utiliza la técnica de completar
cuadrados en el polinomio del denominador.
Z
Z
dx
dx
"µ
#.
1) I1 =
=
¶
2
ax + bx + c
b 2 b2 − 4ac
a x+
−
2a
4a2
Según que b2 − 4ac sea positivo o negativo dará como resultado un argth
o un artg .
Z
mx + n
2) I2 =
dx.
ax2 + bx + c
El primer paso en la resolución de esta integral es tratar de obtener en
el numerador la derivada del denominador. De esta forma podemos descomponer nuestra integral como suma de una integral inmediata y otra
del tipo anterior.
Ejemplo C.6
• Calcular las siguientes integrales racionales:
Z
dx
dx
a)
b) 2
2x2 − 5x + 7
x − 4x − 1
Solución:
Z
a) I1 =
dx
=
2x2 − 5x + 7
Z
2
h¡
x−
dx
¢
5 2
4
+
31
16
i=
Z
c)
1
2
Z
¡
3x + 1
.
2x2 − 5x + 7
dx
x−
¢
5 2
4
+
31
16
=
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
1 4
√ artg
2 31
Z
b)
dx
=
x2 − 4x − 1
µ
Z
4x − 5
√
31
¶
2
+ C = √ artg
31
µ
dx
1
= − √ argth
(x − 2)2 − 5
5
4x − 5
√
31
µ
565
¶
x−2
√
5
+ C.
¶
+ C.
Z
c) I2 =
=
=
=
C.2.6.2
Z
Z
4x + 43
4x − 5 + 5 + 43
3
3
3x + 1
dx
=
dx
=
dx
2x2 − 5x + 7
4
2x2 − 5x + 7
4
2x2 − 5x + 7
¶
Z µ
4x − 5
3
19/3
+
dx
4
2x2 − 5x + 7 2x2 − 5x + 7
Z
Z
Z
19
3
19
3
4x − 5
dx
4x − 5
dx +
=
dx +
I1
4 2x2 − 5x + 7
4
2x2 − 5x + 7
4 2x2 − 5x + 7
4
µ
¶
3
19 2
4x − 5
√ artg
√
ln |2x2 − 5x + 7| +
+ C.
4
4 31
31
El caso general. Consideremos la integral
Z
p(x)
I=
dx,
q(x)
donde p(x) y q(x) son polinomios en x. Si grd(p(x)) ≥ grd(q(x)), entonces
podemos descomponer
r(x)
p(x)
= c(x) +
,
q(x)
q(x)
donde c(x) y r(x) son los polinomios cociente y resto, respectivamente, de la
división de p(x) entre q(x). De esta forma se tendrá que
¸
Z
Z ·
Z
Z
p(x)
r(x)
r(x)
I=
dx =
c(x) +
dx = c(x) dx +
dx.
q(x)
q(x)
q(x)
Z
• La integral c(x) dx es inmediata porque c(x) es un polinomio en x.
Z
r(x)
dx es una integral racional en la que
q(x)
grd(r(x)) < grd(q(x)). Esta integral se resuelve descomponiendo la fracción r(x)/q(x) en suma de fracciones algebraicas simples.
• Por otro lado, la integral
566
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
C.2.6.3 Descomposición de una fracción algebraica en fracciones simples.
El primer paso para descomponer la fracción p(x)/q(x) en suma de fracciones
simples será obtener la descomposición factorial del polinomio q(x) para lo
cual será necesario hallar las raı́ces de la ecuación q(x) = 0.
Si x1 , x2 , · · · , xr son las raı́ces de q(x) con multiplicidades n1 , n2 , · · · , nr ,
respectivamente, entonces q(x) se descompone en la forma
q(x) = A(x − x1 )n1 (x − x2 )n2 · · · (x − xr )nr ,
siendo A el coeficiente lı́der del polinomio q(x). Además, si un polinomio de
coeficientes reales admite la raı́z compleja z = α + β i, entonces también tiene
como raı́z el número complejo conjugado z = α − β i. Esto nos va a permitir
agrupar los factores correspondientes a raı́ces complejas y sus conjugadas para
obtener factores cuadráticos. Más concretamente, si α + β i es una raı́z compleja de q(x) = 0, de multiplicidad m, entonces α − β i también será una raı́z
compleja de q(x) de multiplicad m. Entonces en la descomposición factorial
de q(x) aparecerán los factores
[x − (α + β i)]m [x − (α − β i)]m = (x − α − β i)m (x − α + β i)m ,
que pueden agruparse en la forma,
[(x − α − β i)(x − α + β i)]m = [(x − α)2 + β 2 ]m .
De acuerdo con lo anterior, en la descomposición factorial de p(x) pueden
aparecer factores del tipo
a) (x − a), correspondiente a una raı́z real simple.
b) (x − a)m , correspondiente a una raı́z real múltiple (de multiplicidad m).
c) (x − α)2 + β 2 , factor cuadrático correspondiente a una raı́z real simple
α + β i y su conjugada α − β i.
d) [(x − α)2 + β 2 ]m , factor cuadrático múltiple correspondiente a una raı́z
compleja múltiple, α + β i y su conjugada α − β i (de multiplicidad m)
La descomposición en fracciones elementales de p(x)/q(x) se hará de la siguiente manera:
a) Por cada factor del tipo (x − a), correspondiente a una raı́z real simple,
escribiremos una fracción del tipo
A1
.
x−a
b) Por cada factor del tipo (x − a)m , correspondiente a una raı́z real de
multiplicad m, escribiremos m fracciones del tipo
Ak
,
k = 1, 2, · · · , m.
(x − a)k
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
567
c) Por cada factor cuadrático del tipo (x − α)2 + β 2 , correspondiente a una
raı́z compleja simple y su conjugada, escribimos una fracción del tipo
M1 x + N1
.
(x − α)2 + β 2
d) Por cada factor del tipo [(x − α)2 + β 2 ]m , correspondiente a una raı́z
compleja y su conjugada de multiplicidad m, escribimos m fracciones del
tipo
Mk x + Nk
,
k = 1, 2, · · · , m.
((x − α)2 + β 2 )k
Por ejemplo, supongamos que la ecuación q(x) = 0 tiene la raı́z real simple
x = a, la raı́z real x = b con grado de multiplicidad m y la raı́z compleja
x = α ± β i con orden de multiplicidad n. Entonces q(x) se descompone en la
forma
q(x) = A(x − a)(x − b)m [(x − α)2 + β 2 ]n ,
siendo A el coeficiente del término de mayor grado de q(x). En este caso, el
desarrollo en fracciones simples de r(x)/q(x) vendrá dado por
r(x)
q(x)
=
A1
B1
B2
Bm
+
+
+ ··· +
+
2
x − a x − b (x − b)
(x − b)m
M1 x + N1
M2 x + N2
Mn x + Nn
+
+ ··· +
(x − α)2 + β 2 [(x − α)2 + β 2 ]2
[(x − α)2 + β 2 ]n
siendo Ak , Bk , Mk , Nk coeficientes reales a determinar.
Para calcular estos coeficientes se multiplican ambos miembros de la igualdad
anterior por q(x). A continuación pueden seguirse dos estrategias distintas:
• Desarrollar la expresión, agrupar e identificar los coeficientes de los términos del mismo grado.
• Evaluar la igualdad resultante para valores adecuados de la variable x.
(Por lo general esta técnica resulta más ventajosa que la anterior).
Una vez determinados los coeficientes que figuran en la descomposición de
p(x)/q(x) en suma de fracciones simples, la integral
Z
p(x)
dx,
q(x)
se descompone en suma de integrales de los siguientes tipos:
Z
a)
A1
dx = A1 ln |x − a| + C.
x−a
568
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
Z
b)
Z
c)
Z
d)
Bk
−Bk
dx =
+ C,
k
(x − b)
(k − 1)(x − b)k−1
(k > 1).
M1 x + N1
dx, resuelta anteriormente.
(x − α)2 + β 2
Mk x + Nk
dx, con k > 1.
[(x − α)2 + β 2 ]k
Este tipo de integrales puede resolverse por reducción, haciendo previamente el cambio de variable t = (x − α)/β. Sin embargo, debido a la
dificultad que esta técnica conlleva si k > 2, es aconsejable resolverlas
aplicando el método de Hermite, que veremos más adelante.
Ejemplo C.7
• Resolver las siguientes integrales racionales:
Z
Z
dx
x+1
a)
b)
dx
x2 − 4x + 3
x3 + x2 − 6x
Z
c)
x+1
dx
x3 + x2 − 6x
Solución:
Z
dx
a)
.
2
x − 4x + 3
(1) Descomposición factorial de q(x) = x2 − 4x + 3,
½
x=3
2
⇒ x2 − 4x + 3 = (x − 3)(x − 1).
x − 4x + 3 = 0 ⇒
x=1
(2) Descomposición en fracciones elementales,
1
A
B
=
+
(x − 3)(x − 1)
x−3 x−1
½
x = 1 ⇒ 1 = −2B
1 = A(x − 1) + B(x − 3) ⇒
x = 3 ⇒ 1 = 2A
½
⇒
A = 1/2
B = −1/2
1
1/2
1/2
=
−
.
(x − 3)(x − 1)
x−3 x−1
(3) Cálculo de la integral
¶
Z
Zµ
Z
Z
dx
1/2
1/2
1
1
1
1
=
−
dx
=
dx
−
dx
2
x − 4x + 3
x−3 x−1
2 x−3
2 x−1
1
1
= ln |x − 3| − ln |x − 1| + C.
2
2
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
569
La integral anterior puede también resolverse mediante la técnica de completar
cuadrados en el denominador
Z
Z
dx
dx
=
= Integración casi inmediata
x2 − 4x + 3
(x − 2)2 − 1
¯
¯
1 ¯ x − 1 ¯¯
+ C.
= − argth (x − 2) + C = − ln ¯¯
2
x − 3¯
Z
b)
x+1
dx
x3 + x2 − 6x
(1) Descomposición factorial del polinomio q(x) = x3 + x2 − 6x,
(
x=0
3
2
x=2
x − x − 6x = 0 ⇒
⇒ x3 − x2 − 6x = x(x − 2)(x + 3)
x = −3
(2) Descomposición en fracciones elementales
x+1
x+1
A
B
C
=
= +
+
x3 − x2 − 6x
x(x − 2)(x + 3)
x
x−2 x+3
x + 1 = A(x − 2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x − 2) ⇒
(
A = −1/6
B = 3/10
C = −2/15
x+1
−1/6
3/10
−2/15
=
+
+
x3 − x2 − 6x
x
x−2
x+3
(3) Cálculo de la integral
¶
Z
Z µ
x+1
−1/6
3/10
−2/15
dx =
+
+
dx
x3 + x2 − 6x
x
x−2
x+3
Z
Z
Z
−1/6
3/10
−2/15
=
dx +
dx +
dx
x
x−2
x+3
−1
3
2
=
ln |x| +
ln |x − 2| −
ln |x + 3| + C.
6
10
15
Z
c)
2x3
x3
dx.
+ 3x2 − 2x − 3
(1) Como el grado del numerador es igual que el grado del denominador,
efectuamos la división y escribimos
− 23 x2 + x + 32
x3
1
=
+
.
2x3 + 3x2 − 2x − 3
2 2x3 + 3x2 − 2x − 3
(2) Descomponemos el polinomio q(x) = 2x3 + 3x2 − 3x − 3 en factores,
570
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
(
x=1
x = −1
x = −3/2
¢
¡
2x3 + 3x2 − 2x − 3 = 2(x − 1)(x + 1) x + 23 = (x − 1)(x + 1)(2x + 3)
(
A = 1/10
− 32 x2 + x + 23
A
B
C
B = 1/2
=
+
+
⇒
(x − 1)(x + 1)(2x + 3)
x − 1 x + 1 2x + 3
C = −27/10
2x3 + 3x2 − 2x − 3 = 0 ⇒
(3) Cálculo de la integral
¶
Z µ
Z
− 32 x2 + x + 32
1
x3
dx =
+
dx =
2x3 + 3x2 − 2x − 3
2 2x3 + 3x2 − 2x − 3
Z
Z
Z
− 23 x2 + x + 32
− 32 x2 + x + 23
1
1
dx+
dx
=
x+
dx =
2
2x3 + 3x2 − 2x − 3
2
(x − 1)(x + 1)(2x + 3)
¶
Z µ
1
1/10
1/2
27/10
x+
+
−
dx =
2
x − 1 x + 1 2x + 3
Z
Z
Z
1
1
27
1
1
1
1
x+
dx +
dx −
dx =
2
10
x−1
2
x+1
10
2x + 3
1
1
1
27
x+
ln |x − 1| + ln |x + 1| dx −
ln |2x + 3| + C.
2
10
2
20
Z
d)
x+1
dx.
x2 + 4x + 4
(1) Descomposición en factores del polinomio q(x) = x2 + 4x + 4
x2 + 4x + 4 = 0 ⇒ x = −2(doble) ⇒ x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 .
(2) Descomposición en fracciones elementales
x+1
A
B
=
+
⇒ x + 1 = A(x + 2) + B = A x + (2A + B)
(x + 2)2
x + 2 (x + 2)2
½
½
A=1
1=A
⇒
Identificando coeficientes:
B = −1
1 = 2A + B
x+1
1
1
=
−
(x + 2)2
x + 2 (x + 2)2
(3) Cálculo de la integral
¶
Z
Z µ
x+1
1
1
dx
=
−
dx
(x + 2)2
x + 2 (x + 2)2
Z
Z
1
1
1
dx −
dx = ln |x + 2| +
+ C.
=
x+2
(x + 2)2
x+2
571
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Z
e)
x3 − x
dx
x2 + 4x + 13
a) Como el grado del numerador es igual que el grado del denominador,
efectuamos la división y escribimos,
x3 − x
2x + 52
dx = x − 4 + 2
.
2
x + 4x + 13
x + 4x + 13
b) Completamos cuadrados en el denominador: x2 + 4x + 13 = (x + 2)2 + 9.
c) Resolvemos la integral
¶
Z µ
Z
2x + 52
x3 − x
dx =
x−4+ 2
dx
x2 + 4x + 13
x + 4x + 13
Z
Z
2x + 52
dx
= (x − 4) dx +
2
x + 4x + 13
=
Z
f)
x2
48
− 4x + ln |x2 + 4x + 13| +
artg
2
3
µ
x+2
3
¶
+ C.
x2 + 1
dx.
x4 − x2
a) Descomposición factorial del polinomio q(x) = x4 − x2
x4 − x2 = x2 (x2 − 1) = x2 (x + 1)(x − 1).
b) Descomposición en fracciones elementales

A=0


x2 + 1
x2 + 1
A
B
D
E
B = −1
= 2
= + 2+
+
⇒

x4 − x2
x (x − 1)(x + 1)
x
x
x−1 x+1
 D=1
E = −1
c) Cálculo de la integral
¶
Z
Z µ
x2 + 1
−1
1
−1
dx =
+
+
dx =
x4 − x2
x2
x−1 x+1
Z
Z
Z
−1
1
1
=
dx
+
dx
−
dx
2
x
x−1
x+1
¯
¯
¯x − 1¯
1
1
¯
¯ + C.
= + ln |x − 1| − ln |x + 1| + C = + ln ¯
x
x
x + 1¯
Z
g)
(x2
x+1
dx.
+ 1)(x2 + 4)
a) Descomposición en fracciones elementales
x+1
Ax + B
Dx + E
= 2
+ 2
(x2 + 1)(x2 + 4)
x +1
x +4
572
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
x + 1 = (Ax + B)(x2 + 4) + (Dx + E)(x2 + 1)
= (A + D)x3 + (B + E)x2 + (4A + D)x + 4B + E


0=A+D
A = 1/3




0=B+E
B = 1/3
⇒
Identificando coeficientes:
1
=
4A
+
D



 D = −1/3
1 = 4B + E
E = −1/3
1
1
− 13 x − 13
x+1
3 x+ 3
=
+
(x2 + 1)(x2 + 4)
x2 + 1
x2 + 4
b) Cálculo de la integral
¶
Z
Z µ
x+1
x+1
1
x+1
dx =
−
dx =
(x2 + 1)(x2 + 4)
3
x2 + 1 x2 + 4
Z
Z
1
x+1
1
x+1
dx
−
dx =
2
3
x +1
3
x2 + 4
³x´
1
1
1
1
ln(x2 + 1) + artg x − ln(x2 + 4) − artg
+ C.
6
3
6
6
2
C.2.6.4 Método de Hermite. Supongamos que q(x) tiene las raı́ces reales
x = a, x = b de grados de multiplicidad r y s respectivamente y las raı́ces
complejas conjugadas x = α ± β i y x = γ ± δ i de grados de multiplicidad n
y m. Entonces q(x) se puede poner de la forma
q(x) = A(x − a)r (x − b)s [(x − α)2 + β 2 ]n [(x − γ)2 + δ 2 ]m
siendo A el coeficiente del término de mayor grado de q(x). El método de
Hermite consiste en descomponer la fracción r(x)/q(x) en la forma
r(x)
q(x)
=
A1
B1
M1 x + N1
M2 x + N2
+
+
+
+
x − a x − b (x − α)2 + β 2 (x − γ)2 + δ 2
·
¸
c0 + c1 x + · · · + ck xk
d
dx (x − a)r−1 (x − b)s−1 [(x − α)2 + β 2 ]n−1 [(x − γ)2 + δ 2 ]m−1
siendo k una unidad menos que el grado del denominador que figura dentro
del corchete.
Para calcular los coeficientes A1 , B1 , M1 , N1 , M2 , N2 y cj , j = 1, 2, · · · , k, basta
derivar la expresión que está dentro del corchete, multiplicar ambos miembros
de la igualdad por q(x), desarrollar e identificar coeficientes de términos del
mismo grado.
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
573
Ejemplo C.8
• Calcular las siguientes integrales:
¢2
Z ¡ 2
x +1
a)
dx,
(x − 1)6
Z
b)
dx
.
(x2 + 2x + 5)2
Solución:
¢2
Z ¡ 2
x +1
dx
a)
(x − 1)6
En el denominador aparece el factor (x − 1)6 correspondiente a una raı́z real de
multiplicidad 6. En este caso, la descomposición de Hermite será,
·
¸
A
d Dx4 + Ex3 + F x2 + Gx + H
x4 + 2x2 + 1
=
+
(x − 1)6
x − 1 dx
(x − 1)5
Derivando se obtiene
x4 + 2x2 + 1
=
(x − 1)6
A
(4Dx3 + 3Ex2 + 2F x + G)(x−1) − 5( dx4 + Ex3 + F x2 + Gx+H)
+
x−1
(x − 1)6
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por (x − 1)6 ,
x4 + 2x2 + 1 = A(x − 1)5 + (4Dx3 + 3Ex2 + 2F x + G)(x − 1)
− 5(Dx4 + Ex3 + F x2 + Gx + H)
Desarrollando, igualando coeficientes y resolviendo el sistema, se obtiene
A = 0, D = −1, E = 2, F = −8/3, G = 4/3, H = −7/15.
Luego,
·
Z 4
Z
7 ¸
x + 2x2 + 1
d −x4 + 2x3 + 38 x2 + 43 x − 15
dx
=
dx
(x − 1)6
dx
(x − 1)5
=
Z
b)
(x2
−x4 + 2x3 + 83 x2 + 34 x −
(x − 1)5
7
15
+ C.
dx
.
+ 2x + 5)2
En el denominador aparece un factor cuadrático doble
¡ 2
¢2 £
¤2
x + 2x + 5 = (x + 2)2 + 1 ,
correspondiente a la raı́z compleja, z = −2 + i, y su conjugada, z = −2 − i, de
multiplicidad 2. La descomposición de Hermite nos proporciona
·
¸
Ax + B
d
Dx + E
1
=
+
[(x + 2)2 + 1)]2
(x + 2)2 + 1
dx (x + 2)2 + 1
574
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
Derivando e identificando coeficientes se obtiene:
1
1
1
A = 0, B = , D = , E = .
8
8
8
Luego,
Z
dx
(x2 + 2x + 5)2
Z
=
=
=
C.2.7
1
dx
[(x + 2)2 + 1]2
·
¸
Z
Z
1
1
1
d
x+1
dx
+
dx
8 (x + 2)2 + 1
8
dx (x + 2)2 + 1
x+1
1
artg(x + 2) +
+C
2
8
8(x + 2x + 5)
Integración de funciones trigonométricas
C.2.7.1
Caso general. Las integrales del tipo
Z
R(sen x, cos x) dx,
donde R es una función racional, siempre se reducen a una integral racional
con el cambio de variable t = tg (x/2) . En efecto,
x
2dt
= artg t ⇒ x = 2 artg t ⇒ dx =
2
2
¢ t ¡x¢
¡ ¢
¡1x+
³x´
³x´
2 tg x2
2 sen 2 cos 2
2t
¡ ¢=
¡ ¢
¡ ¢=
sen x = 2 sen
cos
=
2
2
1 + t2
cos2 x2 + sen2 x2
1 + tg2 x2
¡ ¢
³ ´
³ ´ cos2 ¡ x ¢ − sen2 ¡ x ¢
1 − tg2 x2
1 − t2
2 x
2 x
2
2
¡x¢
¡x¢ =
¡
¢
=
cos x = cos
− sen
=
2
2
1 + t2
cos2 2 + sen2 2
1 + tg2 x2
Ejemplo C.9
2
Z
dt
dt
1
+
t2
•
=2
=
2t
t2 + 4t + 1
1+2
1 + t2
√
√
1
1
= resolviendo como integral racional = √ ln |t+2− 3|− √ ln |t+2+ 3|+C
3
3
¯
¯
¯
¯
³
³
´
´
√ ¯
√ ¯
x
1
x
1
¯
¯
= √ ln ¯tg
+ 2 − 3¯ − √ ln ¯tg
+ 2 + 3¯ + C.
2
2
3
3
Z
¡ ¢
dx
= tg x2 = t =
1 + 2 sen x
Z
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
C.2.7.2
575
Casos particulares. En determinado casos la integral,
Z
R(sen x, cos x) dx,
puede resolverse mediante otros cambios de variable que también reducen la
integral a una de tipo racional y, generalmente, más sencilla que la que se
obtiene con el cambio anterior.
1. Si R es una función impar en sen x (R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x)),
hacemos el cambio cos x = t.
2. Si R es una función impar en cos x (R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x)),
hacemos el cambio sen x = t.
3. Si R es una función par en sen x y cos x,
R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x),
hacemos el cambio tg x = t. En este caso, se tiene
dt
,
1 + t2
t
tg x
=
sen x = p
,
2
1 + t2
1 + tg x
x = artg t,
C.2.7.3
Z
dx =
Integrales del tipo.
1
1
=√
.
cos x = p
2
1 + t2
1 + tg x
Z
sen ax cos bx dx,
Z
sen ax sen bx dx,
cos ax cos bx dx.
Se transforman en integrales inmediatas mediante las fórmulas
sen A sen B =
cos A cos B =
sen A cos B =
1
[cos(A − B) − cos(A + B)]
2
1
[cos(A − B) + cos(A + B)]
2
1
[sen(A − B) + sen(A + B)]
2
Ejemplo C.10
Z
•
sen x
dx.
1 + cos x + cos2 x
Dado que la función subintegral es impar en sen x, hacemos el cambio de varia-
576
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
ble cos x = t.
Z
sen x
dx =
1 + cos x + cos2 x
Z
•
Z
−dt
=
1 + t + t2
µ
¶
2t + 1
2
√
√
Resolviendo como integral racional = −
artg
+C =
3
3
µ
¶
2
2 cos x + 1
√
− √ artg
+ C.
3
3
cos x
− sen x dx
= t
= dt
=
cos2 x
dx.
1 + sen2 x
Dado que la función subintegral es par en sen x y cos x, hacemos el cambio de
variable tg x = t.
1
Z
Z
Z
cos2 x
dt
dt
1
+
t2
dx
=
tg
x
=
t
=
=
=
1 + sen2 x
(1 + 2t2 )(1 + t2 )
t2 1 + t2
1+
1 + t2
√
√
√
√
Integral racional = 2 artg ( 2t) − artg t + C = 2 artg ( 2 tg x) − x + C.
En los dos ejemplos anteriores también podı́amos
¡ ¢ haber efectuado el cambio
canónico para integrales trigonométricas t = tg x2 . Sin embargo, puede comprobarse que mediante este cambio la integral racional resultante es bastante
más complicada.
Z
Z
Z
Z
1
1
1
•
sen 5x cos 6x dx =
(sen 11x − sen x) dx =
sen 11x dx −
sen x dx
2
2
2
=−
Z
•
1
1
cos 11x + cos x + C.
22
2
cos4 x
dx.
sen2 x
Esta integral puede abordarse por diferentes métodos:
¡ ¢
1. Mediante el cambio canónico, t = tg x2 .
2. Dado que la función subintegral es par en sen x y cos x, podemos efectuar
el cambio t = tg x.
3. Método alternativo (Idea feliz)
Z
Z
Z
cos4 x
(1 − sen2 x)2
1 − 2 sen2 x + sen4 x
dx
=
dx
=
dx =
sen2 x
sen2 x
sen2 x
Z
Z
Z
1
dx − 2
dx + sen2 x dx =
sen2 x
x 1
3
1
− cotg x − 2x + − sen 2x + C = − cotg x − x − sen 2x + C.
2 4
2
4
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
C.2.8
577
Integración de funciones hiperbólicas
C.2.8.1
El caso general. Las integrales del tipo
Z
R( sh x, ch x) dx
con R una función racional, se resuelven de manera
¡ ¢ análoga a las de la sección
anterior. Mediante el cambio de variable, t = th x2 , se reducen a una integral
de tipo racional. Desarrollando este cambio se tiene
x = 2 argth t ⇒ dx =
2dt
,
1 − t2
sh x =
2t
,
1 − t2
ch x =
1 + t2
1 − t2
C.2.8.2 Casos particulares. En algunos casos particulares hay otros cambios de variable que también reducen la integral una de tipo racional, más
sencilla que la que se obtiene con el cambio estándar.
1. Si R es una función impar en sh x, R(− sh x, ch x) = −R( sh x, ch x),
hacemos el cambio ch x = t.
2. Si R es una función impar en ch x, R( sh x, − ch x) = −R( sh x, ch x),
hacemos el cambio sh x = t.
3. Si R es una función par en sh x y ch x, R(− sh x, − ch x) = R( sh x, ch x),
hacemos el cambio thx = t. En este caso, se tiene
dt
1
t
x = argth t ⇒ dx =
, ch x = √
.
, sh x = √
2
2
1−t
1−t
1 − t2
C.2.9
Integración de funciones irracionales
Z
dx
√
C.2.9.1 Primer caso particular. I1 =
.
2
ax + bx + c
Completando cuadrados en el radicando, se obtiene
Z
Z
dx
dx
√
r h
I1 =
=
i.
2
¢
¡
ax + bx + c
2 −4ac
b 2
− b 4a
a x + 2a
2
Ahora, según el signo de a y de b2 − 4ac, la integral anterior dará lugar a un
arsen , argsh ó argch .
Ejemplo C.11
Z
•
√
dx
=
2x2 − 5x + 7
Z
µ
¶
1
dx
4x − 5
√
√
q
=
argsh
+ C.
√
¡
¢
2
31
5 2
+
x
−
2 31
16
4
578
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
¶
x−1
√
•
= arsen
+ C.
3
3 − (x − 1)2
µ
¶
Z
Z
dx
dx
x−1
√
p
√
•
=
= argch
+ C.
3
x2 − 2x − 2
(x − 1)2 − 3
Z
√
dx
=
2 + 2x − x2
Z
p
µ
dx
Z
mx + n
√
dx
ax2 + bx + c
El primer paso en la resolución de esta integral será tratar de obtener en el
numerador la derivada de la función subradical.
C.2.9.2
Segundo caso particular. I2 =
Z
Z
2ax + 2an
mx + n
m
m +b−b
√
√
dx =
dx =
2a
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
µ
¶Z
Z
m 2an
m
2ax + b
dx
√
dx +
−b
=
2
2
2a
2a m
ax + bx + c
ax + bx + c
¶
µ
mp 2
mb
I1 ,
ax + bx + c + n −
a
2a
donde la integral I1 es del tipo anterior.
Ejemplo C.12
Z
•
C.2.9.3
√
Z
Z
4x + 43
4x − 5 + 5 + 43
3
3
3x + 1
√
√
dx =
dx =
dx =
4
4
2x2 − 5x + 7
2x2 − 5x + 7
2x2 − 5x + 7
Z
Z
3
4
4x − 5
dx
√
√
dx +
=
2
2
2
19
2 2x − 5x + 7
2x − 5x + 7
µ
¶
3p 2
19
4x − 5
√
2x − 5x + 7 + √ argsh
+ C.
2
4 2
31
Integrales irracionales simples. Se trata de integrales del tipo
Z
R(xh/k , xs/t , · · · , xu/v ) dx
siendo R una función racional de xh/k , xs/t , · · · , xu/v . Se transforman en una
integral racional haciendo x = tm , donde m = MCM(k, t, · · · , v).
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
579
Ejemplo C.13
√
Z
Z
x−1
x1/2 − 1
t3 − 1
x = t6
√
dx
=
dx
=
=
6t5 dt =
5
3
1/3
dx = 6 t dt
6(t2 + 1)
6( x + 1)
6(x + 1)
Z 8
Z
t − t5
t
1
dt
=
(t6 − t4 − t3 + t2 + t − 1 −
+
)dt
2
2
t +1
1+t
1 + t2
t5
t4
t3
t2
1
t7
− − + + − t − ln(1 + t2 ) + artg t + C =
=
7
5
4
3
2
2
1 7/6 1 5/6 1 2/3 1 1/2 1 1/3 1/6 1
x − x − x + x + x −x − ln(1+x1/3 )+ artg (x1/6 )+C.
7
5
4
3
2
2
Z
•
C.2.9.4
Z
Integrales irracionales lineales. Son aquellas del tipo
" µ
¶
µ
¶
µ
¶ #
ax + b h/k
ax + b s/t
ax + b u/v
R x,
,
,··· ,
dx,
cx + d
cx + d
cx + d
donde R una función racional. Se transforman en integrales racionales mediante el cambio de variable (ax + b)/(cx + d) = tm , donde m = MCM(k, t, · · · , v).
Ejemplo C.14
Z
•
C.2.9.5
√
Z
dx
2t3
2x + 1 = t4
√
=
=
dt =
3
4
2
2 dx = 4t dt
t −t
2x + 1 − 2x + 1
¶
µ
¶
Z µ
1
1 2
2
t+1+
dt = 2
t + t + ln |t − 1| + C
t−1
2
√
√
¡√
¢2
= 2x + 1 + 2 4 2x + 1 + ln 4 2x + 1 − 1 + C.
Integrales irracionales binomias. Son integrales del tipo
Z
xr (a + b xs )p dx,
siendo los exponentes r, s, p números racionales y los coeficientes a, b números
reales. Mediante el cambio de variable, t = xs , la integral anterior se convierte
en la integral
Z
(a + b t)p tq dt,
con p, q números racionales. Dicha integral puede reducirse a una integral
racional en los siguientes casos:
580
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
1) Si p es entero, q = m/n, mediante el cambio u = t1/n .
2) Si q es entero y p = m/n, mediante el cambio u = (a + bt)1/n .
3) Si p + q es entero, haciendo el cambio z = 1/t, se reduce al caso anterior.
Ejemplo C.15
√
Z
x3 x
• La integral
dx, puede escribirse en la forma x7/2 (−1 + x3 )−2 dx.
(x3 − 1)2
Se trata de una integral binomia. Realizamos el cambio de variable t = x3 , es
decir, x = t1/3 , con el que se obtiene
Z
Z
t1/3
1 −2/3
t
3
x =
7/2
x
3 −2
(−1 + x )
dx =
dx
=
1
=
3
Z
t1/2 (−1 + t)−2 dt
Puesto que p = −2 es entero y q = 1/2, hacemos el cambio u = t1/2 ,
1
3
Z
u
t
1/2
(−1 + t)
dt =
du
= t1/2
1 −1/2
=
t
2
=
2
3
Z
u2
du =
(u2 − 1)2
¶
1
1
−1
1
+
+
+
du =
u − 1 (u − 1)2
u + 1 (u + 1)2
¯√
¯
√
¯
µ ¯
¶
¯ x3 − 1 ¯
¯u − 1¯
1
1
1
x3
1
¯
¯
¯−
L ¯¯
−
+ C = ln ¯ √
+ C.
¯−
¯
3
6
u+1
u−1 u+1
6 ¯ x3 + 1 ¯ 3(x − 1)
1
6
Z µ
−2
Z
C.2.9.6
Integrales irracionales del tipo
³ p
´
R x, ±a2 ± x2 dx.
Estas integrales se pueden reducir a una integral del tipo
Z
Z
R1 (sen t, cos t)dt o
R2 ( sh t, ch t)dt,
ya estudiadas con anterioridad mediante los cambios
Z
³ p
´
1) Para R x, a2 − x2 dx, cambio de variable x = a cos t ó x = a sen t.
Z
³ p
´
2) Para R x, a2 + x2 dx, cambio de variable x = a tg t ó x = a sh t.
Z
³ p
´
3) Para R x, x2 − a2 dx, cambio de variable x = a/ cos t ó x = a ch t.
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
581
Ejemplo C.16
r
3
cos t
3 sen t
dt
cos2 t
9
−9
3 sen t
cos2 t
•
=
dt =
27
cos2 t
dx =
cos3 t
Z
³ x ´ √x 2 − 9
1
1
1
sen2 t dt = (t − sen t cos t) + C = arsen
−
+ C.
3
6
6
3
2x2
Z √
Z
sen2 t
9 − x2
x = 3cos t
u = sen t
•
dx =
= −3
dt =
=
dx = −3 sen t dt
du = cos t dt
x
cos t
¶
Z
Z µ
u2
1/2
−1/2
3
du = 3
1+
+
du =
u2 − 1
u−1 u+1
Ã
!
√
p
3
3
3 + 9 − x2
2
3u + ln |u − 1| − ln |u + 1| + C = 9 − x − 3 ln
+ C.
2
2
x
Z √
x2 − 9
dx =
x3
x
=
Z
Z
C.2.9.7
Integrales irracionales del tipo
³ p
´
R x, ax2 + bx + c dx.
Pueden abordarse diferentes métodos de resolución para este tipo de integrales
b
la reduce a uno de los tipos de integral estudiados
1. El cambio t = x +
2a
anteriormente.
2. Los cambios de variable de Euler la transforman en una integral racional
√
√
ax2 + bx + c = a x + t
√
√
(b.2) Si c > 0, con el cambio ax2 + bx + c = t x + c
(b.1) Si a > 0, con el cambio
2
(b.3) Si
√ α ∈ R es raı́z de la ecuación ax + bx + c = 0, con el cambio
ax2 + bx + c = t(x − α).
Ejemplo C.17
Z
•
x+1
√
dx.
x + x2 + x + 1
Hacemos el cambio de variable
√
x2 + x + 1 = x + t. Despejando la variable x,
582
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
se tiene que
x=
t2 − 1
,
1 − 2t
dx = 2
−t2 + t − 1
dt
(1 − 2t)2
Sustituyendo en la integral
Z
Z 2
x+1
(t − 2t)(1 − 2t)2(−t2 + t − 1)
√
dx =
dt =
2
(1 − 2t)(t − 2)(1 − 2t)2
x+ x +x+1
¶
Z
Z µ
−t3 + t2 − t
t
3/4
−3/4
2
dt
=
−
+
+
dt =
(1 − 2t)2
2 1 − 2t (1 − 2t)2
t2
3
3/8
− − ln |1 − 2t| −
+ C.
4
8
1 − 2t
Deshaciendo el cambio de variable, resulta finalmente,
√
Z
x+1
2x2 + x + 1 − 2x x2 + x + 1
√
dx = −
4
x + x2 + x + 1
¯
p
3 ¯¯
3
¯
√
− ln ¯1 + 2x − 2 x2 + x + 1¯ −
+ C.
8
8(1 + 2x − 2 x2 + x + 1)
C.2.9.8
Casos particulares. A partir de la integral
Z
dx
√
I1 =
2
ax + bx + c
ya estudiada, se resuelven más fácilmente los siguientes casos particulares
Z
p(x)
√
1)
dx, donde p(x) es un polinomio de grado n.
ax2 + bx + c
Se resuelven haciendo la siguiente descomposición (método alemán)
Z
Z
p
p(x)
dx
2
√
dx = q(x) ax + bx + c + D √
,
2
2
ax + bx + c
ax + bx + c
donde q(x) un polinomio de coeficientes indeterminados de grado n − 1 y
D otra constante a determinar. Para calcular los coeficientes que figuran
en la descomposición
√ anterior derivamos ambos miembros de la igualdad,
multiplicamos por ax2 + bx + c, agrupamos los términos e identificamos
los coeficientes de los términos del mismo grado.
Ejemplo C.18
Z
•
−12x3 + 14x2 + 7x + 9
√
dx
−x2 + x + 2
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
583
Aplicando el método alemán, la integral se descompone en la forma
Z
Z
p
dx
−12x3 +14x2 +7x+9
√
dx = (Ex2 +F x+G) −x2 +x+2 + D √
.
−x2 + x + 2
−x2 +x+2
Derivando ambos miembros se tiene
p
−12x3 + 14x2 + 7x + 9
√
= (2Ex + F ) −x2 + x + 2
−x2 + x + 2
−2x + 1
D
+ (Ex2 + F x + G) √
+√
2
2
2 −x + x + 2
−x + x + 2
√
2
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por −x + x + 2,
1
−12x3 +14x2 +7x+9 = (2Ex+F )(−x2 +x+2)+ (Ex2 +F x+G)(−2x+1)+D.
2
Desarrollando e identificando coeficientes, se obtiene
1
3
5
E = 1, F = − , G = , D = .
2
2
2
De esta forma,
Z
−12x3 + 14x2 + 7x + 9
√
dx =
−x2 + x + 2
µ
¶
Z
x 3 p 2
5
dx
2
√
x − +
−x + x + 2 +
=
2
2 2
2
−x + x + 2
¶
µ
¶
µ
5
1 − 2x
x 3 p 2
−x + x + 2 − arsen
+ C.
x2 − +
2 2
2
3
Z
2)
(rx +
s)n
dx
√
, donde n ∈ N y r, s ∈ R.
ax2 + bx + c
1
Haciendo el cambio rx + s = resulta una integral del tipo anterior.
t
Z p
3)
ax2 + bx + c dx
Multiplicando y dividiendo por
primer tipo.
√
ax2 + bx + c se transforma en una del
PROBLEMAS PROPUESTOS
Resolver las siguientes integrales
Z
x3
dx
(01)
2 + x8
Z
dx
(03)
x ln x
Z
(05)
artg x dx
Z
(07)
e−2x sen 7x dx
Z
(09)
xn ex dx
Z
(11)
tgn x dx
Z
23x − 78
dx
(13)
2
x − 6x + 9
Z
5x2 − 9x + 9
(15)
dx
x4 − 3x3
Z
x4
(17)
dx
x3 − x2 + 9x − 9
Z
x−5
(19)
dx
3
x − 2x2 + x
Z
2x3 − 2x2 + 16
(21)
dx
x(x2 + 4)2
Z
e arsen x
√
dx
1 − x2
Z
x
(04)
dx
ex
Z
(06)
e2x sen 3x dx
Z
sen x
(08) Ip =
dx, p ∈ R+
epx
Z
(10)
senn x dx
Z
28x − 100
dx
(12)
x2 − 6x + 5
Z
2x + 3
(14)
dx
2
2x + 2x + 1
Z
x3
dx
(16)
x2 + 2x + 1
Z
x3
(18)
dx
x2 − 6x + 13
Z
x+3
(20)
dx
x(x − 1)3
Z
dx
(22)
1 + sen x
(02)
585
586
PROBLEMAS PROPUESTOS
Z
4 sen x
dx
cos3 x
Z
sen x
(25)
dx
1 + cos2 x
Z
(27)
tg3 2x dx
Z p
(29)
3 − x2 dx
Z
2x − 1
√
dx
(31)
4 − 9x2
(23)
Z
(24)
Z
cos2 x
dx
sen5 x
sen2 3x dx
(26)
Z
x
√
√ dx
3
x+ x
Z
dx
√
(30)
4 − x2
(28)