Producto de inercia (I ) Rotación de ejes

Producto de inercia (Ixy)
2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1
El producto de inercia (o bi-momento
de inercia) se define respecto a un par
de ejes ortogonales x e y como:
I xy = ∫ xydA
A
Al contrario de el momento de inercia,
que es un valor siempre positivo, el
producto de inercia puede ser positivo,
negativo, o nulo. Esto depende de la
posición del área respecto a los ejes.
13
¿Cómo será el producto de inercia si
hay por lo menos un eje de simetría?
Como se vio para los momentos de
inercia, se pueden trasladar los ejes del
producto de inercia. Se tendrá:
I xy = I x y + A.d x .d y
G G
Queda como deberes formalizar la demostración.
Rotación de ejes
2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1
Los momentos de inercia dependen de la orientación
de los ejes de referencia. Determinaremos como
varía su valor, al variar el ángulo de los ejes.
Para una sección dada, se tenía:
Expresiones trigonométricas auxiliares:
1
cos 2 (θ ) = (1 + cos(2θ ) )
2
NO
1
2
sen (θ ) = (1 − cos(2θ ) )
memorizar!
2
2sen(θ ) cos(θ ) = sen(2θ )
I x = ∫ y 2 dA I y = ∫ x 2 dA I xy = ∫ xydA
A
A
14
A
Hallaremos las expresiones de las inercias
(Ix1, Iy1, Ix1y1) para unos ejes (x1, y1) con el
mismo origen, pero girados un ángulo θ.
Ix + Iy Ix − Iy
+
cos(2θ ) − I xy sen(2θ )
2
2
I + Iy Ix − Iy
Iy = x
−
cos(2θ ) + I xy sen(2θ )
2
2
I − Iy
Ix y = x
sen(2θ ) + I xy cos(2θ )
2
Ix =
1
1
1 1
Se puede ver que, si se suman los
momentos de inercia de ejes ortogonales
girados, se tiene:
Ix + Iy = Ix + Iy
1
1
Es decir, la suma de las inercias de ejes
ortogonales girados permanece constante.
Ejes principales
2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1
Definición: Los momentos de
inercia principales serán los
máximos y mínimos que se
obtengan al variar el ángulo de
rotación θ, siendo los ejes a los que
se refieren, los ejes principales.
Para determinar los ejes principales, se
deriva la expresión de la inercia girada,
con respecto al ángulo de giro θ.
Se
tenía:
Ix =
1
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Si un par de ejes, además de ser principales, su
origen se encuentra en el baricentro de la sección,
dichos ejes se denominarán ejes principalescentroidales.
Atención:
Normalmente, cuando se indica que un par de ejes son
principales, si no se indica el punto origen de los ejes,
se sobreentiende que serán los centroidales, aunque,
rigurosamente, se debería indicar centroidal-principal.
Ix + Iy Ix − Iy
+
cos(2θ ) − I xy sen(2θ )
2
2
Observando para que ángulos se anula
el bi-momento de inercia:
I − Iy
Ix y = x
sen(2θ ) + I xy cos(2θ )
2
Podemos concluir que el bi-momento es nulo
para los ejes principales.
1 1
En forma simplificada, en el módulo 3, se indicó como hipótesis que las secciones
debían ser simétricas con respecto al plano de introducción de las cargas.
Indicar ahora una hipótesis más general, que sustituye la hipótesis anterior:
Una viga en flexión pura se flexiona en su plano si el eje en el que actúa el
momento flector es un eje centroidal principal.
Círculo de Mohr
2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1
Se puede demostrar que si se grafican las parejas (Ix, Ixy),
variando el ángulo de giro (θ) se obtiene la figura de un
círculo. Esta relación es útil para comprender y visualizar las
relaciones entre las distintas inercias al variar el ángulo θ.
Para cada par de ejes ortogonales, se tendrán dos
puntos: A=(Ix, Ixy) y B=(Iy -Ixy), que se inscriben en
un círculo de radio R y centro C=(Im,0) con:
 I − Iy 
2
R = x
 + I xy
 2 
2
2
Im =
Ix + Iy
2
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Ix + Iy Ix − Iy
+
cos(2θ ) − I xy sen(2θ )
2
2
I + Iy Ix − Iy
Iy = x
−
cos(2θ ) + I xy sen(2θ )
2
2
I − Iy
Ix y = x
sen(2θ ) + I xy cos(2θ )
2
Ix =
1
1
1 1
Estas relaciones son análogas a las que se verán
en Elasticidad para relacionar las distintas
tensiones y deformaciones unitarias.
Ixy
“Ix” o “Iy”
-Para las inercias principales, los bi-momentos son nulos.
-El promedio de las inercias para cualquier ángulo se
mantiene constante.