Problema 2 - MecFunNet

PROBLEMA 2
Se consideran varios movimientos de sistemas indeformables
(R3 ≡ S / R(1) 3 ≡ S 1 )
Son movimientos sencillos por ser habituales y se visualizan a través de su materialización por representaciones de dispositivos o de mecanismos.
Los movimientos considerados se denominan:
1) Movimiento de rotación con eje fijo.
2) Movimiento helicoidal o roto-traslacional.
3) Movimiento plano.
4) Movimiento plano de rodadura sin deslizamiento.
5) Movimiento de traslación rectilínea.
6) Movimiento de traslación circular.
Estando determinado el estado cinemático del movimiento de un sistema indeformable a través del
conocimiento temporal de la velocidad de uno de sus puntos y del vector rotación, para cada uno de
ellos se pide:
a) Modelización matemática posible, es decir, identificar un juego de variables que permitan
caracterizar el movimiento, por ejemplo, la evolución de una base ligada al sólido móvil
respecto a una base fija.
b) Invariantes cinemáticos : (ω, vd )
c) e.i.r.m.d.(t)
RESOLUCIÓN
1) Movimiento de rotación con eje fijo
a)








S /S 1 






O ∈ S/vo = 0, ∀t


i = cos ϕi1 + sen ϕj1



j = − sen ϕi1 + cos ϕj1



 k=k
∧
ϕ = ϕ(t)
1
b)
!
!
!


dk
di
dj




 ω = dt · k i + dt · i j + dt · j k = ϕ̇k
(ω, vd ) 

ω



 vd = vo ·
|ω|
ω = ϕ̇k = ϕ̇k1 , vd = 0
c)
e.i.r.m.d. ≡ Eje fijo; ∀P ∈ e.i.r.m.d. : vP = vd = 0
2) Movimiento helicoidal o roto-traslacional
a)








S /S 1 






O ∈ S/vo = vk1 , v = v(t)


i = cos ϕi1 + sen ϕj1



j = − sen ϕi1 + cos ϕj1



 k=k
∧
ϕ = ϕ(t)
1
b)












(ω, vd ) 










!
!
!

dk
di
dj



·k i+
·i j+
· j k = ϕ̇k


 dt
dt
dt


p
z
2π
2π
2π



=
⇒ϕ=
z; ϕ̇ =
ż ⇒ ω =
v
 tan α ≡
2πR Rϕ
p
p
p
ω
vd = vo ·
=v
|ω|
ω = k̇ =
2π
vk1 ; vd = v
p
c)
e.i.r.m.d.(t) ≡ Eje tornillo (eje móvil) ; ∀P ∈ e.i.r.m.d.(t) : v p = vd = vk1
3) Movimiento plano
Todos los puntos del sólido describen trayectorias paralelas a un plano fijo.
a)








S /S 1 






O ∈ S/vo = v1 (t)i1 + v2 (t)j1


i = cos ϕi1 + sen ϕj1



j = − sen ϕi1 + cos ϕj1



 k=k
∧
ϕ = ϕ(t)
1
b)
!
!
!


dk
di
dj




 ω = dt · k i + dt · i j + dt · j k = ϕ̇k
(ω, vd ) 

ω



 vd = vo ·
|ω|
ω = ϕ̇k = ϕ̇k1 , vd = 0
c)



 H ∈ e.i.r.m.d. / OH · ω = O
ω × vo


 OH =
⇒ H ∈ π ⊂ S ∧ π(t) = π1
norω
e.i.r.m.d. ≡ Eje [⊥ π(t) = π1 ] pasando por el punto H(t) ∀P ∈ e.i.r.m.d.(t) : v p = vd = 0, ∀t
4) Movimiento plano de rodadura sin delizamiento
Cuando el coche se mueve en línea recta, las ruedas tienen movimiento plano distinto del movimiento
del chasis del vehículo que también es plano. Aquí se analiza la cinemática de una de las ruedas.
a)










S /S 1 








O ∈ S/ro = x1 i1 + Rj1 ; vo = ẋi1 = v(t)i1


i = cos ϕi1 + sen ϕj1



j = − sen ϕi1 + cos ϕj1
∧
ϕ = ϕ(t)



 k=k
1
t : ∃ I(t) ∈ S ⊂ δ1 (y1 = 0)/vI = 0
b)
!
!
!


dk
di
dj




 ω = dt · k i + dt · i j + dt · j k = ϕ̇k
(ω, vd ) 

ω



 vd = vo ·
|ω|
(
a)vI = vo + ω × OI ; 0 = vi + ϕ̇k × (−Rj) ; 0 = v + Rϕ̇
f (v, ϕ̇) = 0
b)vo = vI + ω × IO ; vi = 0 + ϕ̇k × Rj ; v = −Rϕ̇
f (v, ϕ̇) = 0 =⇒ ϕ̇ = −
v
R
v
ω = ϕ̇k = − k1 , vd = 0
R
c)


H ∈ e.i.r.m.d. / OH · ω = 0



ω × vo ϕ̇k × vi v



 OH = norω = ϕ̇2 = ϕ̇ j = −Rj ⇒ H ≡ I
e.i.r.m.d. ≡ Eje [⊥ π(t) = π1 ] pasando por el punto I(t) ∀P ∈ e.i.r.m.d.(t) : v p = vd = 0, ∀t
5) Movimiento de traslación rectilínea
a)
















S /S 1 














O ∈ S/ro = x1 i1 , vo = ẋi1 = vo (t)i1
∃ I(t) ∈ S / vI/S 2 (t) = 0 Λ rI (t) = −Rj


i = i1



j = j1



 k=k
1
S 2 /S 1 : Movimiento de rotación con eje fijo [Ω = Ω(t)k1 ]
t : ∃ I(t) ∈ S ⊂ δ1 (y1 = 0)/vI = 0
vI/S 1 = VI/S 2 + vI,S 2 /S 1 = 0 + Ω × OI = Ωk1 × (−Rj1 ) = ΩRi1 ≡ vi1
b)













(ω, vd ) 











!
!
!
dk
di
dj
·k i+
·i j+
·j k=0
ω=
dt
dt
dt
(
ω = 0 , ∀t =⇒ Movimiento de traslación
ω = 0 =⇒ @vd ∧ v p = v(t) , ∀P ∈ S
v p = vI + ω × IP = vI = vi1 ≡ vo (t)i1
v p = vo (t)i1 , ∀P ∈ S =⇒ Movimiento de traslación rectilíneo
ω = 0 , ∀t , v p = ΩRi1 = v(t)i1 , ∀P
Si : Ω = cte =⇒ v = cte
(
v p = cte , ∀P ∧ ∀t
v = cte =⇒
=⇒ Mov. traslación rectilíneo y uniforme
ro = x1 i1
c)
ω = 0 , ∀t =⇒ @ e.i.r.m.d.(t) , ∀t
6) Movimiento de traslación crcular
a)










S /S 1 








(
O∈S
i = i1
j = j1
k = k1
vo = −aϕ̇ sen ϕi1 + aϕ̇ cos ϕj1
∧ ϕ = ϕ(t)
ro (0) = ai1
b)
!
!
!


dk
di
dj



·k i+
·i j+
·j k=0
ω=



dt
dt
dt


(

(ω, vd ) 
ω = 0 , ∀t =⇒ Movimiento de traslación





ω = 0 =⇒ @vd ∧ v p = vo (t)



 v p = vo + ω × OP = vo (t)
ω = 0 , ∀t , v p = vo (t) , ∀P
(
vo = −aϕ̇ sen ϕi1 + aϕ̇ cos ϕj1
=⇒ ro = a cos ϕi1 + cos ϕj1
ro (0) = ai1
2
ro = a cos ϕi1 + cos ϕj1 ⇒ xO,1
+ y2O,1 = a2 ⇒ Mov. traslación circular
Si ϕ̇ ≡ Ω = cte ⇒ |vo (t)| = aΩ = cte ⇒ Mov. traslación circular uniforme
c)
ω = 0, ∀t =⇒ @ e.i.r.m.d.(t), ∀t
NOTA:
Los casos B), C’), C”) y D) también corresponden a la situación considerada con las variantes o modificaciones siguientes a tener en cuenta:
B) ro = ai1 + (H − h)j1
C’) y C”) : Movimiento de traslación circular S/S’




vo = (
vi1 , ∀P ∈ S 0








x1 i1 + Hj1
a) ∃S 0 /S 1 : ωS 0 /S 1 = 0, ∀t ∧ 





ro =



x1 i1 + Rj1





0


i=i





0


j = j0 ⇐⇒ ωS /S 0 = 0
b)S /S : 








k = k0


(



vo = −aϕ̇ sen ϕi0 + aϕ̇ cos ϕj0



∧ ϕ = ϕ(t)
 O ∈ S r = ai0
o
D) Movimiento de traslación circular S ≡ S 3 /S 1
(
S 2 /S 1 : ω21 ≡ ω = ϕ̇k1 , rO2 = Hk1
S 3 /S 2 : ω32 = −ω = −θ̇k1 ; θ̇ = ϕ̇, rO3 = ai2


ω = ω32 + ω21 = 0 ⇒ Mov. traslación : v p = vO3 (t), ∀P ∈ S ≡ S 3


 31
rO3 = a cos ϕi1 + a sen ϕj1 + Hk1 ⇒ Mov. traslación circular



 Si : ω ≡ ϕ̇ = cte ⇒ Mov. traslación circular uniforme