Deducción de la Fórmula de Euler

Deducción de la Fórmula de Euler
Primero diremos que Leonardo Euler fue un matemático Suizo nacido en 1707 y desarrollo una gran cantidad de teorías matemáticas sobre polígonos, curvas, números, métodos numéricos de cálculo, etc. Por
todo ello es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia.
En consecuencia, cuando se habla de la fórmula de Euler, hay que referirse al contexto en el cual nos encontramos, pues hay fórmulas de Euler en múltiples campos de la Matemática.
La deducción de la expresión de la exponencial compleja es bastante complicada, e involucra varios temas a desarrollar. Por supuesto, este apunte surge ante la inquietud de algunos alumnos acerca de ¿dónde
sale?.
1) Desarrollo de una función en serie de potencias. Fórmula de Taylor – Mc Laurin
Tratemos de expresar un polinomio mediante sus derivadas en un entorno del punto x = a, por ejemplo
escribamos: P( x ) = C0 + C1( x − a ) + C2( x − a) 2 + C3( x − a ) 3 + ... + Cn( x − a ) n . Bastará encontrar los
P( a ) = C0
P´( a ) = C1
coeficientes y evaluarlos en el punto x = a. Derivemos respecto de x, es decir
P´´( a) = 2C2
P´´´( a ) = 6C3
Realicemos un ejemplo: Sea el polinomio de segundo grado P( x ) = 2x 2 + 3x + 1 . Apliquemos los
P(1) = 6 = C0
conceptos anteriores considerando a=1. P´(1) = (4x + 3)x =1 = 4 + 3 = 7 = C1 . Ahora podemos ver si el
P´´(1) 4
= = 2 = C2
2
2
2
desarrollo es cierto. P( x ) = 2( x − 1) + 7( x − 1) + 6 .Desarrollando los paréntesis queda:
P( x ) = 2x 2 − 4x + 2 + 7x − 7 + 6 = 2x 2 + 3x + 1 como debía ser.
La pregunta ahora es si en vez de un polinomio se trata de una función cualquiera, ¿podrá desarrollarse en
serie de potencias? La respuesta es afirmativa. Sin embargo la función debe cumplir con una condición
obvia y es que deben estar definidas las derivadas sucesivas en el punto de análisis. Además sólo podrá
desarrollarse exactamente con un número finito de términos un polinomio. Tratándose de una función
cualquiera, para un resultado exacto, deben considerarse infinitos términos, lo cual es impracticable, de
manera que se cometerá cierto error acotado cuyo valor se reducirá a medida que aumente el orden de la
aproximación.
Finalmente entonces, arribamos a la fórmula de desarrollo de Taylor, la cual, si el punto en el que desarrollamos la función es x=0, recibe el nombre de desarrollo en serie de Mc Laurin.
LA serie será entonces
n
f ´( a )
f ( x ) = f (a) +
(x − a) ) + f ´´( a) (x − a)2 + f ´´´( a) ( x − a) 3 + ... + f (a) (x − a)n
1!
2!
3!
n!
2) Desarrollo en serie de Mc Laurin de e mx
Simplemente aplicamos la expresión anterior., es decir
1
1
1
1
e mx = 1 + mx + m2x 2 + m3x 3 + m2x 4 + ... + mn x n Si m=j (unidad imaginaria) quedará lo si2!
3!
4!
n!
1
1
1
1
1
guiente: e mx = 1 + jx − x 2 − jx 3 + x 4 + jx 5 + ... + jn x n . Desarrollemos ahora f(x)=sen(x)
2!
3!
4!
5!
n!
3
5
x
x
sen( x ) = 0 + 1x + 0 − + 0 + + ... . Es decir, sólo aparecen los términos de índice impar, lo cual fácil3!
5!
mente puede entenderse haciendo las derivadas sucesivas del seno en el punto cero.
f ( x ) = sen( x ); f ´( x ) = cos( x ); f ´´( x ) = −sen( x ); f ´´´( x ) = − cos( x )
x2
x3
x4
+ sen(0 )
+ cos(0)
+ ...
2!
3!
4!
x 2 x4 x6
Reemplazando las funciones trigonométricas por sus valores queda cos( x ) = 1 − + − + ...
2! 4! 6!
Volviendo al desarrollo en serie de Mc Laurin de la exponencial, podemos escribirla agrupando los tér
 

x 2 x4 x6
x3 x5 x7
jx
minos en forma conveniente e =  1 − + − + ...  + j x − + − + ...  Observando que el
2! 4! 6!
3! 5! 7!

 

primer término representa el desarrollo en serie de Mc Laurin del coseno y el segundo el del seno, queda
demostrada la interesante y útil fórmula de Euler, es decir e jx = cos( x ) + jsen( x )
El desarrollo del coseno será cos( x ) = cos( 0) − sen( 0 )x − cos( 0 )