5.3 Modulaciones Angulares Relaci ´on FM/PM . . .. . . . . .. . .

5.3 Modulaciones Angulares
Representación de señales FM y PM
s(t) = Ac · cos(θ(t)),
fi (t) =
1 d
· θ(t)
2π dt
Señal modulada s(t)
s(t) = Ac · cos(2πfc t + φ(t)),
fi (t) = fc +
1 d
· φ(t)
2π dt
Si m(t) es la señal mensaje
Sistema PM
φ(t) = kp · m(t)
Sistema FM
fi (t) − fc =
Grado Ing. Telemática (UC3M)
1 d
· φ(t) = kf · m(t)
2π dt
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
1 / 15
Relación FM/PM
kp y kf : constantes de desviación de fase y frecuencia
!
!
kp · m(t),
PM
kp · dtd m(t),
PM
d
"t
φ(t) =
φ(t) =
dt
2π · kf · −∞ m(τ ) dτ, FM
2π · kf · m(t), FM
m(t)
!
Modulador
FM
s(t)
m(t)
!
!
.......... ....
. .
.... .... ....
m(t)
!
Integrador
!
Grado Ing. Telemática (UC3M)
Modulador
PM
s(t)
!
.......... ....
. .
.... .... ....
Modulador
PM
s(t)
!
m(t)
!
Teorı́a de la Comunicación
Derivador
!
Modulador
FM
Modulaciones Analógicas
s(t)
!
2 / 15
Índices de modulación
PM: máxima desviación en fase
∆φmax = kp · max(|m(t)|)
FM: máxima desviación de frecuencia
∆fmax = kf · max(|m(t)|)
Índices de modulación de una modulación PM y FM
βp = ∆φmax = kp · max(|m(t)|)
βf =
Grado Ing. Telemática (UC3M)
kf · max(|m(t)|)
∆fmax
=
B
B
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
3 / 15
Caracterı́sticas espectrales de una modulación angular
Modulación angular de banda estrecha (φ(t) << 1)
Relación trigonométrica
cos(A ± B) = cos(A) · cos(B) ∓ sin(A) · sin(B)
Señal modulada
s(t) =Ac · cos(ωc t) · cos φ(t) − Ac · sin(ωc t) · sin φ(t)
≈Ac · cos(ωc t) − Ac · φ(t) · sin(ωc t)
Ancho de banda (Similar AM convencional)
BWBE ≈ 2 · B Hz
Grado Ing. Telemática (UC3M)
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
4 / 15
Modulación mediante una señal sinusoidal
!
a · sin(ωm t), PM
Señal moduladora sinusoidal m(t) =
a · cos(ωm t), FM
Señal modulada
#
s(t) = Ac · cos(ωc t + β · sin(ωm t)) = Re Ac · e
e
jβ·sin(ωm t)
=
∞
%
n=−∞
jωc t
·e
jβ·sin(ωm t)
$
Jn (β) · ejωm nt
Jn (β): función de Bessel de primera especie de orden n
Expresión alternativa de la señal modulada
&
s(t) =Re Ac ·
∞
%
n=−∞
Jn (β) · e
Grado Ing. Telemática (UC3M)
jωm nt jωc t
e
'
=
∞
%
n=−∞
Ac · Jn (β) · cos ((ωc + n · ωm ) · t)
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
5 / 15
Funciones de Bessel Jn (β)
Jn (β) =
∞
%
k=0
k
(−1)
# $n+2k
β
2
k!(k + n)!
βn
, Para β ↓ Jn (β) ≈ n , J−n (β) =
2 n!
!
Jn (β),
n par
−Jn (β), n impar
...........
..... J0 (β)
....
0.8
....
... J1 (β)
................... J2 (β)
0.6
.
.
.
. ....... ...........................................J..3..(β)
.
.
.......................J..4..(β)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0.4
.
.
.
.
.
.........................J..6..(β)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ................................................J....5....(β)
........................J....7..(β)
......
.
.
......................
....
.
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....... ............. .............. ...................... .... ..... ..........................................
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0.2
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...................................................................................................................................................................................................................... ................ ................... ..................
.
.
....
.........
...... .... ...... .... ............ .... ..
0 .... ........ ......... ........ .. ......
....
.....
.
.
.
.
.
.
...... ................ ................. ...............................
.
....
.
.
.
.
.
.
..... ....
.............. ...............................................
..........
-0.2
.....
.
. ...............
.
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.......
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.........
-0.4
1
-0.6
0
1
Grado Ing. Telemática (UC3M)
2
3
4
5
β
6
Teorı́a de la Comunicación
7
8
9
10
Modulaciones Analógicas
6 / 15
Modulación mediante una señal sinusoidal (II)
La señal modulada contiene las frecuencias
fc + n · fm , para n = 0, ±1, ±2, · · ·
Amplitudes: Jn (β)
Ancho de banda efectivo: Be = 2 · (β + 1) · fm Hz.
!
!
2(k
a
+
1)f
,
PM
2(kp a + 1)fm , PM
#p
$m
(
)
Be = 2 · (β + 1) · fm =
=
kf a
2 fm + 1 fm , FM
2 kf a + fm , FM
Número total de armónicos en Be
!
2%kp a& + 3, PM
Me = 2%β& + 3 =
ka
2% ffm & + 3, FM
Grado Ing. Telemática (UC3M)
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
7 / 15
Ejemplo - Modulación con β = 5
J0 (5) = −0.18, J1 (5) = −0.32, J2 (5) = 0.05
J3 (5) = 0.37, J4 (5) = 0.39, J5 (5) = 0.26, · · ·
$
$
$
$
···
$
$
ωc
···
$
ω
#
#
#
Grado Ing. Telemática (UC3M)
#
"!
ωm
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
8 / 15
Otros tipos de moduladoras
Modulación mediante una señal periódica
Frecuencias fc + n · fm
Modulación mediante una señal determinista no periódica
Análisis complicado debido a la no linealidad
Regla de Carson: moduladora con ancho de banda B Hz
Be = 2 · (β + 1) · B Hz
Grado Ing. Telemática (UC3M)
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
9 / 15
5.4 Ruido en sistemas de comunicaciones analógicos
Premisas
Señal de ancho de banda B Hz
PR : Potencia de la señal recibida
Ruido paso banda: componentes en fase y cuadratura
n(t) = nc (t) · cos(ωc t) − ns (t) · sin(ωc t)
Efecto del ruido en banda base
Potencia del ruido y relación señal a ruido
+ ,
* 2πB
1
No
S
PR
Pn =
dω = No · B,
=
2π −2πB 2
N b No · B
Grado Ing. Telemática (UC3M)
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
10 / 15
Ruido en una DBL
Señal recibida
r(t) =s(n) + n(t)
=Ac · m(t) · cos(ωc t + φc ) + nc (t) · cos(ωc t) − ns (t) · sin(ωc t)
Señal demodulada
x(t) =r(t) · cos(ωc t + φ)
=Ac · m(t) · cos(ωc t + φc ) · cos(ωc t + φ) + n(t) · cos(ωc t + φ)
1
1
= · Ac · m(t) · cos(φ − φc ) + · Ac · m(t) · cos(2ωc t + φ + φc )
2
2
1
+ · [nc (t) · cos(φ) + ns (t) · sin(φ)]
2
1
+ · [nc (t) · cos(2ωc t + φ) − ns (t) · sin(2ωc t + φ)]
2
Grado Ing. Telemática (UC3M)
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
11 / 15
Ruido en una DBL (II)
Señal Filtrada
d(t) =
1
1
· Ac · m(t) · cos(φ − φc ) + · [nc (t) · cos(φ) + ns (t) · sin(φ)]
2
2
Receptor sı́ncrono o coherente: φc = φ = 0
d(t) =
1
· [Ac · m(t) + nc (t)]
2
Potencia de señal y de ruido
* ∞
A2c
1
1
Po =
· PM , Pno = · Pn , Pn =
Sn (jω) dω = 2 · No · B
4
4
2π −∞
Relación señal a ruido
+ ,
+ ,
A2c
2P
P
Po
A
S
S
A2c
M
M
c
4
=
= 1
=
=
, PR =
· PM
N DBLo Pno
2N
B
N
2
2N
B
o
o
b
4
Grado Ing. Telemática (UC3M)
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
12 / 15
Ruido en una BLU
Señal demodulada y filtrada (receptor coherente)
d(t) =
Ac
1
· m(t) + · nc (t)
2
2
Potencia de señal y de ruido
A2c
1
1
Po =
· PM , Pno = · Pn , Pn =
4
4
2π
*
∞
−∞
Sn (jω) dω = No · B
Relación señal a ruido
+ ,
S
Po
=
=
N BLUo Pno
Grado Ing. Telemática (UC3M)
A2c
4 · PM
1
4 · No · B
A2c · PM
=
=
No · B
Teorı́a de la Comunicación
+ ,
S
, PR = A2c · PM
N b
Modulaciones Analógicas
13 / 15
Ruido en AM convencional
Utilizando demodulador sı́ncrono
d(t) =
1
· {Ac [1 + m(t)] + nc (t)}
2
Relación S/N (señal deseada m(t))
+ ,
A2c
1 2
2P
A
P
S
A
P
M
M
M
c
2 [1 + PM ]
= 41
= c
=
N AMo
2No B
1 + PM
No B
4 Pno
+ ,
+ ,
PM PR
PM
S
S
=
=
=η
,
1 + PM No B
1 + PM N b
N b
A2c
PR =
· [1 + PM ],
2
η=
PM
1 + PM
η: eficiencia de la modulación.
Grado Ing. Telemática (UC3M)
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
14 / 15
Ruido en modulaciones angulares
Salida del demodulador (con ruido)
!
kp · m(t) + Yn (t), PM
d(t) =
1
kf · m(t) + 2π
· dtd Yn (t),
FM
2
Relación señal a ruido (PR = A2c )

+
,2 + ,
2 A2
k

β
P
S
p
c
p
m


+ ,
= PM
·
,

S
2 No B
max |m(t)|
N b
=
+
,2 + ,
2 A2
3k
N o 
β
P
S
c
f
f
m


=
3P
·
,

M
2B2 No B
max |m(t)|
N b
Efecto umbral
Grado Ing. Telemática (UC3M)
PM
FM
+ ,
S
= 20 · (β + 1)
N bu
Teorı́a de la Comunicación
Modulaciones Analógicas
15 / 15