MATEM@TICAS B@SICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE

MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación trigonométrica es una ecuación en términos de expresiones trigonométricas, para la cual
las variables o incógnitas representan números reales, que son la medida en radianes de ángulos.
Una identidad es una ecuación trigonométrica que tiene como solución todos los valores de la variable para
los cuales están de…nidas las expresiones trigonométricas involucradas.
Resolver una ecuación trigonométrica es hallar el ángulo, o los ángulos que satisfacen la ecuación, es decir,
los ángulos que convierten la ecuación en una proposición verdadera.
Para resolver una ecuación trigonométrica usamos las operaciones algebraicas y las identidades trigonométricas para escribir, en términos de una función trigonométrica, y a un lado del signo igual, todas las expresiones
trigonométricas, y luego encontramos los ángulos que satisfacen la ecuación.
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
csc2 x
4 = 0:
Solución
(csc x + 2) (csc x
csc x + 2 = 0 ó csc x
2) = 0
2=0
csc x = 2 ó csc x = 2
1
1
= 2ó
=2
sen x
sen x
1
1
ó sen x =
sen x =
2
2
Hallemos las soluciones en el intervalo [0; 2 ] ;es decir, los ángulos en dicho intervalo que satisfacen estas
ecuaciones:
sen x =
sen x =
Luego, x =
6
1
7
11
si x =
óx=
2
6
6
1
5
si x = ó x =
:
2
6
6
;x=
5
7
11
;x=
yx=
6
6
6
son las soluciones de la ecuación en el intervalo [0; 2 ].
Como la función seno es periódica, de período 2 , todas las soluciones en R se obtienen sumando los múltiplos
enteros de 2 a las soluciones halladas en el intervalo [0; 2 ]. Así,
x=
6
+ 2k , x =
5
7
11
+ 2k ; x =
+ 2k y x =
+ 2k ; k 2 Z
6
6
6
1
son las soluciones de la ecuación inicial.
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación:
2 cos2 x + sen x = 1:
Solución
sen 2 x + sen x =
2 1
1
2
2 2 sen x + sen x = 1
2 sen 2 x sen x 1 = 0
1
sen x =
sen x =
sen x =
p
1+8
4
3
1
4
4
2
= 1 ó sen x =
=
4
4
1
2
1
7
11
y sen x =
si x =
óx=
:
2
2
6
6
Con base en la periodicidad de la función seno, las soluciones en R de la ecuación son:
sen x = 1 si x =
x=
2
+ 2k , x =
7
11
+ 2k y x =
+ 2k ; k 2 Z:
6
6
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
2 sen 3x
1 = 0:
Solución
sen 3x =
1
2
5
+ 2k ó 3x =
+ 2k ; k 2 Z:
6
6
Luego, todas las soluciones en R de la ecuación son de la forma:
3x =
x=
18
+
2k
3
yx=
2
5
2k
+
; k 2 Z:
18
3
Ejemplo
Halle los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación:
cos x + 1 = sen x:
Solución
2
(cos x + 1)
2
cos x + 2 cos x + 1
cos2 x + 2 cos x + 1
2 cos2 x + 2 cos x
2 cos x (cos x + 1)
=
=
=
=
=
sen 2 x
sen 2 x
1 cos2 x
0
0
2 cos x = 0 ó cos x + 1 = 0
cos x = 0 ó cos x = 1
3
x = + 2k , x =
+ 2k , x = + 2k ; k 2 Z:
2
2
Ahora, como en el procedimiento para resolver la ecuación elevamos al cuadrado, debemos determinar cuáles
de estos valores de x satisfacen la ecuación original.
Si x =
2
, cos
2
+ 1 = 0 + 1 = 1 y sen
Por lo tanto x =
2
2
= 1.
+ 2k , k 2 Z es solución de la ecuación original.
3
3
3
, cos
+ 1 = 0 + 1 = 1 y sen
= 1.
2
2
2
3
Por lo tanto x =
+ 2k , k 2 Z no es solución de la ecuación original.
2
Si x =
Si x = , cos + 1 =
Por lo tanto x =
1 + 1 = 0 y sen
= 0.
+ 2k , k 2 Z es solución de la ecuación original.
Luego, las soluciones de la ecuación original son
x=
2
+ 2k
yx=
+ 2k ; k 2 Z:
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
cos 5x
cos 7x = 0:
Solución
cos (6x x) cos (6x + x) = 0
cos 6x cos x + sen 6x sen x cos 6x cos x + sen 6x sen x = 0
2 sen 6x sen x = 0
sen 6x = 0 ó sen x = 0
6x = k ó x = k ; k 2 Z
Entonces,
x=
k
6
y x=k ; k2Z
son las soluciones de la ecuación original.
3
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la siguiente ecuación trigonométrica en el intervalo [0; 2 ):
tan4 x
13 tan2 x + 36 = 0
Solución
En primer lugar, factorizamos completamente la ecuación:
(tan x + 3) (tan x
tan2 x 9 tan2 x
3) (tan x + 2) (tan x
4 = 0
2) = 0:
Por lo tanto,
tan x =
3 ó tan x = 3 ó tan x =
2 ó tan x = 2:
Ahora, con una calculadora en modo radianes, al aplicar la función o tecla tan
:
el intervalo
,
2 2
tan x =
3 si x =
Sin embargo
:
1
obtenemos valores de x en
1:249:
1:249 2
= [0; 2 ), entonces, como la función tangente es periódica, con período , sumamos
1:249 +
= 1:8926 2 [0; 2 ):
tan x = 3 si x = 1:249 2 [0; 2 ):
tan x =
2 si x =
Sin embargo
sumamos :
1:1071:
1:1071 2
= [0; 2 ), entonces, como la función tangente es periódica, con período
1:1071 +
= 2:0345 2 [0; 2 ):
tan x = 2 : x = 1:1071 2 [0; 2 ):
De esta forma, las únicas 4 soluciones de la ecuación trigonométrica en el intervalo [0; 2 ) son:
x = 1:8926, x = 1:249, x = 2:0345, y x = 1:1071:
4
;