seno de la suma de dos ángulos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
SENO
ENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Sean α y β dos ángulos.. A
Al aplicar la función seno a la suma de los ángulos
α y β se obtiene la siguiente identidad:
sen (α + β ) = sen α cos β + sen β cos α
Ejemplo: Obtener el valor de sen (105º ) , utilizando la identidad del seno de la
suma de dos ángulos.
Resolución
En este caso se considera que 105º =45º + 60º, de modo que
sen (105º ) = sen (45º +60º )
= sen (45º ) cos ( 60º ) + sen (60º ) cos ( 45º )
 2   1   3  2 
= 
   + 



 2   2   2  2 
2
+
4
2
=
+
4
2+
=
4
=
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4
6
4
6
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COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
SENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Sean α y β dos ángulos. La aplicación de la función seno al ángulo α − β da
por resultado la siguiente identidad:
sen (α − β ) = sen α cos β − sen β cos α
Ejemplo: Obtener el valor de sen (15º ) , utilizando la identidad del seno de la
diferencia de dos ángulos.
Resolución
En este caso que 15º = 60º - 45º, de modo que
sen (15º ) = sen (60º − 45º )
= sen (60º ) cos ( 45º ) − sen (45º ) cos (60º )
 3 
 2   2  1 
= 

 − 
  
 

 2 
 2   2  2 
3 2
2
−
4
4
3 2− 2
=
4
6− 2
=
4
=
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COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Sean α y β dos ángulos. Al aplicar la función coseno al ángulo α + β , se
obtiene la siguiente identidad:
cos (α + β ) = cos α cos β − sen α senβ
Ejemplo: Obtener el valor de cos (75º )
Resolución
Como 75º = 45º + 30º entonces
cos (75º ) = cos (45º + 30º )
= cos (45º ) cos (30º ) − sen (45º ) sen (30º )
 2  3   2   1 
= 

 2  −  2   2 
2


 

2 3
2
−
4
4
2 3− 2
=
4
6− 2
=
4
=
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COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
COSENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Sean α y β dos ángulos. Para obtener el coseno del ángulo α − β se utiliza la
identidad
cos (α − β ) = cos α cos β + sen α sen β
Ejemplo: Utilizar la identidad anterior para obtener el valor de cos (105º )
Resolución
En este caso 105º = 150º - 45º, por tanto
cos (105º ) = cos (150º − 45º )
= cos (150º ) cos (45º ) + sen (150º ) sen (45º )

3  2   1   2 
=  −

 +   


 2  2   2   2 
3 2
2
+
4
4
− 3 2+ 2
=
4
− 6+ 2
=
4
2− 6
=
4
=−
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COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
SENO DEL DOBLE DE UN ÁNGULO
Sea α un ángulo. Para obtener sen (2α ) se utiliza la identidad
sen (2α ) = 2 sen α cos α
Ejemplo 1: Comprobar num
numéricamente que sen ( 90º ) = 2 sen (45º ) cos (45º )
Resolución
Como sen (90º ) = 1, sen (45º ) =
2
2
y cos (45º ) =
2
, entonces
2
sen (90º ) = 2 sen (45º ) cos ( 45º )
 2  2 
1 = 2 



 2  2 
2
1 = 2 
4
1 =1
Ejemplo 2: Utilizar la identidad trigonométrica del seno de un ángulo doble
para calcular sen (120º )
Resolución
Como 120º = 2(60º)) entonces
sen (120º ) = sen (2(60º ))
= 2 sen (60º ) cos (60º )
 3  1 
= 2 
  
 2  2 
=
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COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
COSENO DEL DOBLE DE UN ÁNGULO
ara calcular el coseno del ángulo 2α se puede utilizar
Sea α un ángulo. Para
cualquiera de las tres identidades siguientes:
cos (2α ) = cos 2 α − sen 2 α
cos (2α ) = 2 cos 2 α −1
cos (2α ) =1 − 2 sen 2α
Ejemplo: Calcular cos (120º ) utilizando cada una de las identidades anteriores.
anteriores
Resolución
Utilizando cos (2α ) = cos 2 α − sen 2 α
cos (120º ) = cos (2(60º ))
= cos 2 (60º ) − sen 2 (60º )
2
1  3
=   − 

 2   2 
1 3
= −
4 4
2
=−
4
1
=−
2
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DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
Utilizando cos (2α ) = 2cos 2 α −1
cos (120º ) = cos (2(60º ))
= 2 cos 2 (60º ) − 1
2
1
= 2   −1
2
1
= 2   −1
4
1
= −1
2
1
=−
2
Utilizando cos (2α ) =1 − 2 sen 2α
cos (120º ) = cos(2(60º ))
=1 − 2 sen 2 (60º )
 3
=1 − 2 

 2 
3
= 1− 2  
4
3
= 1−
2
1
=−
2
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