P2Jun08

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Examen de Fundamentos Fı́sicos de la Ingenierı́a: Segundo cuatrimestre
Primer Curso de Ingenierı́a Industrial
30 de junio de 2008
PROBLEMA 2
Dos máquinas térmicas reversibles de rendimientos iguales se conectan en serie tal como se
muestra en la figura. La temperatura del foco caliente en Tc = 555 K y la del foco frı́o Tf = 222 K.
La máquina 1 extrae 102 cal del foco caliente y la energı́a Qe cedida por la máquina 1 al foco
intermedio es igual que la absorbida de éste por la máquina 2. Calcule:
a)
b)
c)
d)
Temperatura Te del foco intermedio.
Trabajo realizado por cada máquina.
Calor Q2 cedido al foco frı́o.
Demuestre que el rendimiento total para la máquina térmica compuesta por la suma de las
T
máquinas 1 y 2 es: ε = 1 − Tfc .¿Puede relacionar este resultado con el Teorema de Carnot?.
SOLUCIÓN:
Apartado a)
Dado que las dos máquinas son ideales, su rendimiento vendrá dado por la temperatura de
los focos (teorema de Carnot). En concreto, tenemos:
Te
Tc
Tf
ε2 = 1 −
Te
ε1 = 1 −
(1)
(2)
Haciendo uso entonces del dato de que los rendimientos de ambas máquinas son iguales (ε1 = ε2 )
tenemos que:
q
Tf
Te
=
→ Te = Tf Tc = 351 K
(3)
Tc
Te
Apartado b)
De la definición del rendimiento tenemos que |W1 | = ε1 Q1 , donde Q1 es un dato del problema.
Por otro lado el valor numérico del rendimiento 1 es ahora fácil de determinar:
351
Te
=1−
= 0,370
(4)
ε1 = 1 −
Tc
555
y por tanto:
|W1 | = ε1 Q1 = 0,370 × 102 cal = 37,7 cal.
(5)
Para calcular W2 podemos partir también de la definición del rendimiento: |W2 | = ε2 Qe ,
donde ε2 = ε1 = 0,370 y el calor Qe es el calor absorbido del foco caliente (foco intermedio)
por la máquina 2, que coincide en valor absoluto con el calor cedido a ese mismo foco por la
máquina 1. Éste último es fácil de calcular aplicando el Primer Principio a la máquina 1:
|Qe | = Q1 − |W1 | = Q1 (1 − ε1 ) = 64,3 cal
(6)
|W2 | = ε2 Qe = 0,370 × 64,3 cal = 23,8 cal
(7)
De donde:
Apartado c)
Una vez que hemos calculado el trabajo realizado por la máquina 2, el calor que ésta cede
al foco frı́o se deduce sencillamente a partir del Primer Principio de la Termodinámica:
|Q2 | = Qe − |W2 | = (1 − ε2 )Qe = 40,5 cal
(8)
Apartado d)
Considerando ambas máquinas como una sola máquina térmica el rendimiento, por definición,
será:
|W1 | + |W2 |
(9)
ε=
Q1
Los trabajos de las máquinas 1 y 2 pueden expresarse de una forma sencilla en función de los
rendimientos de las máquinas 1 y 2 y del calor absorbido del foco más frio (Q1 ):
|W1 | = ε1 Q1
(10)
|W2 | = ε2 Qe = ε2 (Q1 − |W1 |) = ε2 (1 − ε1 )Q1
(11)
Sustituyendo estas expresiones en (9) tenemos:
ε = ε1 + ε2 (1 − ε1 ) = 1 −
Tf Te
Tf
Te
+ (1 −
) =1−
Tc
Te Tc
Tc
(12)
Este resultado está de acuerdo con el Segundo Principio de la Termodinámica. De hecho, el Teorema de Carnot (una forma de enunciar el Segundo Principio) dice que el rendimiento máximo
entre dos focos térmicos dados lo proporciona una máquina ideal (reversible). Este rendimiento
teórico máximo sólo depende de las temperaturas de los focos y ha de ser el mismo para cualquier máquina reversible funcionando entre esos focos térmicos. En este problema la máquina
compuesta por la suma de la máquina 1 y la máquina 2 resulta ser una máquina reversible
(puesto que 1 y 2 son reversibles) trabajando entre dos focos de temperaturas Tc y Tf y, en consecuencia, su rendimiento debe ser el de una máquina de Carnot que trabaje entre esos focos,
T
esto es: ε = 1 − Tfc . Este resultado es válido incluso aunque no se cumpla la condición ε1 = ε2 ,
como se desprende por otra parte de la demostración (9)-(12).