Casos especiales de integrales de superficie

E.E.I.
C ÁLCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
Curso 2011-12
Clase 14
(22 mar. 2012)
Casos especiales de integrales de superficie
1.– Plano horizontal z = a. 2.– Plano vertical x = a. 3.– Esfera de radio a: x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . 4.– Cilindro
x 2 + y 2 = a 2 . 5.– Gráfica de una función de dos variables: z = f (x, y).
1 Plano horizontal z = a.
Si se quiere calcular el flujo de un campo F = (M, N , P) a través de una región R contenida en un plano de
la forma z = a hay que evaluar el campo en los puntos de la forma (x, y, a) y quedarse con la componente
z del resultado ya que el vector unitario normal a la superficie es en este caso n̂ = ±k = ±(0, 0, 1). El
elemento de superficie es dS = dx dy y la integral del flujo queda:
ZZ
ZZ
F · n̂dS = ±
P(x, y, a)dx dy
R0
R
R0
donde es la región del plano x y obtenida al proyectar R sobre este plano. El signo es el de la orientación
que se le dé al plano ±k. Como se ve, la integral del flujo se ha reducido a una simple integral doble.
2 Plano vertical x = a.
En el caso de una región R contenida en el plano vertical x = a hay que evaluar el campo F = (M, N , P)
en los puntos de la forma (a, y, z) y quedarse con la componente x del resultado ya que el vector unitario
normal a la superficie es en este caso n̂ = ±i = ±(1, 0, 0). El elemento de superficie es dS = dx dy y la
integral del flujo queda:
ZZ
ZZ
R
F · n̂dS = ±
R0
M(a, y, z)dy dz
donde R 0 es la región del plano yz obtenida al proyectar R sobre este plano. El signo es el de la orientación
que se le dé al plano ±i. Como se ve, la integral del flujo se ha reducido a una simple integral doble.
En el caso de un plano paralelo al plano x z, es decir, un plano de la forma y = a, la integral del flujo
queda:
ZZ
ZZ
R
F · n̂dS = ±
R0
N (x, a, z)dx dz
donde R 0 es la región del plano x z obtenida al proyectar R sobre este plano.
3 Esfera de radio a: x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
Si se quiere calcular el flujo de un campo F = (M, N , P) a través de una región R que es parte de la
superficie de una esfera centrada en el origen y de radio a (de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ) hay que
calcular el producto escalar de F con el vector unitario normal a la superficie esférica, el cual es en este
caso n̂ = ± (x,y,z)
a . Después lo mejor es utilizar las coordenadas angulares de las coordenadas esféricas y
evaluar el resultado de aquel producto escalar en los puntos de la forma
x = a sen cos ✓,
y = a sen sen ✓,
z = a cos
. El elemento de superficie es dS = a 2 sen d d✓ y la integral del flujo queda:
ZZ
ZZ
F · n̂dS = ±
(M x + N y + Pz)a sen d d✓.
R
R
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Curso 2011-12
(donde, naturalmente, en cada lugar donde aparezca una x hay que sustituirla por a sen cos ✓, cada ocurrencia de y por a sen sen ✓ y cada ocurrencia de z por a cos ). El signo es positivo si la superficie
esférica se orienta hacia afuera y negativo si se orienta hacia adentro.
4 Cilindro x 2 + y 2 = a 2 .
Si la región R a través de la que queremos calcular el flujo de F = (M, N , P) es parte de una superficie
cilı́ndrica de radio a cuyo eje es el eje z (de ecuación x 2 + y 2 = a 2 ) el vector unitario normal a la superficie
es en este caso
(x, y, 0)
n̂ = ±
.
a
Entonces calcularemos el producto escalar de F con n̂ y, usando coordenadas cilı́ndricas, evaluaremos el
resultado en los puntos de la forma
x = a cos ✓,
y = a sen ✓,
z.
El elemento de superficie es dS = a dz d✓ y la integral del flujo queda:
ZZ
ZZ
F · n̂dS = ±
(M x + N y)dz d✓.
R
R
(donde, naturalmente, en cada lugar donde aparezca una x hay que sustituirla por a cos ✓ y cada ocurrencia
de y por a sen ✓). El signo es positivo si la superficie cilı́ndrica se orienta hacia afuera y negativo si se
orienta hacia adentro.
5 Gráfica de una función de dos variables: z = f (x, y).
En el caso de que la región R a través de la que queremos calcular el flujo de F = (M, N , P) sea parte de
una superficie que es la gráfica de una función z = f (x, y), entonces el elemento vectorial de superficie se
puede hallar como el producto vectorial de de dos vectores tangentes a la superficie: el primero obtenido
derivando el vector r = x, y, f (x, y) respecto a x y el segundo derivando el mismo respecto a y:
Tx =
⇣
@r
@f ⌘
= 1, 0,
,
@x
@x
Ty =
@r ⇣
@f ⌘
= 0, 1,
.
@y
@y
Ası́ obtenemos:
0
1
i j
k
dS = Tx ⇥ T y dx dy = det @1 0 @ f /@ x A dx dy =
0 1 @ f /@ y
@f
i
@x
⇣
@f
i+k=
@y
@f
,
@x
@f ⌘
, 1 dx dy
@y
Aquı́ estamos tomando como orientación de la superficie la del vector normal que tiene componente z
positiva, es decir, el que apunta hacia arriba. La integral del flujo queda ası́:
ZZ
ZZ ⇣
⌘
@f
@f
F · dS = ±
M
N + P dx dy.
@x
@y
R
R0
donde R 0 es la región del plano x y obtenida al proyectar R sobre este plano y donde, naturalmente, en cada
lugar donde aparezca una z hay que sustituirla por f (x, y) . El signo es positivo si la superficie se orienta
hacia arriba y negativo si se orienta hacia abajo.
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