Clase 13

E.E.I.
C ÁLCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
Curso 2011-12
Clase 13
(20 mar. 2012)
Flujo de campos vectoriales en el espacio
1.– Campos vectoriales en el espacio. 2.– Flujo a través de una superficie orientada en el espacio. 3.– Ejemplo: Flujo
a través de una esfera de radio a.
1 Campos vectoriales en el espacio.
Un campo vectorial en el espacio tiene tres componentes que vamos a denotar M, N , P ası́ que tendremos F(x, y, z) = (M, N , P). Cada una de estas tres componentes es a su vez una función de las tres
coordenadas (x, y, z).
Ejemplos de campos vectoriales en el espacio son:
1. Campos de fuerzas, tales como el de la fuerza gravitatoria o la fuerza eléctrica. La fuerza gravitatoria
que una partı́cula masiva colocada en el punto (0, 0, 0) ejerce sobre una partı́cula de masa unidad
colocadapen el punto (x, y, z) tiene magnitud de la forma k/⇢ 2 donde k es una constante positiva
y ⇢ = x 2 + y 2 + z 2 es la coordenada radial en coordenadas esféricas. La dirección del campo
es la misma, aunque en sentido opuesto, que la del vector posición (x, y, z), por tanto el campo
gravitatorio tiene la forma:
k
F(x, y, z) =
(x, y, z).
⇢3
2. Campo de velocidades de un fluido.
3. Gradiente de un campo escalar en el espacio.
2 Flujo a través de una superficie orientada en el espacio.
2.1 Caso de una superficie plana y un campo constante perpendicular a ella.
Imaginemos una región R contenida en un plano en el espacio. Supongamos que en cada punto de la
región R está definido un campo vectorial F cuya dirección es perpendicular al plano de R y cuya magnitud
|F| = F es constante a lo largo de los puntos de la región R. Entonces, la magnitud del flujo de F de a
través de R es por definición el producto de F por el área de R:
Flujo R F = F · área(R)
Por otra parte, el signo del flujo sólo se podrá definir si se ha dado una orientación en el plano, lo cual
es equivalente a elegir un vector unitario normal al plano o a elegir una orientación en el recorrido de la
curva que es la frontera de la región R. Elegido el sentido de la orientación (por ejemplo mediante el
vector unitario n̂), el signo del flujo se tomará positivo si F apunta en la misma dirección y sentido que n̂ y
negativo si apunta en la opuesta.
2.2 Caso de una superficie plana y un campo constante no necesariamente perpendicular a ella.
Imaginemos ahora que en el caso anterior el campo vectorial F no es perpendicular al plano de R aunque
su magnitud |F| = F sigue siendo constante a lo largo de los puntos de la región R. Entonces, el flujo de
F de a través de R es por definición el producto escalar de F por el vector unitario n̂ y multiplicado por el
área de R:
Flujo R F = F · n̂ ⇥ área(R).
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Flujo de campos vectoriales en el espacio
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2.3 Caso general.
En la situación general tendremos una región orientada R contenida en una superficie en el espacio y en
cada punto de la región R habrá definido un campo vectorial F. En esta situación general, el flujo de F a
través de R se define dividiendo la región R en trozos suficientemente pequeños como para que cada trozo
pueda ser considerado como aproximadamente plano y en él el campo F sea aproximadamente constante.
Entonces cada trozo recibe la orientación de R y define un flujo de F, siendo el flujo total de F a través de
R la suma de todos los flujos en los distintos trozos.
ZZ
n
X
Flujo R F =
F · n̂d A = lim
Fi · n̂i 1Ai
n!1
1Ai !0 i=1
R
3 Ejemplo: Flujo a través de una esfera de radio a.
3.1 Caso del campo F(x, y, z) = (x, y, z).
Este campo es, en los puntos de la superficie de la esfera, perpendicular a la misma y tiene módulo constante
sobre la misma, el cual es igual a
q
|F(x, y, z)| = |(x, y, z)| = x 2 + y 2 + z 2 = a,
ya que los puntos de la superficie esférica satisfacen la ecuación x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
En consecuencia, el flujo de este campo es igual a su módulo multiplicado por la superficie de la esfera:
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
Flujo(F) =
F · n̂d A =
|F|d A =
adA = a
d A = a ⇥ 4⇡a 2 = 4⇡a 3 .
R
R
R
R
3.2 Caso del campo F(x, y, z) = (0, 0, z).
En este caso ya no podemos simplificar el cálculo del flujo como en el caso anterior ya que ni el campo es
perpendicular a la superficie (excepto en los polos) ni tiene magnitud constante. En este caso necesitamos
hacer un análisis que nos permita conocer el elemento de área sobre la superficie esférica y utilizarlo para
plantear la integral doble del flujo.
Definamos la posición de un punto sobre nuestra superficie esférica de la misma forma que se sitúa un
punto sobre la superficie de la Tierra, es decir, mediante sus coordenadas geográficas de longitud y latitud.
Observemos que la longitud es precı́samente el ángulo azimutal ✓ de las coordenadas esféricas y que la
latitud es el complementario del ángulo cenital , ası́ que por comodidad nos vamos a quedar con estas dos
coordenadas , ✓, que conocemos bien.
Si a un punto de coordenadas ( , ✓) le variamos ligeramente la coordenada mediante un pequeño
incremento 1 , el punto se desplaza una distancia a1 . Por otro lado, si en lugar de variar la coordenada
variamos ✓ mediante un incremento 1✓, el punto recorre un pequeño arco de longitud a sen 1✓ estos
dos arcos definen un pequño rectángulo curvilı́neo sobre la superficie esférica cuyo área, en primer orden
de aproximación es:
1S = (a1 ) ⇥ (a sen 1✓) = a 2 sen 1 1✓,
lo cual nos dice que el elemento de área sobre la superficie esféricas es, en términos de las coordenadas
y ✓,
dS = a 2 sen d d✓
Por otro lado, el vector unitario normal a la esfera en un punto de coordenadas (x, y, z) es justamente el
vector r = (x, y, z) dividido por su módulo, es decir:
n̂ =
r
r
= .
|r|
a
(ya que, al ser un punto de la superficie esférica, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y por tanto, |r| = |(x, y, z)| =
p
x 2 + y 2 + z 2 = a).
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En consecuencia, la integral del flujo en este caso es:
ZZ
Flujo(F) =
F · n̂dS
sup.
=
Z Zesfer.
=a
=a
ZZ
Z
0
z 2 sen
sup.
esfer.
2⇡ Z ⇡
2
= 2⇡a 3
= 2⇡a 3
= 2⇡a 3
= 2⇡a 3
=
1
(0, 0, z) · (x, y, z)a 2 sen d d✓
a
sup.
esfer.
d d✓
a cos2
Z
0
⇡
cos2
0
"
⇣
⇣
4 3
⇡a .
3
cos3
3
sen d d✓
sen d
#⇡
0
cos3 ⇡ ⇣ cos3 0 ⌘⌘
3
3
1 ⇣ 1 ⌘⌘
3
3
3
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