Aplicaciones de la Derivada en la Construcción de

Aplicaciones del Cálculo
Diferencial e Integral
Msc. Gerardo Garita Orozco
Universidad Latina
ÍNDICE
1.- Qué es el cálculo diferencial
2.- Aplicaciones de las derivadas en la construcción de gráficos
3.-Criterio de la I derivada
4.-Ejemplos
5.- Criterio de la II Derivada
6.- Ejemplos
7.-Aplicaciones del cálculo integral a la administración
8.- El excedente del consumidor y el excedente del productor
9.- Ejemplos
Contenidos del Webinar
Aplicaciones del Cálculo
Diferencial e Integral
Aplicaciones de las derivadas
en la construcción de gráficos
Criterio de la I
Derivada
Ej 1
Ej 2
Criterio de la
II Derivada
Ej 1
Ej 2
Ej 1
Aplicaciones de la
Integral en la
Administración
Excedentes del
consumidor y del
productor
Ej 2
¿Qué es el cálculo?
El cálculo es una de las áreas de la Matemática dedicada al estudio de los
cambios que se dan en las diferentes funciones, es por este motivo que su
estudio esta relacionado con la pendiente de una curva, la recta tangente, la
velocidad de cambio, entre otros.
El presente trabajo busca mostrar de una manera gráfica la relación de una
función con su primera y segunda derivada, apoyados con el software libre
GeoGebra.
Mediante diferentes ejemplos el estudiante puede manipular las funciones y
observar su relación con sus derivadas.
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Aplicaciones de las derivadas en la
construcción de gráficos
La I derivada y la II derivada están estrechamente ligadas a la función
original y proporcionan información valiosa de la misma.
La misma es de gran ayuda a la hora de graficar la función.
En la mayoría de los cursos de cálculo se habla que la I derivada permite
determinar los intervalos de monotonía de la función y sus puntos extremos.
La segunda derivada nos indica los intervalos de concavidad, puntos de
inflexión y verifica si los puntos extremos son máximos y mínimos
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Criterio de la I derivada
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b], que es
derivable en todo punto del intervalo abierto ]a, b[.
Sea c en ]a, b[ tal que f´(c) = 0 ó f´(c) no existe.
 Si f`(x) es positiva para todo x<c, y negativa para todo x > c,
entonces f ( c ) es un valor máximo relativo de f( x )
Criterio de la I derivada
 Si f`(x) es negativa para todo x<c, y positiva para todo x > c, entonces f ( c )
es un valor mínimo relativo de f( x )
Criterio de la I derivada
 Si f`(x) es positiva para todo x<c, y también lo es para todo x > c, o s i f`(x) es negativa
para todo x<c, y a su vez para todo x > c, entonces f ( c ) es un valor relativo máximo ,
ni es un valor mínimo relativo de f( x )
Puntos críticos
Un valor c que pertenezca al dominio de f y que cumpla alguna de las
condiciones f´(c) = 0 o que f´(c) sea indefinida recibe el nombre de valor
crítico.
Recordatorio
Puntos
críticos
Primera
derivada
Creciente
Decreciente
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Criterio de la II Derivada
La segunda derivada de una función nos permite determinar donde la
función es cóncava hacia arriba y donde la función es cóncava hacia abajo.
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Concavidad
La gráfica de una función 𝑓 es cóncava hacia arriba en un intervalo, si la segunda
derivada de la función es positiva.
𝑓 ′′ 𝑥 > 0
La gráfica de una función 𝑓 es cóncava hacia abajo en un intervalo, si la segunda
derivada de la función es positiva.
𝑓′′(𝑥) < 0
Segunda derivada
Concavidad
Máximos y
mínimos
relativos
Posibles
puntos de
inflexión
Segunda
derivada
Puntos de inflexión
Un punto 𝑐 del dominio de una función es un punto de inflexión si:
𝑓 ′′ 𝑐 = 0 o 𝑓′′(𝑐) ni existe
En 𝑐 se presenta un cambio de concavidad.
𝑓 es continua en 𝑐
Ejemplo 1
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Ejemplo 2
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El cálculo integral en la Administración
Una de las aplicaciones del cálculo integral en la
administración es el cálculo de los excedentes tanto de los
consumidores como de los productores.
El precio de un artículo o bien esta determinado por su
utilidad o su valor, es decir, depende de la cantidad de
dinero que el consumidor esta dispuesto a pagar por el
producto, o el valor monetario asignado por el productor
al vender el producto o bien.
En ocasiones los consumidores están dispuestos a pagar
un precio superior al precio real del producto o al precio
que el productor estaría dispuesto a venderlo, es menor
que el precio que sugiere el mercado.
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Curva de demanda de los consumidores
Se llama función de demanda de los consumidores a una
función p = D( q ), que proporciona el precio por unidad que los
consumidores están dispuestos a pagar por obtener la q-ésima
unidad de un artículo. Esta función por lo general es una
función decreciente de q
Curva de oferta de los productores
Se llama curva de oferta de los productores a la función p=S (q), la cual
determina el precio unitario al que los productores estarían dispuestos a
aceptar por ofertar q unidades en el mercado.
Esta función por lo general es creciente para q.
Excedentes
Se llama excedentes a la suma de todas las diferencias entre el valor que
cada persona asigna a un producto o bien y el valor del producto en el
mercado.
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR
Es la diferencia entre la cantidad total que los consumidores están
dispuestos a pagar y el gasto real de los consumidores.
EXCEDENTE DEL PRODUCTOR
Es la diferencia entre el gasto real de los consumidores por q0 unidades y la
cantidad total que los productores reciben cuando ofertan q0 unidades.
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Excedentes de los consumidores y de
los productores
EXCEDENTE DE LOS CONSUMIDORES
Desde el punto de vista del cálculo
diferencia el excedente de los
consumidores se puede expresar por.
q0
EC   Dq dq  p0 q0
0
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EXCEDEN TES DE LOS PRODUCTORES
Desde el punto de vista del
cálculo diferencia el
excedente de los
productores se puede
expresar por
q0
EC  p0 q0   S q dq
0
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Ejemplo 1
Un fabricante de llantas estima que los mayoristas compraran q (miles) de
llantas cuando el precio sea
p  D p   0.1q 2  90
dólares por llanta, el mismo número de llantas se ofertarán cuando el precio
sea
2


p  S q  0.2q  q  50
dólares por llanta.
Para determinar el excedente del consumidor y del productor se debe hallar
el punto de equilibrio, para lo cual se deben igual ambas ecuaciones
 0.1q  90  0.2q  q  50
2
2
q  10, luego p  80
Excedente del consumidor
10


EC    0.1q  90 dq  80 10 
2
0
 866,67  800  66,67
EXCEDENTE DEL PRODUCTOR
𝐸𝑃 = 80 10 −
10
0
0,2𝑞2 + 𝑞 + 50 dq
800-616,67=183,33
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Ejemplo 2
Un fabricante de mesas estima que los mayoristas compraran q de mesas cuando el
precio sea
1 2
p  D p   131  q
3
dólares por mesa, el mismo número de mesas se ofertarán cuando el precio sea
2 2
p  S q   50  q
3
dólares por mesa.
Para determinar el excedente del consumidor y del productor se debe hallar el punto
de equilibrio, para lo cual se deben igual ambas ecuaciones
1 2
2 2
131  q  50  q
3
3
q  9, luego p  104
Excedente del consumidor
1 2

EC   131  q dq  9104
3


0
 1098  936  162
9
EXCEDENTE DEL PRODUCTOR
𝟗
𝑬𝑷 = 𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟒 −
𝟎
𝟐 𝟐
𝒒 + 𝟓𝟎 𝒅𝒒
𝟑
= 𝟗𝟑𝟔 − 𝟔𝟏𝟐 = 𝟑𝟐𝟒
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BIBLIOGRAFÍA
Larson, R. E. (2011). Cálculo . México: McGraw Hill.
CONTACTO
M.Ed. Gerardo Garita Orozco
Email: [email protected]
Tel: (506) 22778262