Solucionario - IES Sant Vicent Ferrer

Solucionario
1
Matrices
ACTIVIDADES INICIALES
1.I. Señala el número de filas y columnas que componen las tablas de cada uno de los siguientes ejemplos.
a) Un tablero de ajedrez.
b) Una quiniela de fútbol.
c) El cuadro de un sudoku.
a) Ocho filas y ocho columnas.
b) Quince filas y tres columnas.
c) Nueve filas y nueve columnas.
1.II. Describe tres o cuatro situaciones de la vida cotidiana en las que manejemos tablas numéricas.
Respuesta abierta
1.III. Los cuadrados mágicos tienen la propiedad de que la suma de los elementos
de sus filas, columnas o diagonales es siempre la misma.
Completa este cuadrado para que sea mágico.
Sumamos los términos de la diagonal que está completa.
4 + 6 + 11 + 13 = 34
Como el cuadrado debe ser mágico, todas las filas y columnas deben sumar 34. Con
esta información hallamos los términos
desconocidos.



1.IV. Escribe el vector v 1 = (3, –2) como combinación lineal de los vectores v 2 = (1, 3) y v 3 = (–1, 0).



Hay que encontrar dos números reales, a y b, no simultáneamente nulos, tales que: v 1 = av 2 + bv 3
 

Sustituyendo los vectores v 1 , v 2 y v 3 en la expresión anterior, se obtiene:
(3, –2) = a(1, 3) + b(–1, 0) = (a, 3a) + (–b, 0) = (a – b, 3a)
Igualando las componentes resulta:
3 = a − b
2
−2
−2
−11
3=
−b  b = − −3 =
a=
− 2 = 3a 
3
3
3
3


−2 
11 
v2 −
v3
Por tanto, el vector v 1 se puede escribir como combinación lineal del siguiente modo: v 1 =
3
3
EJERCICIOS PROPUESTOS
i− j

1 + 2


1.1. Escribe una matriz A de orden 3 × 2 tal que: aij =  i ⋅ j

 ( − 2)i




Haciendo los cálculos correspondientes, la matriz A sería: A = 




4
si i > j
si i = j
si i < j
1
3
2
2
Solucionario

− 2

2

3

2
1.2. Los pueblos A, B, C, D y E están unidos por carreteras de doble sentido tal y como muestra la figura.
Escribe la correspondiente matriz de adyacencia.
B
C
A
E
D
 0 1 0 0 1


 1 0 0 1 1
 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0


 1 1 1 0 0
1.3. Dadas las matrices:
− 2

A= 3
 2

1

B = 0
0

0

5
1 
1
3
−2
0
−1
2
0

3
2 
Calcula:
a) 3A + 2B
b)
−2

a) 3 A + 2B = 3 ⋅  3
 2

b)
− 2
1
1 
A − 3B = ⋅  3
2
2 
 2
0
1


5 + 2 ⋅ 0
0
1 

1
3
−2
1
3
−2
0
1


5 − 3 ⋅ 0

0
1

 −6
 9

 6
1
A − 3B
2
0
−1
2
0

3 =
2 
0
−1
2
1


0
−1
2
0 
 3

3
3 5 
3 = 
− 0
2
2 2  
2  

1 0
 1 −1

2

3
9
−6
0 2
15  +  0
 
3   0
0   −4
6 =  9
 
4   6
0
−2
4

− 4
0 
3

9 = 
 2

6 
 1

0
−3
6
3
7
−2
1
2
9
2
−7
0
21

7 

0 

13 
−
2 
11 
− 
2 
1.4. Dadas las matrices siguientes, comprueba si se verifica la propiedad (A + B)t = At + Bt y calcula:
 −3 4
A=
− 1 2
 1

B= 2
−3


1
b) 4A – B
2
2

0
a) −2A + 3B
− 3

At =  4
 2

 1

 2
− 1
 t 
2 , B =
0

0 
 −2


6
a) − 2 A + 3B = 
2
−8
−4
1
 − 12 16
b) 4 A − B = 
8
2
 −4

−3 

1
A+B=
3

−1


3
− 4  
+ 2
0
−9
 1
8  4
−
0  3
−
 2
0
1
0
1
6
 5
−
 2
−4


4
7
3
  15
− 6 
=
  2
− 3  − 7
  49
−1  −
= 4
1  5
−   −
2  2
Solucionario

0
  (A + B)t =
− 1

−8
−3

− 10 

−3 

9

1

2
16
47
6
5
0
1
3
 5
−
 2
 4


 0


− 2

− 1 


− 4

7
t
t
=A +B
3

−1

Solucionario
1.5. Dadas las matrices
 1 1 1 0


A = 2 1 1 0
2 3 1 2


2 1 0


B = 3 2 0 .
 1 0 1


Explica razonadamente si puedes realizar los productos AB y BA. En caso afirmativo halla los resultados.
La matriz A tiene dimensión 3 x 4 y la matriz B es de orden 3, es decir, tiene dimensión 3 x 3.
No se puede realizar el producto AB, pues no coincide el número de columnas de A con el de filas de B, pero sí
se puede realizar el producto BA, pues coincide el número de columnas de B con el de filas de A, y el resultado
es una matriz de dimensión 3 x 4.
4
2 1 0  1 1 1 0



 
BA =  3 2 0   2 1 1 0  =  7
3
 1 0 1  2 3 1 2 



 
3
5
4
3
5
2
0

0
2 
2 3
1.6. Calcula A2 – 3A – I, siendo A = 
 , e I, la matriz identidad de orden 2.
 1 1
7
2 3 2 3
2 3  1 0
A2 – 3A – I = 

 – 
 = 
 – 3
3
 1 1  1 1
 1 1  0 1
9
6
 – 
4
3
9
 1 0
0
 – 
 = 
3
 0 1
0
0

0
1.7. Dada la matriz
1
A= 
4
3
5
2
3
1

− 2
explica razonadamente si existe una matriz B tal que el producto AB sea una matriz de tres filas.
La matriz A tiene dimensión 2 x 4.
Para que pueda efectuarse el producto AB, la matriz B debe tener 4 filas, ya que el número de columnas de A
debe coincidir con el de filas de B. Así, si la dimensión de B es 4 x c, siendo c el número de columnas, la matriz
producto AB tendrá dimensión 2 x c. Por tanto, la matriz producto AB tendrá 2 filas independientemente de qué
valor tome c.
Luego no existe ninguna matriz B tal que AB sea una matriz de 3 filas.
1.8. Calcula las matrices inversas de:
1

B = 0
0

 −1 1 
A=

 − 1 2
a
A −1 = 
c
b
 −1 1   a
−1
  AA = 

d
 −1 2   c
b   −a + c
=
d   −a + 2c
0
1
0
1

− 1
1
−b + d   1 0 
=
−b + 2d   0 1 
Entonces:
−a + c = 1; − a + 2c = 0
 −2 1
 a = −2 , c = −1, b = 1, d = 1  A −1 = 


b
d
;
b
d
0
2
1
−
+
=
−
+
=

 − 1 1
a

B −1 =  d
g

b
e
h
c
1 0

f   BB −1 = I   0 1

i 
0 0
1 a
−1  d

1   g
b
e
h
c   1 0 0
f  = 0 1 0
 

i   0 0 1 
Entonces:
a + g = 1

b + h = 0
c + i = 0
d − g = 0

e − h = 1
f − i = 0
a = 1, b = 0, c = −1
g = 0
1



−1
h = 0  d = 0, e = 1, f = 1  B =  0
0
g = 0, h = 0, i = 1
i = 1

6
Solucionario
0
1
0
− 1

1
1
1.9. Calcula X de forma que AX + B = C, siendo:
−1
A = 
 2
3
− 5 
−2
B = 
 2
a
A −1 = 
c
 −1
b
 A ⋅ A −1 = 
d 
 2
0
C = 
4
4
− 3 
3a
−5   c
b   −a + 3c
=
d   2a − 5c
−2 
− 6 
−b + 3d   1 0 
=
2b − 5d   0 1 
5
−a + 3c = 1, 2a − 5c = 0
 a = 5, c = 2, b = 3, d = 1  A −1 = 

−
+
3
=
0
,
2
−
5
=
1
b
d
b
d
2

5
AX = C – B  A−1AX = A−1(C − B)  X = A−1(C − B) = 
2
1 2
1.10. Obtén razonadamente el rango de la matriz A =  4 5

5 7
32
1   2
3

1
−6   16
=
−3   6
−39 
−15 
3
6 .

9
La fila tercera es la suma de la primera y la segunda. Las filas primera y segunda no son proporcionales, luego
rg(A) = 2.
1.11. Comprueba que en la siguiente matriz coincide el número de filas y columnas linealmente
independientes.
0
B = 0

5
1 3
3
9

5 15 
Por columnas:
La columna tercera es igual al triple de la segunda. Las columnas primera y segunda no son proporcionales,
luego rg(B) = 2.
Por filas:
La fila segunda es el triple de la primera. Las filas primera y tercera no son proporcionales, luego rg(B) = 2.
1.12. Calcula el rango de las siguientes matrices aplicando el método de Gauss.
1
A = 4

7
3

6  ⎯⎯
⎯ ⎯ ⎯⎯→
F2 →F2 −F1
9 
F3 →F3 −F2
1 2

A = 4 5
7 8

2
5
8
1 2

3 3
3 3

1
B = 2

4
3
6

9
3

3  ⎯⎯
⎯ ⎯ ⎯⎯→
F2 →F2 −3F1
3 
F3 →F3 −F2
1

0
0

1
3
6
0
−6

− 12 
2
−3
0
3

− 6
0 
El proceso de transformación ha terminado, ya que de la diagonal principal para abajo, todos los elementos son
nulos.
El número de filas no nulas de la matriz final es 2; por tanto, rg(A) = 2.
1

B = 2
4

1
3
6
0

−6 
− 12  F2 → 2F2
1

4
4

1
6
6
0

− 12 
F → F2 − 4F1
− 12  2
F3 → F3 − F2
1

0
0

1
2
0
0

− 12 
0 
El proceso de transformación ha terminado, ya que de la diagonal principal para abajo, todos los elementos son
nulos.
El número de filas no nulas de la matriz final es 2; por tanto, rg(B) = 2.
Solucionario
7
Solucionario
1.13. Aplica el método de Gauss para calcular el rango de las matrices siguientes.
1 1 2

A = 1 1 3
1 1 2

1 1 2

A = 1 1 3
1 1 2

 0
 1
B= 
 2
 −1
1 3

2 1
1 7 
1 3

⎯⎯⎯
⎯→
2 1  ⎯⎯
F2 →F2 −F1
1 7 
F3 →F3 −F1
1

0
0

1
0
0
2
1
0
−1
−2
−5
3
3
1
5
−4
5
3

11 
− 8
2
−1
0
−1
3

− 2
4 
1
1
0
El proceso de transformación ha terminado, ya que de la diagonal principal para abajo, todos los elementos son
nulos. El número de filas no nulas de la matriz es 3; por tanto, rg(A) = 3.
 0

1
B= 
 2
 −1

−1
−2
−5
3
3
1
5
−4
1

0
⎯⎯
⎯
⎯
→
F2 ↔F1
0
0

2
−1
0
−1
5

3
⎯⎯
⎯ ⎯ ⎯⎯→
F4 →F4 +F2
11
F
→
3 F3 − 2F2
− 8 
−2 −1
2
−1
2
−1
1 −2
1
3
3
−3
0

1
0
0

3

5
⎯⎯
⎯⎯⎯⎯→
F4 →F4 +F2
5
F3 →F3 −F2

− 5
3
1
3
−3
−1
−2
−1
1
2
−1
2
−2
5

3
5
− 5 
1

0
0
0

1
3
0
0
−2
−1
0
0
−1
2
0
0
3

5
0
0 
El proceso de transformación ha terminado, ya que de la diagonal principal para abajo, todos los elementos son
nulos. El número de filas no nulas de la matriz es 2; por tanto, rg(B) = 2.
1.14. Calcula las matrices inversas de:
2
A = 
1
−1
2 
0
B = 
 −1
1

 2 − 1 1 0
1 −
⎯→
A= 
 ⎯⎯⎯1⎯
2
2 0 1 F1→ F1 
1
2
1
2
1


⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯
⎯
→
F1→F1 + 1 F2 
0
2

2
5
1
1 −
5
1
5
2
5
0
1

C = 0
1

2
−5
0
−1 1 0 0
1


3 0 1 0  0
F →F −F
0 0 0 1  3 3 1 0

1

0
⎯⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
F3 →F3 + 2F2 

0

2
1
0
−1
3
−
5
1
−
5
1 2 0 6

⎯⎯
⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ 0 1 0 3
F1→F1 + F3
0 0 1 5
F2 →F2 + 3 F3 
5
1
0
−1
2
1
2
0
1
−
5
2
−
5
 2
D =  −1

 0
1
1
4
0
3

1
1


0
1 − 1
2
 ⎯⎯⎯⎯⎯→
2
2
1
−
1 F2 →5 F2  0
1
5



0 

2 

5 
 1 −1 1
− 1 1 − 1
1
 ⎯⎯⎯1⎯⎯→
2 1 0  F2 → F2  0
1
2

2
−1 

0

1
2
1
−
2
1

5
2

5
− 1 1 − 1
1
⎯→
 ⎯⎯⎯⎯⎯
3 0
1 F2 →F2 +F1  0

3
− 1

−
1
  B =2
1
0 

2

3
2
1
1
2
0
− 1
3

0
2
−5
0
1


1 −
0
2
⎯⎯⎯
⎯→
 ⎯⎯
F2 →F2 −F1 
5
1
0
2

1
2
0

 2


  A −1 =  5

−1


 5

 0 2 1 0
 1
⎯→
B= 
 ⎯⎯⎯⎯⎯
 − 1 3 0 1 F1→F1−F2  − 1
1

⎯⎯
⎯⎯⎯
⎯→
F1→F1 +F2 
0

1
C = 0

1
2
3 

− 1

0 

−1
3
1
2
−5
−2
1
1 0 0


⎯
⎯→ 0
0 1 0  ⎯⎯ ⎯ ⎯
1

− 1 0 1  F2 →− 5 F2  0


0 
1

0
⎯
⎯
⎯
→
0  ⎯⎯
 F3 →−5F3 
0


1

1
− 5


⎯
⎯
⎯
⎯
→
0
− 3  ⎯⎯
F1→F1 −2F2 
0
− 5 

8
2
1
0
0 0 0
1 0 3
0 1 5
Solucionario
−1 1
3
−
0
5
1 5
0
1
2
0
1
−
5
2
2
1
−2
−1
3
−
5
1
1
0
−1
0
1
−
5
0
0

0

− 5 
1
0


− 3   C −1 =  3
5

− 5

0
1
2
1

− 3
− 5 
0

0

1 
 2

D =  −1
 0

1 0 1 0 0

1 3 0 1 0  ⎯⎯
⎯ ⎯ ⎯⎯→
F1→F1 + 2F2
4 1 0 0 1 
1

⎯⎯ ⎯1⎯⎯→  0

F2 → F2
0
3

−1
−3
1
2
4
1

1

0
⎯⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
F1→F1 +F2


F3 →− 1 F3
7
0

 11

 21
1
–1
 D = −
 21
 4

 21
0
−1
1
2
0
1
1
21
2
−
21
8
21
0
1
3
0
−1
2
3
0
1
3
1
3
4
21
−
 0

 −1
 0

0

0  ⎯⎯
⎯⎯⎯⎯→
F3 →F3 − 4F2

1 
1
3
2
3
8
21
1

0
0

−1
3
4
−1
2
3
8
−
3

0

0


1

6 1 2 0

⎯ ⎯⎯→
3 0 1 0  ⎯⎯
F2 →−F2
1 0 0 1 
F1 ↔F2
3
1
4

1

0


0


0

0  ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→

F1→F1 + F3
1
F2 →F2 −2F3
− 
7
−1
−3
1
2
0
−7
0
1
3
4
−
3

1 0 0

0 1 0


0 0 1

11
21
1
−
21
4
21
−3 0
6 1
1 0
−1
2
0
0

0
1
1

7
2

7
1
− 
7
1
21
2
−
21
8
21
−
1

7
2
7
1
− 
7
−
1.15. Comprueba que el rango de
−1

A= 0
−1

1 1

1 2
2 3 
es 2, y observa qué ocurre si se intenta calcular A−1 por el método de Gauss.
 −1

 0
 −1

1 1
 − 1 1 1
 − 1 1 1





1 2  ⎯⎯
0
1
2
0 1 2   rg(A) = 2
⎯
⎯
⎯
⎯
→
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→


F3 →F3 −F1
F3 →F3 −F2 
 0 0 0
 0 1 2
2 3 




 −1

 0
 −1

1 1 1 0 0
 −1 1


1 2 0 1 0  ⎯⎯
0 1
⎯
⎯
⎯
⎯
→
F3 →F3 −F1 
 0 1
2 3 0 0 1 

1
2
2
0 0
 −1


1 0  ⎯⎯
0
⎯
⎯
⎯
⎯
→
F3 →F3 −F2 
 0
0 1 

1
0
−1
1 1
1 2
0 0
1
0
−1
0
1
−1
0

0
1 
El hecho de que en la parte izquierda de la expresión aparezca una fila de todo ceros indica que la matriz no
tiene inversa.
1.16. Calcula X de forma que XA − B = 2C, siendo:
1
−1
B = 

 3 − 3
1 1
A = 

0 2
a
A −1 = 
c
b
 1 1  a
−1
⋅
  A⋅A = 
d
0 2  c
b  a + c
=
d   2c
0
C = 
0
b + d   1 0

=
2d   0 1 

1
1
1
a + c = 1, 2c = 0
−1
 a = 1, c = 0, b = − , d =  A = 

2
2
b + d = 0, 2d = 1
0


−1
XA = 2C + B  XAA
−1
= (2C + B) A
−1
 X = (2C + B)A
Solucionario
−4 
− 3 
−
 −1
= 
 3
9
1
2 
1

2

− 7  1

− 9 
0

−
1

2  =  − 1
1  3

2
− 3

− 6
Solucionario
1.17. Una empresa monta ordenadores de dos tipos: de mesa y portátiles. Para cada clase de ordenador
elabora tres calidades: alta, media y baja.
En un mes monta 100 ordenadores de cada tipo, de los cuales 20 son de calidad alta, 40 de media y 40
de baja para los de mesa, y 30 de calidad alta, 30 de media y 40 de baja para los portátiles.
Para los ordenadores de mesa se invierten cuatro horas de montaje y siete de instalación del software,
y para los portátiles, seis y ocho horas, respectivamente.
a) Escribe la matriz A que determina el número de ordenadores montados atendiendo a su calidad
(filas) y su tipo (columnas).
b) Escribe la matriz B que determina el número de horas utilizadas de montaje y de software (filas) para
cada tipo de ordenador (columnas).
c) Calcula e interpreta la matriz ABt.
Alta
a) A :
Media
Baja
Mesa Portátil
 20
20
30

 A =  40
40
30
 40

40
40
b) B : Montaje
Software
 20
c) AB =  40

 40
t
30 

30 
40 
Mesa Portátil
4
 B=
4
6
7
7
8
30 
4
30  ⋅ 
  6
40 
7
Alta
:
8 
Media
Baja
6

8
Montaje
260
340
400
Software
 260
380
t
 340
=
AB


520
 400
600
380 
520 

600 
Esta última matriz representa el número de horas de cada tipo invertidas en ese mes para montar todos los
ordenadores atendiendo a su calidad. Por ejemplo, el número de horas de instalación de software para todos los
ordenadores de gama media es de 520.
1.18. Observa el siguiente grafo e indica:
A
B
D
C
a) Todos los caminos de longitud 3 que se pueden seguir para ir de C a D.
b) Todos los caminos de longitud cuatro que se pueden seguir para ir de C a A.
La matriz de adyacencia y sus potencias segunda, tercera y cuarta son:
0 1 1 0


0 0 1 0
A=
 1 0 0 1
 1 0 0 0


 1 0 1 1


1 0 0 1
A =
 1 1 1 0
0 1 1 0


 2 1 1 1


1 1 1 0
A3 = 
 1 1 2 1
 1 0 1 1


2 2 3

1 1 2
A4 = 
3 1 2
2 1 1

2
1

1
2
1 
a) Dado que el elemento a34 de la matriz A3 vale 1, existe un único camino de longitud tres para ir de C a D:
C→A→C→D
b) Dado que el elemento a31 de la matriz A4 vale 3, existen tres caminos diferentes de longitud cuatro para ir
de C a A:
C→D→A→C→A
C→A→B→C→A
C→A→C→D→A
10
Solucionario
EJERCICIOS
Matrices. Grafos
2
4
2
2
 −1 −5
1.19. Dada la matriz A =  5 − 1 − 1
3
5
0 :


4
1
3
3
2
3
−
−

a) Indica su dimensión.
b) Indica los elementos que forman su cuarta columna.
c) Indica los elementos que forman su tercera fila.
d) Indica el valor de los elementos a22, a32, a23, a45.
e) ¿Cómo designas la ubicación de los elementos cuyo valor es −5 y 0?
a) 3 × 6
d) a22 = –1, a32 = 1, a23 = –1, a45 no existe.
 4


b)  3 
− 3 


e) –5 = a12, 0 = a26
c) (–4
1
3
–3
2
3)
1.20. Escribe una matriz cuadrada B de orden 3 tal que todos sus elementos verifiquen que bij = 2i – 3j + 1.
0

B = 2
4

− 3 − 6

− 1 − 4
1 − 2 
i + 2 j

1.21. Escribe una matriz cuadrada C de orden 4 tal que sus elementos verifiquen que: c ij =  3
2i + j

 3

1

5

C = 3
7

3
3


5
3
2
8
3
10
3
7
3
8
3
3
11
3
3
4
7 6

5 10 
1.23. Calcula el valor de las letras a, b y c para que las matrices A y B sean iguales.
 a+b
A =  − a2 + a + c

 a +b+c
2a − 3 b
b + 2c
− 2a + 3c
4a + 5b 
c 2 + 2a − b 

b2 + c 2 − a 
 0
B =  −1

 −1
0
−2
−3
0
1

1
a + b = 0
a=b=0

2a − 3b = 0
− a 2 + a + c = −1  c = −1
Para los valores a = 0, b = 0 y c = –1 se verifican todas las igualdades:
 a+b =0
 2
−a + a + c = −1
 a + b + c = −1



 


2a − 3b = 0
b + 2c = −2
−2a + 3c = −3


 


Solucionario
i≥ j

3 

10 
3 
11 

3 
4 

 2i + j
1.22. Escribe una matriz D de dimensión 2 × 4 tal que sus elementos verifiquen que: d ij =  2 j + i
 i + j
2
D=
3
i< j
4a + 5b = 0
2
c + 2a − b = 1 y, por tanto, A = B.
b2 + c 2 − a = 1
11
i < j −2
i = j −2
i > j −2
Solucionario
1.24. Escribe la matriz asociada a cada uno de los siguientes grafos.
a)
b)
B
c)
B
d)
B
B
A
C
A
A
C
A
C
C
a)
c)
Hasta
Desde
A
B
C
A
1
1
1
B
1
0
0
C
0
1
1
b)
Hasta
Desde
A
B
C
D
A
0
0
1
1
B
1
0
0
0
C
0
1
0
0
D
0
1
1
0
d)
Hasta
Desde
D
D
D
A
B
C
D
A
0
0
0
1
B
1
0
1
1
C
0
0
1
0
D
0
0
1
0
Hasta
Desde
A
B
C
D
A
1
0
1
0
B
0
1
1
0
C
0
1
1
0
D
1
0
0
0
Operaciones con matrices
1.25. (TIC) Dadas las matrices:
1

A = 0
0

Calcula:
a) A + B, A − B y 2A − 3B
−2
2
−2
− 1
 −1


− 4 ; A − B =  0
 −1

5

 2

b) AB =  − 2
 2

2
−7
8
3
2


− 12  ; BA =  0
1

14 

2
−7
8
0

− 2
2 
y
2

B = 0
1

0
−1
2
b) AB y BA
3

a) A + B =  0
1

 2
c) ABA = ( AB ) A =  −2

 2
−2
3
−4
0
5
−8
3 1
−12   0

14   0
−2
4
−6
− 1

− 2
3 
c) ABA
1
− 4


0  ; 2 A − 3B =  0
−3

−1

−4
9
− 14
− 2

− 2
2 
−2
3
−4
12
0  2
−2  =  −2
 
2   2
−10
31
− 36
2
−10 

12 
Solucionario
3

2
− 5 
1.26. Dadas las matrices:
2

A = 1
2

− 1

− 3
− 3 
1
0
1
Calcula:
a) 2A + 3B, A − 2B − 3C y 2A − B + 4C
 7 −4

a) 2 A + 3B = 11
3
 4 −1

 − 24

b) ABC =  − 5
 − 20

 3

c) A2B 3 =  − 4
 −1

−2
1
−1
1

B = 3
0

− 2

− 1
0 
0
−7


0  ; BAB =  11
 −1
0 

− 2   − 11
8

8 − 6 − 9
4   − 6
4
1
−2
−1
−4
−5
−1
0

0
0 
0
2
3
c) A2B3
b) ABC y BAB
− 8
5
 3


− 9  ; A − 2B − 3C =  − 11 − 8
 −7 −6
− 6 

− 19
−4
− 15
−1

C= 2
 3

y
3
 −1 4


− 1  ; 2 A − B + 4C =  7 7

 16 15
− 3

0

− 5
− 6 
9

− 12 
2 
12   − 27 7 14 
 

− 8  =  8 18 24 
7   − 7 17 24 
1.27. (PAU) Efectúa, si es posible, la siguiente operación matricial.
 −1
−2

 4
 −1

−2
 4

0
 −1
− 3
−2
8  
− 3  1
 
5 =  8
6   − 20
 0
3 
− 4
2 
−5
1
−3
0
−1
− 3 
 − 2
8
 0
3 
−4

2 
−5
1
−3
−1
7
− 20
− 3  0

− 12   − 4
28   − 5
−3
5

6
− 3   19
 
5  =  32
6   − 60
− 26 

− 61
128 
1.28. (PAU) Dadas las matrices:
− 2

A= 0
 0

3
1
0
1
0
−1
2
−1


2 B =  1
 0
3 

1
1
3
a) Calcula (A + B )C t .
2

 −2
2 C = 
 1
− 4 
−3
0
4
1
 −2
4 
− 3
4
 4
− 1 
 2
1
  10
0 
0
=
1  
15
−
− 1 
4
2
3
2
0
−1
−2

b) ACt + BCt =  0
 0

3
1
0
1
 −2
1 2 
  −1
0 
− 3
0 2
+ 1
 4
1 
− 1 3  

 0
 2 − 1
− 5

− 3
0 
1
1
3
1
 −2
1
2 
  3 − 3   7 − 2   10 − 5 
0 

 
 
− 3
0
2
=  1 − 2 +  − 1 − 1 =  0 − 3 


4
1
 

0 − 4  
4   − 15
0 
  2 − 4   − 17
 2 − 1
1.29. Dadas las matrices:
 −1
A=
 2
(
Calcula AB t
( AB )
t
t
)
t
2

− 1
b) Comprueba que (A + B )C t = AC t + BC t .
− 3

a) (A + B )C =  1
 0

t
1
0
0
3
3
2
−1
4
1
0

4
B = (−1 2
1 0
4)
+ BA t .
+ BAt = BAt + BAt = 2BAt = 2 ( −1 2 1 0
Solucionario
 −1 2 
 3 3


4 )  2 −1 = 2 ( 9 19 ) = (18
 4
1


 0 4
13
38 )
Solucionario
1.30. (TIC) Dadas las matrices:
0
1

A = 1
1
1 − 2

Calcula:
a) ABC
− 1

1
1
 1

B= 0
 0

4
0
0
− 2

0
0 
2

b) CBA =  2
0

−2
−4
−2
0

2
2 
2

c) AB 2C =  0
0

0
4
4
0

− 2
− 2 
2

d) CB 3 A =  2
0

−2
−4
−2
0

2
2 
0

0
− 1 
 1

C= 0
−1

c) AB2C
b) CBA
0

a) ABC =  2
2

0
0
0
2
2
2
− 1

− 2
− 1 
d) CB3A
1.31. (TIC) Dadas las matrices siguientes:
0

A = 1
1

0
0
−2
 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


0

0
0 
Calcula:
a) A + I
b) (A + I)2
c) (A + I)3
d) (A + I)4
0
1

1
a) A + I = 1
1 − 2

1

2
b) (A + I ) =  2
0

0

0
1 
0
1
−4
0

0
1 
 1

3
c) (A + I ) =  3
− 3

0
1
−6
0

0
1 
 1

4
d) (A + I ) =  4
− 8

0
1
−8
0

0
1 
1.32. Dadas las matrices:
 2
A=
− 3
−1
2
0

3
y
−1

B= 2
 0

1
−1
2
0
2
−2
2

− 1
0 
Calcula, si es posible, la expresión de la matriz AB. ¿Se puede calcular BA?
 −4
AB = 
 7
3
1
−2
−2
5

− 8
No es posible calcular el producto BA, ya que el número de columnas de B(4) no coincide con el de filas
de A(2).
14
Solucionario
1.33. Se consideran las matrices:


A=


−1
4
3
0
4
0
4
3
3
1
2
0
1
1
9
3
0
−1
6
0
B = (−1 2
2
3
1
9
3
3
−4
7
2
−2
−1
5
0
−2
0
4
2
1
0
2
−1
0
−1
−1
0
0
7
7
0

8
7
2 1 −1 0 1 0 1)
a) Calcula el valor del elemento de la tercera fila y primera columna de la matriz C = ABt.
b) Calcula el valor del elemento de la primera fila y tercera columna de la matriz D = BAt.
a) c31 = (3
4
2
9
6
3
−2
−2 1 0
0
 −1 


 2
 2
 3


 − 4
 2
8) 
 = 26
 1
 − 1


 0
 1
 0
 1 


b) Como D = Ct  d13 = c31 = 26
1.34. (PAU) Dadas las matrices:
− 2

M = 3
 2

1
2
0
0

− 1
− 1 
y
1

N = 0
0

0
−2
1
0

1
1 
a) Calcula M2 – N2.
b) Calcula (M + N)(M − N).
c) Explica la razón de que M2 – N2 ≠ (M + N)(M – N).
 7

a) M 2 − N 2 =  − 2
−6

0
7
2
− 1  1
 
− 1 −  0
1  0
0
0  6
 
5 − 1 =  − 2
2   − 6
−1
 − 1 1 0  − 3


b) (M + N )(M − N ) =  3 0 0   3
 2 1 0  2


0
2
3
1
0  6
 
4 − 2 =  − 9
− 1 − 2   − 3
− 1

0
− 1
− 2

0
− 2 
3
3
6
c) (M + N )(M − N ) = M 2 − MN + NM − N 2 .
Como en general MN ≠ NM , se sigue que, en general, −MN + NM ≠ O .
 1 0
1
1.35. (PAU)(TIC) Dadas las matrices I = 
 y A=
 0 1
3
a) A2, A3 y A4
b) A2 − 3A + 2I
 −5 6 
a) A2 = 
;
 − 9 10 
13 −14 
A3 = 
;
 21 − 22 
 −5 6   3
b) A2 − 3 A + 2I = 
−
 − 9 10   9
−6   2
+
− 12   0
 −29
A4 = 
 − 45
0   −6
=
2   − 18
Solucionario
−2 
 , calcula:
− 4
30 

46 
12 

24 
15
Solucionario
1.36. Calcula la matriz X para que verifique la siguiente ecuación matricial:
 0
0   − 2
5 −1
 2 − 1   1
2X − 3 
 = 
 − 3
 3
3   − 3 − 1   0
3
4
 2
 −1
 − 1 − 1 16
2 X − 3
=
6  5
 11
32 
16
  2X = 
26 
5
32   − 3
+
26   33
− 3   13
=
18   38
− 2

6
2 
 13

29 
  X = 2
44 

 19
29 

2 

22 

 7 −2 

2 A + 3B =  3
8

1.37. (PAU) Resuelve el sistema: 
14 
3 A − 4B =  − 15

 − 4 − 22 


 21 −6 
6 A + 9B =  9 24 
 51


 17B = 

−
30
28

17
− 6 A + 8B = 


8
44


− 34 
3
 B=
68 
1
− 2
−2
  2A = 
4
 0
 5
3 X + 2Y = A
, siendo: A = 
1.38. (PAU) Resuelve el sistema 
− 2
− X + 3Y = B
−4
10
6

12 
4
 −1
  A=
− 4
 0
 2
B=
− 3
5
4
2

− 2
9

− 4
 11 11 33 
 1 1 3
3 X + 2Y = A
3 X + 2Y = A
Y= 
 
 11Y = A + 3B  11Y = 


0 
 − 1 2 0
− X + 3Y = B
− 3 X + 9Y = 3B
 −11 22
 11 −22
9 X + 6Y = 3 A
 11X = 3A – 2B = 

22
2 X − 6Y = −2B
 0
0
1
X= 
44 
0
−2
2
0

4
 1 2
1.39. (PAU) (TIC) Dada la matriz A = 

 0 1
Calcula:
a) A2, A3 y A4
b) A23
1
a) A2 = 
0
1
b) A 23 = 
0
4
 1 6
 1 8
 1 2n 
3
4
n
; A = 
; A =
; A =

1
0
1
0
1




0 1 
46 

1
Matriz inversa
0
1.40. Aplicando directamente la definición, calcula las matrices inversas de A = 
2
0
A=
2
2
a
−1
; A =
0
c
b
0
−1
  A⋅A = 
d
2

0
1
1
−1 
d =0 a=0 b= A =
c =
2
2
1

2
 1 7  −1  a
B=
 B = c

 −2 15 
2 a

0 c
b   2c
=
d   2a
2
 1 7
 y B=
.
0
 −2 15 
2d   1 0 
=

2b   0 1 
1

2
0 

b
 1 7 a
B ⋅ B −1 = 
⋅
d 
 −2 15   c
b   a + 7c
=
d   −2a + 15c
b + 7d   1 0 
=
−2b + 15d   0 1 
 15

a + 7c = 1 − 2a + 15c = 0
15
7
2
1
−1  29
b=−
c=
d=
a=
B =

29
29
29
29
 2
b + 7d = 0 − 2b + 15d = 1

 29
16
Solucionario
−7 

29 
1 

29 
1.41. Comprueba que las matrices A y B son inversas.
1
 1
2 − 

4
 2
1
A= 2
0


2

1
2 − 
 −1
3

 4
−
 3
16
B=
 3

 36


1

− 4


− 30 

4
3
10
−
3
− 24

1
  1 0 0
1


− 4  =  0 1 0  = I  A −1 = B ; B −1 = A
 
2

  0 0 1
2
− 24 − 30 

0
1

1.42. Aplicando directamente la definición, calcula la matriz inversa de A =  2 − 1
2
0

 1

 2
AB =  2


 −1

1

A = 2
2

0
−1
0
2
1  4
 −
4  3
16
0 
 3
1 
−   36
3 
4
3
10
−
3
−
− 1
a


0  ; A −1 =  d
g

− 1

c
1


f   A A −1 = I   2
2

i

b
e
h
0
−1
0
− 1  a

0 d
− 1   g
2a − d = 0
2a − g = 0
g = d = −2
a − g = 1




Entonces: b − h = 0  2b − e = 1  2b − h = 0  b = h = 0
2c − f = 0
2c − i = 1
c = 1 i = 1
c − i = 0
b
e
h
1 1
− 1 1 0
3
 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→
1
3 0 1  F1→−F1
2
1

F → F
2
1 0
⎯⎯
⎯⎯⎯
⎯→
F1→F1 −F2  0 1

2
−3
2
2
−1
0
0
1
1  ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯
⎯→
 F2 →F2 −F1  0
2

−1 
 −3
  A −1 = 
1
 2
2 1 0
 −1
1 −2
⎯⎯
⎯→
b) 
 ⎯⎯
F1→−F1 1 − 3
−
1
3
0
1



1
1
2
c   1 0 0
 

f  = 0 1 0


i   0 0 1 
a = −1
 −1

e = −1  A −1 =  − 2
− 2
f =2

0 1

− 1 2
0 1 
−1

d) D =  − 2
 0

2

0
3 
1.43. Aplicando el método de Gauss, calcula las matrices inversas de:
1 − 1
 1
2


 −1 −1
 −1
b) B = 
c) C =  − 2
1
0
a) A = 


2
3
1
3
−




 3 −4
2 

 −1
a) 
 2
− 1

0
− 1 
−1
1
0
1
−1
0
1 1 −1
1  ⎯⎯ ⎯ ⎯
⎯→
 F2 →2F2  0 1
2
2
0

1
−1

1
−1 0 
1
⎯→
 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯
0 1  F2 →F2 −F1  0
−2 −1 0 
1
 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→
− 1 1 1  F2 →−F2  0
0
−2 −1

1 − 1 − 1
 1 0 −3 −2 
 −3 −2 
⎯⎯
⎯⎯⎯
⎯→
 B −1 = 

F1→F1 + 2F  0 1 − 1 − 1
 − 1 − 1


1 −1
 1

1 0
c)  − 2
 3 −4
2

1 0 0
 1 1 −1


0 1 0  ⎯⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
0 3 − 2
F2 →F2 +2F1
0 0 1 F3 →F3 −3F1  0 − 7 5
 1 1 −1

0 3 −2
⎯⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
F3 →F3 +7F2 
0 0 1

1 0 0

0 1 0
⎯⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
F1→F1 −F2 
0 0 1

 −1 0

d) − 2 1
 0 −1

1 0 0
1 −1
1


2 1 0  ⎯⎯
0
3 −2
⎯
⎯
⎯
→

F3 →3F3
 0 − 21 15
− 3 0 1

1 0 0
1 1 0


2 1 0 ⎯⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
0 3 0
F2 →F2 +2F3 
0 0 1
5 7 3 F1→F1+F3

2
4
5
2
5
7
1
2


2   C −1 =  4
5
3 

6 7 3
1 1 0


12 15 6 ⎯⎯⎯1⎯⎯→  0 1 0
5 7 3  F2 →3F2  0 0 1
1 0 0

2 1 0
− 9 0 3 
6 7 3

4 5 2
5 7 3
2 1

5 2
7 3 
2 1 0 0
1 0 0
1 0 0
 −1 0 2
 −1 0 2





0 0 1 0 ⎯⎯
0
1
4
2
1
0
0
1
4
2 1 0
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
−
−
⎯
⎯
⎯
⎯
→
−
−



F2→F2 −2F1
F3→F3 +F2
 0 0 −1 − 2 1 1
 0 −1 3
3 0 0 1
0 0 1



1

0
⎯⎯
⎯
⎯
⎯
→
F1→−F1 
F3 →−F3  0
0 −2
1 −4
0
1
0
0
−1
1 0 0


1
0  ⎯⎯
0 1 0
⎯
⎯
⎯
⎯
→
−2
F2 →F2 +4F3 
0 0 1
2 − 1 − 1 F1→F1+2F3

Solucionario
17
3 − 2 − 2
3 − 2 − 2



6 − 3 − 4   D −1 =  6 − 3 − 4 
 2 − 1 − 1
2 − 1 − 1


Solucionario
1.44. Dada la matriz
−3 

− 1
5
A=
2
calcula:
a) A–1 y At
b) (AtA–1)2A
 5 −3
a) 
 2 −1
 5 −3
1 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
0 1 F2 →5F2 −2F1  0 1
 −1
A −1 = 
− 2
(
3
 5
t
; A =
5
−3
5 0
1 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
−2 5 F1→F1+3F2  0 1
1 0
−5 15 
⎯⎯⎯⎯⎯
→
−2 5 F1→1F1  0 1
5
2

− 1
)
2   −1

−1 − 2
2
 5
b) At A −1 A = At A −1At A −1A = At A −1At = 
−3
 −1
1.45. (PAU) Dadas las matrices A = 
 2
1
0
 y B=
3
1
3  5

5  − 3
2   −120
=
− 1   67
−2 
:
3
−1
1 
a) Calcula A−1, B−1, (2A)−1 y  B  .
3 
1
−1
b) Comprueba que (2 A) = A −1 .
2
1 
c) Comprueba que  B 
3 
−1
= 3B −1 .

 1 
d) Comprueba que (2 A) ⋅  B 
 3 

a) A
−1
 3
−
= 5
 2

 5
1



5  ; B −1 = 
1
−



5
3
2
1
2
−1
=
3 −1 −1
B A .
2
 3

1
−
−1
 ; (2 A) =  10
 1
0 


 5
1 
 9
−1


10   1 B  =  2
1  3 
− 3


 2
10 
Los apartados b y c se comprueban directamente.
2

1  3
d) (2 A)  B  =
 3   2

10 



3  ; B −1A −1 = 
10 
−



3 
3
2
1
2
 3
1  −
 5
2
0  
 5

 1 
Y se comprueba directamente que (2 A)  B 
 3 

18
1  1
  −
5 = 2
1  3
 
5   10
−1
=
1

2
1 
−

10 
3 −1 −1
B A .
2
Solucionario

3

0 

−43 

24 
−1 3 
−2 5 
Rango de una matriz
1.46. Aplicando el método de Gauss, calcula el rango de las siguientes matrices:
2
 1

a) A =  − 1
2
−1 − 2

3

3
− 3 
1

b) B =  0
1

2
1
0
− 4

5
1 
1

c) C =  2
5

1
2
5
1
2
5
 1

d) D =  − 3
− 2

−1
6
5
2
 1

a) A =  − 1
2
 −1 − 2

4
8
12
−5
−3
−8
3

0
3 
3
1


⎯
⎯
⎯
⎯
→
3  ⎯⎯
0
F2 →F2 +F1 

− 3  F3 →F3 +F1  0
− 4
1


5  ⎯⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
0
F3 →F3 −F1

1  F3 →F3 + 2F2  0
1 2

b) B =  0 1
1 0

1

c) C =  2
5

1

− 2
− 3 
1
2
5
1
2
5
2
4
0
2
1
−2
1

− 2  ⎯⎯
⎯ ⎯ ⎯⎯→
F2 →F2 −2F1
− 3  F3 →F3 −5F1
 1 −1 4 − 5

d) D =  − 3
6 8 −3
− 2
5
12 − 8

3

6   rg(A) = 2
0 
− 4
1


⎯
⎯
⎯
⎯
→
5  ⎯⎯
0
F3 →F3 + 2F2 
0

5

1

0
0

1
0
0
1
0
0
3
 1 −1


0  ⎯⎯
0
3
⎯
⎯
⎯
⎯
→
F2 →F2 +3F1 
3  F3 →F3 +2F1  0
3
2
1
0
−4
5
15
1
1


− 4  ⎯⎯
0
⎯
⎯
⎯
⎯
→
F3 →F3 −2F2 
0
− 8 

4
−5
20 − 18
20 − 18


  rg(B) = 3


1
0
0
3
1


9  ⎯⎯
0
⎯
⎯
⎯
⎯
→
F3 →F3 −F2 
0
9 

1
0
0
1

− 4   rg(C) = 2
0 
−1
3
0
4
20
0
−5
− 18
0
 rg(D) = 2
1.47. Calcula el rango de la matriz, observando si existe dependencia lineal entre sus filas.
2
 −1

−
2
2

A= 1
2

1
−1

5
1
17
1
−
2
−3
0
−9
0
1

4
11

−2

Se puede eliminar la fila cuarta, ya que es proporcional a la segunda, F4 = −
1
F2 .
2
Además, se verifica que F3 = 3F1 + 2F2 y, por tanto, se puede eliminar la tercera fila.
2
 −1

−
2
2

rg  1
2

1
 −1

5
1
17
1
−
2
−3
0
−9
0
1

4
 −1
11 =rg 
 2

2

2
−2
5
1
−3
0
1
 =2, ya que las dos filas que quedan no son
4
proporcionales.
Solucionario
19
3

9
0 
Solucionario
1.48. Calcula el rango de la siguiente matriz.
−1
1
3
−2
 1

2
A=
 3
− 4

−1
−1
−1
2
1
0
−1
0
2

2
2
− 4 
 1

2
Por verificarse que F4 = −2F2 : rg 
 3
− 4

−1
1
3
−2
1
0
−1
0
−1
−1
−1
2
2
1

2

= rg  2
2
3

− 4 
1

Por verificarse que F3 = 2F2 − F1 : rg  2
3

−1
1
3
1
0
−1
−1
−1
−1
2

1
2  = rg 
2
2 
−1
1
3
−1
1
1
0
−1
1
0
−1
−1
−1
2

2
2 
−1 2 

− 1 2
Finalmente, como las dos filas no son proporcionales, el rango vale 2.
Ecuaciones matriciales
 2 −1 
1.49. Dada la matriz A = 
 , calcula:
 3 − 1
a) La matriz inversa de A
−2 
.
4
 1
b) La matriz X que verifica la ecuación AX = 
− 3
 2 −1
a) 
 3 −1
 2 −1
1 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
0 1 F2 →2F2 −3F1  0
1
 1
b) X = A −1
− 3
−2   −1
=
4  − 3
1  1

2  − 3
2 0
1 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
−3 2 F1→F1+F2  0 1
 1 0 −1 1
−2 2 
⎯⎯⎯⎯⎯
→
−3 2  F1→1F1  0 1 −3 2
2
−2   −4 6 
=

4   − 9 14 
1.50. Resuelve la ecuación matricial:
2
X ⋅
0
2
X
0
− 2  2

1  0
− 2

1
−1
− 5
2
3 
0
5  
 4

= 0
−2

− 2

1
−1
− 5

3
5 
 4
− 2 
= 0
1 
−2
 4

 XI = X = 0
−2

− 5 1

3  2

5   0
  2 − 1
1 
= 0
3
 
1  − 1
3 
1.51. (PAU) Halla la matriz X sabiendo que 3X + BA = AB y que:
− 2

A= 2
 0

 − 19
1
1 
X = [AB − BA] =  − 3
3
3 
 20
0
3
0
0
1
0
− 3

− 1
4 
5  − 4
 
− 3  −  10
− 4   − 10
 2

B = − 2
 5

0
3
0
− 10   − 5
13

− 5  =  −

 3
− 19   10

 1
1.52. Halla la matriz X tal que A2X + BX = C, siendo: A = 
 −1
(
)
(
)
 − 1
A + B X = C  X = A + B C  X = 
 − 2
2
2
−1
20
4  1
+
− 1  0
− 1

− 2
− 1 
0
3
0
0
0
0
5
2

3
5 
2
 1 2
 0
,B=
 y C =  −2
1 
0
1



−1
2   0
 
1    − 2
Solucionario

12   0
=
− 4  1

6
−
1

2   0
−2
0  

12 
−4 
12   1
=
− 4 0
2

2
1.53. (PAU) Halla la matriz X tal que AXB = I, siendo I la matriz unidad de orden 2 y:
1 0 
 2 1
A=
 yB=

1
1


 1 1
 1 0  1
A −1AXBB −1 = A −1IB −1  X = A −1B −1  X = 

 − 1 1  − 1
−1   1
=
2  − 2
−1 

3
PROBLEMAS
1.54. Dadas las matrices:
−2
6
4
 2

A =  −7
 −5

2
−5
−3
λ



B
=
y
2

1



λ +1 λ +2
4
6
2
3





a) Calcula el valor de λ para que el producto AB dé como resultado la matriz nula.
b) Para el valor de λ hallado, calcula el resultado de BA + BAB + BAB2.
 2λ − 2

a) AB =  7 − 7λ
 5 − 5λ

2λ − 2
7 − 7λ
5 − 5λ
2λ − 2 

7 − 7λ  = O ⇔ λ = 1
5 − 5λ 
 − 27

b) BA + BAB + BAB 2 = BA + BO + BOB = BA =  − 54
 − 27

22
44
22
− 17 

− 34 
− 17 
 1 −1
a b
1.55. (PAU) Se consideran las matrices A = 
 y B=
 . ¿Qué condiciones deben verificar los
2
2
0 a
números reales a y b para que A y B sean conmutables, es decir, para que AB = BA?
1
AB = 
2
−1  a

2 0
a
BA = 
0
b 1

a2
a

 2a
b  a
=
a   2a
b−a 

2b + 2a 
−1  a + 2b
=
2   2a
b − a   a + 2b
=
2b + 2a   2a
−a + 2b 

2a 
a = a + 2b
− a + 2b 

b = 0
 b = 0, y a es cualquier número real.
  b − a = −a + 2b  
2a 
a = a
2b + 2a = 2a
 1 −1
1.56. (PAU) Dada la matriz A = 
:
3
2
a) Halla todas las matrices posibles que conmuten con A.
 1 a
b) Da un ejemplo de matriz de la forma 
 que conmute con A.
b 0
1
a) 
2
−1   a

3 c
b  a
=
d  c
b  1

d  2
a − c = a + 2b
c + 2b = 0
a = s
b − d = −a + 3b
a − 2b − d = 0
b = t
−1 


  
3
2a + 3c = c + 2d
a + c − d = 0
c = −2t
c + 2b = 0
2b + 3d = −c + 3d
d = s − 2t
 s
Las matrices buscadas son de la forma 
 − 2t
b) Para s = 1, t =

 1
1
se tiene 
2

 −1
t 
.
s − 2t 
1

2.

0
Solucionario
21
Solucionario
 1 0
n
1.57. (PAU)(TIC) Sea la matriz A = 
 , y n, un número natural cualquiera. Encuentra el valor de A para
 3 1
cada n y halla A360 – A250.
Aplicaremos el método de inducción. Calculamos las primeras potencias de A.
 1 0  1 0
 1 0
A² = 

 = 

 3 1  3 1
 6 1
 1 0  1 0
 1 0
A³ = A · A² = 

 = 

3
1
6
1



 9 1
 1
Suponemos que An = 
 3n
0
 . Vemos que:
1
1. Se verifica para n = 1.
2. Si se cumple para n, también se cumple para n + 1, ya que:
 1 0  1
An+1 = A An = 

 3 1   3n
0
 1
 = 
1
 3 + 3n
0
0
 1
 = 

1
 3( n + 1) 1 
 1
En consecuencia, nuestra suposición es cierta. Luego An = 
 3n
 1
Por tanto: A350 – A250 = 
 3 ⋅ 350
0
 1
 – 
1
 3 ⋅ 250
0
 0
 = 
1
 300
0
.
1
0

1
1.58. (PAU) Estudia el rango de la matriz A según los diferentes valores de λ.
2

A = 3
5

2 4

3 6
 5 10

−2 
1
2


− 1  ⎯⎯
⎯
⎯
⎯
→
1
3
C2 =2C1 
5
λ + 1 λ − 4 

2

⎯⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
0
F3 →F3 +( 2λ −3 )F2
0

4
6
10
1
−2 

1
−1 
λ + 1 λ − 4 
−2 
1
2


− 1  ⎯⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
1
0
F2 →2F2 −3F1 
λ + 1 λ − 4  F3 →2F3 −5F1  0
1
−1
2λ − 3
−2 

4 
2λ + 2 
1
−2 

Si λ = 1  rg( A ) = 2
4
−1
  Si λ ≠ 1  rg ( A) = 3


0 10λ − 10 
1.59. (PAU) Dada la matriz
1

A = 0
α

−1
−1
0
0

1
− 1 
a) Indica para qué valores de α la matriz A posee inversa.
b) Calcula la matriz inversa de A para el valor α = 0.
1

a)  0
α

−1
−1
0
0
1


⎯
⎯
⎯
⎯
→
1  ⎯⎯
0
F3 →F3 −αF1 

0
− 1

−1
−1
α
0
1


⎯
⎯
⎯
⎯
→
1  ⎯⎯
0
F3 →F3 + αF2 

0
− 1

−1
−1
0
0 

1 
− 1 + α 
Para α = 1, rg(A) = 2, y la matriz no tiene inversa. Para todos los demás valores de α, la matriz posee inversa.
1

b) A −1 =  0
0

−1
−1
0
− 1

− 1
− 1
22
Solucionario
1.60. (PAU) Dada la matriz
 1

A= a
b + c

1
b
a+c
1 

c 
a + b 
estudia el valor de su rango según los diferentes valores de a, b y c.
 1

A= a
b + c

1
1 
1



b
c  ⎯⎯
a
⎯
⎯
⎯
⎯
→
F3 →F3 +F2 
a + b + c
a + c a + b 

1
1
⎯⎯
⎯ ⎯⎯⎯→
F2 →F2 −aF1  0 b − a
1
b
a+b+c
1 
 1 1 1



c
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
 F3 →F3 −(a+b+c )F1  a b c 



a + b + c
 0 0 0
1 

c − a
Si a = b = c  rg(A) =1
Si a, b y c no son los tres iguales  rg(A) = 2.
1.61. (PAU) Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden n, son semejantes si existe una matriz
invertible, P, tal que B = P–1A P, donde P–1 denota la matriz inversa de P. Determina si son semejantes
las matrices A y B.
0
 1
 1 2
B= 
A= 


 0 − 1
 0 1
Si A y B son semejantes, entonces existe una matriz invertible, P, tal que B = P–1AP.
Multiplicando a izquierda por la matriz P los dos miembros de esta igualdad resulta: PB = PP–1AP  PB = AP
a
Si P = 
c
b
 , entonces:
d
a

c
b  1

d  0
0
1
 = 
− 1
0
2

1
a

c
b
a
  
d
c
−b 
 a + 2c
 = 
−d
 c
b + 2d 

d 
a = a + 2c
− b = b + 2d
a 0
 b = c = d = 0, y a indeterminado. Por tanto, P = 
Igualando: 
 . Se comprueba fácilmente
=
c
c
0 0

− d = d
que la matriz P no es invertible, sea cual sea el valor de a. De este modo, las matrices dadas no son semejantes.
1.62. (PAU) Dadas las matrices:
1

A = 2
4

−3
1
−3
2
1


− 3 , B = 2

1
− 1

4
2


1  , C = 3

2
− 2

1

− 2
− 5 
a) Demuestra que AB = AC.
b) Calcula el rango de la matriz A. ¿Podrá tener inversa?
c) Demuestra que si A es una matriz regular cuadrada, y B y C son matrices tales que se pueden realizar
los productos AB y AC, entonces se verifica que si AB = AC, obligatoriamente B = C.
 − 3 − 3
− 3



a) AB =  1 15  ; AC =  1
 − 3 15 
− 3



1 −3
b)  2
1
4 − 3

− 3

15 
15 
2
1


0
⎯
⎯
⎯
⎯
→
− 3  ⎯⎯
F2 →F2 − 2F1 

− 1  F3 →F3 − 4F1  0
−3
7
9
2
1


− 7  ⎯⎯ ⎯1⎯⎯→ 0
F2 → F2 

− 9
7
0
F3 → 1 F3
9
La matriz A no puede tener inversa.
c) AB = AC  A−1AB = A−1AC  I B = I C  B = C
Solucionario
23
−3
1
1
2

− 1  rg(A) = 2
− 1
Solucionario
1.63. En cierta zona de montaña existen cuatro refugios A, B, C y D que están comunicados por sendas
según se establece en el siguiente grafo.
A
Debido a la pendiente, el recorrido en alguno de los sentidos de
ciertas sendas carece de interés para los deportistas.
a) Forma la matriz M asociada al grafo.
b) Calcula la matriz M2 e interpreta los resultados.
B
D
0 0 1 0


0 0 0 1
a) M = 
0 0 0 0
 1 1 0 0


C
0 0 0 0


1 1 0 0
Indica el número de caminos diferentes de longitud 2 que se pueden seguir para ir de
b) M = 
0 0 0 0
 0 0 1 1


2
un refugio a otro.
1.64. Una partícula puede tomar una de las cuatro posiciones A, B, C o D.
A
B
C
D
En cada instante cambia de posición con las siguientes condiciones:
– Si está en A, se queda fija en ese lugar.
– Si está en D, se queda fija en ese lugar.
– Si está en B, pasa a A con probabilidad 0,25, a C con probabilidad 0,25 y se queda en B con
probabilidad 0,5.
– Si está en C, pasa a B con probabilidad 0,25, a D con probabilidad 0,25 y se queda en C con
probabilidad 0,5.
Escribe la matriz de transición del proceso estocástico y estudia el valor de sus potencias sucesivas.
Interpreta el resultado.
 1

0,25
T =
 0
 0

T
3
0
0,5
0,25
0
 1

0,453
=
 0,125
 0

0
0,25
0,5
0
0
0,219
0,203
0
1
1
0 


0 
= 4
0,25 
0

1 
0

0
0,203
0,219
0
0
1
2
1
4
0
0
1
4
1
2
0
0

 1

0
 ; T 2 =  0,375
1
 0,063
 0
4 

1
0
0,313
0,25
0
0
0,25
0,313
0
0 

0,063 
0,375 
1 
0 

0,125 
0,453 
1 
1
2

Según crece el exponente, la potencia se acerca a  3
1
3
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
1

3.
2
3
1 
Lo cual indica que, a largo plazo, si el proceso comienza en la posición A, la partícula se mantiene en A; si
2
1
comienza en B, la partícula acaba en A con probabilidad
y en D con probabilidad
; si comienza en C, acaba
3
3
1
2
en A con probabilidad
y en D con probabilidad , y si comienza en D, se mantiene en D.
3
3
24
Solucionario
1.65. (PAU) Una empresa empaqueta cinco tipos de lotes de herramientas para bricolaje y las reparte a
cuatro provincias A, B, C y D. La siguiente tabla muestra el número de lotes de cada tipo que debe
repartir en cada provincia.
Lote1 Lote2 Lote3 Lote4 Lote5
A
12
10
10
30
10
B
15
9
15
25
12
C
23
8
12
25
15
D
12
12
20
15
12
Cada tipo de lote está formado por un número de piezas P, Q y R según la siguiente distribución.
P
Q
R
Lote1 Lote2 Lote3 Lote4
2
1
2
0
2
1
2
2
0
2
2
3
Lote5
1
0
3
Escribe la matriz que determina el número de piezas de cada clase que se van a repartir a cada
provincia.
 12 10 10 30 10
2 1 2 0 1


15 9 15 25 12


; B = 2 1 2 2 0
A=
 23 8 12 25 15
0 2 2 3 3
 12 12 20 15 12




2
 12 10 10 30 10  
 15 9 15 25 12   1
2
Por tanto: ABt = 
 23 8 12 25 15  
 12 12 20 15 12   0

 1

2
1
2
2
0
0
2

2
3

3
A
 B
C
D
P
64
81
93
88
Q
114
119
128
106
R
160
159
160
145
PROFUNDIZACIÓN
1.66. Al eliminar de A una fila se obtiene la submatriz B, y al eliminar de A una columna se obtiene la
submatriz C. Di cuáles son las líneas eliminadas si se sabe que B = Ct.
 1

−3
A=
 2
 1

1
1
2
1
1

1
0
3 
2
2
−1
0
Se elimina la segunda fila y se obtiene B. Se elimina la primera columna y se obtiene C.
1.67. Se consideran dos matrices A y B tales que AB = A y BA = B. Demuestra que A2 = A.
ABA = AA = A2 
2
 A = A
ABA = AB = A 
1.68. a) Si A es una matriz simétrica, ¿qué relación existe entre ella y su transpuesta?
b) Se consideran dos matrices A y B simétricas y tales que su producto AB da como resultado una
matriz también simétrica. Demuestra que A y B conmutan.
a) A es simétrica si y solo si At = A.
b)
( AB ) t = B t A t = BA
  BA = AB
( AB ) t = AB

Solucionario
25
Solucionario
1.69. Una matriz cuadrada A es idempotente cuando verifica que A2 = A.
a) Escribe algún ejemplo de matriz cuadrada de orden 3 distinta de la matriz unidad y de la matriz nula y
que sea idempotente.
2
4
b) Calcula el valor de λ que hace que la matriz A = 
 sea idempotente.
λ
−
3

 1 a
c) Encuentra todas las matrices del tipo 
 que sean idempotentes.
b 0
 2

a) A =  − 1
 1

−2
3
−2
− 4

4  ; A2 = A  A es una matriz idempotente.
− 3 
4
b) A2 = 
λ
2  4

− 3λ
1
c) A2 = 
b
a 1

0 b
2  16 + 2λ
=
− 3  λ
a  1 + ab
=
0  b
2  4
=
9 + 2λ   λ
2
16 + 2λ = 4
 λ = −6
  
−3
9 + 2λ = −3
a   1 a
1 + ab = 1
 ab = 0
=
  
ab   b 0 
ab = 0
Por tanto, al menos uno de los dos valores, a o b, debe ser nulo.
1.70. Una matriz cuadrada es nilpotente cuando alguna de sus potencias es igual a la matriz nula. Si n es el
menor entero positivo que hace que An = O, se dice que A es una matriz nilpotente de grado n.
1
3
 1


2
6  es nilpotente de grado 3.
a) Demuestra que la matriz A =  5
 − 2 −1 − 3


0
b) Encuentra todas las matrices del tipo 
b
 1

a) A2 =  5
−2

 1

A3 =  5
− 2

0
b) A2 = 
b
1
2
−1
3  1

6  5
− 3   − 2
1
3  0
0
0
 

2
6 =  3
3
9
− 1 − 3   − 1 − 1 − 3 
1
3 0
0
0  0

 
2
6 3
3
9  = 0


− 1 − 3   − 1 − 1 − 3   0
a0
0   b
a
 que sean nilpotentes de grado 2.
0
a   ab
=
0   0
0  0
=
ab   0
0
0
0
0

0
0 
ab = 0
0

 ab = 0 .Por tanto, al menos uno de los dos valores,
0 
ab = 0
a o b, debe ser nulo.
1.71. Sea A una matriz cuadrada tal que An = O, y sea I la matriz unidad del mismo orden que A.
a) Calcula el valor de la expresión matricial: (I + A + A2 + A3 + ... + An – 1)(I – A)
b) Calcula la suma de las matrices: I + A + A2 + A3 + ... + An – 1
(
)
a) I + A + A2 + A3 + ... + An −1 (I − A ) = I + A + A2 + .... + An −1 − A − A2 − A3 − ... − An = I − An = I
b) Gracias al apartado anterior, se observa que I + A + A 2 + .... + A n −1 e I − A son inversas. Por tanto:
I + A + A 2 + .... + A n −1 = (I − A )
1

1.72. Dada la matriz A =  1
3

0

A2 =  0
0

3
3
9
5
2
6
− 1
0


− 1  ; A3 =  0
0

− 3

(I + A) n = I n + nI n −1 ⋅ A +
−1
− 2

− 1  calcula An e (I + A)n.
− 3 
0
0
0
0

0
0 
n 2 − n n −2
I
2
 A n = O para n ≥ 3

 1+ n


2
n
⋅ A  (I + A) =  n


 3n

26
3n 2 + 7 n
2
3n 2 + n + 2
2
9n 2 + 3 n
2
Solucionario
−3n − n 2
2
−n − n 2
2
−3n 2 − 3n + 2
2









1.73. a) Demuestra que si A y B son matrices inversibles, se cumple (AB)–1 = B–1A–1.
b) Suponiendo que exista A–1, ¿se cumple que (A²)–1 = (A–1)²? ¿Y que (A³)–1 = (A–1)³?
a) Veamos si (AB)–1 = B–1A–1
(AB)(B–1A–1) = A(BB–1)A–1 = A I A–1 = AA–1 = I
–1
–1 –1
Luego en efecto, (AB) = B A .
b) Veamos si (A²)–1 = (A–1)²:
(A²)–1 = (AA)–1 = A–1A–1 = (A–1)²
Luego, en efecto, se verifica.
Veamos si (A³)–1 = (A–1)³:
(A³)–1 = (A² A)–1 = A–1(A²)–1 = A–1(A–1)² = (A–1)³
Luego también es cierto.
RELACIONA Y CONTESTA
Elige la única respuesta correcta en cada caso:
1.1.
Dadas las matrices A y B cuadradas y tales que ambas poseen inversa, la matriz X tal que
BXA–1 = (AB)–1 se puede obtener mediante la expresión:
A) X = BA−1(AB)–1
B) X = BA
C) X = B2
D) X = B–1B–1
E) X = A–1B–1
La respuesta correcta es el apartado D: X = B–1B–1
1.2.
El producto AB es una matriz de dimensión 2 × 4. La matriz A tiene tres columnas. Las dimensiones de
A y B son:
A) dim(A) = 2 × 4, dim(B) = 4 × 4
B) dim(A) = 2 × 3, dim(B) = 3 × 2
C) dim(A) = 2 × 3, dim(B) = 3 × 4
D) dim(A) = 1 × 3, dim(B) = 3 × 4
E) dim(A) = 3 × 3, dim(B) = 3 × 4
La respuesta correcta es el apartado C: dim(A) = 2 × 3 y dim(B) = 3 × 4
1.3.
 1
La matriz inversa de A =  2

 −1
 6
A) A−1 = 
−3

−1 
6

2
6
B) A−1 = 
3

1
6

2
6
C) A−1 = 
1

3
1

2
 −6
D) A−1 = 
 1


− 3
es:

6
3
1
− 
2
E) La matriz A no posee inversa.
La respuesta correcta es el apartado E: La matriz A no posee inversa, porque A = 0.
Solucionario
27
Solucionario
1.4.
Se consideran A y B, matrices cuadradas de orden 2.
A) Siempre se verifica que (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB.
B) En ningún caso se verifica que (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB.
C) En todos los casos, (A + B)2 ≠ A2 + B2 + 2AB.
D) Solo se verifica que (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB cuando A y B conmutan entre sí.
E) Ninguna de las anteriores opciones es cierta.
La respuesta correcta es el apartado D: Solo se verifica que (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB cuando A y B conmutan
entre sí.
1.5.
1 2

Los valores de λ para los que el rango de la matriz A =  0 1
1 λ

A) λ = 3 o λ =
− λ

3  es distinto de tres son:
0 
1
3
B) λ ≠ 3 y λ ≠ –
1
3
C) Únicamente para λ = 3 el rango de A no es 3.
D) Para cualquier valor de λ, el rango de A vale 3.
E) Para ningún valor de λ el rango de A vale 3.
La respuesta correcta es el apartado C: Únicamente para λ = 3 el rango de A no es 3, porque A = 0 si λ = 3.
Señala en cada caso las respuestas correctas:
1.6.
3

Dada la matriz A =  1
2

3
6
−1
4

5  , se verifica que:
9 
A) aij = i + j si i < j
B) aij = 2i + j si i = j
C) aij = i – j si i > j
D) aij = i − j si i > j
E) aij = i − j si i > j
Las respuestas correctas son los apartados A (porque a 12 = 3, a 13 = 4 y a 23 = 5), B (porque a 11 = 3, a 22 = 6
y a 33 = 9) y D.
1.7.
Dadas las matrices A = (2
A) ABt = BAt
 −4
B) At B = 
− 2
4

2
 −4
C) At B = 
 4
2

− 2
1) y B = (–2
2):
D) ABt no está definida.
E) ABt es una matriz cuadrada de orden 1.
Las respuestas correctas son los apartados A (porque AB t = BA t = –2), B y E.
28
Solucionario
Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas:
1.8.
Cinco localidades vecinas 1, 2, 3, 4 y 5 están unidas por una serie de carreteras de doble sentido. Se
conoce la matriz A de adyacencia del correspondiente gráfico que representa dichas carreteras.
a) El elemento a23 de la matriz A3 vale 3.
b) El número de caminos distintos que se pueden seguir comenzando en 2 y acabando en 3 y visitando
en total 4 ciudades (repetidas o no) es 3.
A) a es equivalente a b.
B) a implica b, pero b no implica a.
C) b implica a, pero a no implica b.
D) a y b no se pueden dar a la vez.
E) Ninguna de las dos afirmaciones se puede verificar.
La respuesta correcta es el apartado A: a es equivalente a b.
Señala el dato innecesario para contestar:
1.9.
Se solicita escribir la expresión de una matriz hemisimétrica H. Para ello se dan los siguientes datos:
a) Se trata de una matriz cuadrada de orden 4.
b) Los elementos de la diagonal principal son todos nulos.
c) El valor absoluto de todos los elementos de la forma hij con i ≠ j vale 2.
d) Los elementos de la forma hij con i < j son positivos.
A) Puede eliminarse el dato a.
B) Puede eliminarse el dato b.
C) Puede eliminarse el dato c.
D) Puede eliminarse el dato d.
E) No puede eliminarse ningún dato.
La respuesta correcta es el apartado B, al ser todos los elementos de la diagonal principal nulos.
Analiza si la información suministrada es suficiente para contestar a la cuestión:
1.10. De una matriz de dimensión 3 × 4 se quiere hallar su rango. Se conocen los siguientes datos:
1) La primera fila no es nula y es proporcional a la tercera; la segunda fila es nula.
2) La primera columna no es nula y se verifican las siguientes relaciones entre columnas:
C2 = 2C1
C3 = 4C2
C4 = C1 + C2 + C3
A) Las informaciones 1 y 2 son suficientes, por sí solas, para obtener el rango.
B) La información 1 es suficiente por sí sola, pero la 2 no.
C) La información 2 es suficiente por sí sola, pero la 1 no.
D) Son necesarias las dos informaciones juntas.
E) Hacen falta más datos.
La respuesta correcta es el apartado A.
Solucionario
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