soluciones

PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
1º BCT
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES
2
1.- El perímetro de un rectángulo es 24 cm y su área es 20 cm . ¿Cuáles son sus dimensiones?
Sea x = altura ;
y = base
Como perímetro es 24: x + y = 12 ⇒ y = 12 – x
Planteamos la ecuación: (12 – x) x = 20
Como el área es 20 : xy = 20
12 + 8

x =
= 10 ⇒ y1 = 2
12 ± 122 − 4·1· 20 12 ± 8  1
2
x – 12 x + 20 = 0 ⇒ x =
=
=
2·1
2
 x = 12 − 8 = 2 ⇒ y = 10
2
 2
2
2
Las dimensiones son 2 x 10
2.- La suma de dos números es 15 y su producto es 26. ¿Cuáles son dichos números?
Sean x, y ambos números
La suma es 15: x + y = 15 ⇒ y = 15 – x
Planteamos la ecuación: (15 – x) x = 26
Su producto es 26 : xy = 26
15 + 11

x =
= 13 ⇒ y1 = 2
15 ± 152 − 4·1· 26 15 ± 11  1
2
x – 15 x + 26 = 0 ⇒ x =
=
=
2·1
2
 x = 15 − 11 = 2 ⇒ y = 13
2
 2
2
2
Los números son 3 y 12.
3.- Halla dos números cuya suma es 14 y la de sus cuadrados 100.
Sean x, y ambos números
La suma es 14: x + y = 14 ⇒ y = 14 – x
2
2
2
Planteamos la ecuación: x + (14 – x) = 100
2
La suma de sus cuadrados es 100 : x + y = 100
14 + 2

x =
= 8 ⇒ y1 = 6
14 ± 142 − 4·1· 48 14 ± 2  1
2
x + x – 28 x + 196 – 100 = 0 ⇒ x – 14x + 48 = 0 ⇒ x =
=
=
2·1
2
 x = 14 − 2 = 6 ⇒ y = 8
2
 2
2
2
2
2
Los números son 8 y 6.
2
4.- El área de un triángulo rectángulo es de 60 cm y la suma de los catetos es 23 cm. Halla la medida
de los lados.
Sea x = base e y = altura
La suma de sus catetos es 23 : x + y = 23 ⇒ y = 23 - x
El área es 60 : x y = 60 ⇒ y = 14 – x
2
x – 23x + 60 = 0 ⇒ x =
23 ±
Planteamos la ecuación: x (23 – x) = 60
23 + 17

x =
= 20 ⇒ y1 = 3
232 − 4·1· 60 23 ± 17  1
2
=
=
2·1
2
 x = 23 − 17 = 3 ⇒ y = 20
2
 2
2
Los dos catetos miden 3 y 20 cm ⇒ La hipotenusa mide:
32 + 202 = 20´2 cm
Los lados miden 3, 20 y 20´2 cm
Luisa Muñoz
1
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
1º BCT
5.- La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 145. Calcula dichos números.
Sean x, x + 1 los dos números consecutivos
2
2
2
2
2
x + (x + 1) = 145 ⇒ x + x + 2x + 1 – 145 = 0 ⇒ x + x – 72 = 0
x=
−1 + 17

x =
= 8 ⇒ y1 = 9
(−1) 2 − 4·1· (−72) −1 ± 17  1
2
=
=
2·1
2
 x = −1 − 17 = −9 ⇒ y = −8
2
 2
2
−1 ±
Los números son (8,9) y (-9, -8)
6.- El perímetro de un triángulo isósceles mide 16 cm y la altura 4 cm. Halla la medida de los lados de
dicho triángulo.
Sean 2x = lado desigual , y = lado igual
El perímetro es 16: 2x + 2y = 16 ⇒ x + y = 8 ⇒ y = 8 – x
2
2
2
2
2
La altura es 4: 4 + x = y ⇒ 16 + x = y
y
2
4
Planteamos la ecuación: 16 + x = (8 – x)
2
2
2
16 + x = 64 – 16x + x ⇒ 16x = 48 ⇒ x = 3 ⇒ 2x = 6 , y = 8 – 3 = 5
x
Los lados miden 6, 5 y 5 cm
7.- Calcular dos números tales que su producto es 63 y la diferencia de sus cuadrados 32.
Sean x e y los dos números
Producto es 156: xy = 63
 63 
2
2
Diferencia de sus cuadrados es 25: y – x = 32
4
2
2
Planteamos la ecuación:   − x 2 = 32
 x 
2
x + 32x – 3969 = 0 ⇒ z + 32z – 3969 = 0
z=
−32 ±
−32 + 130

z =
= 49 ⇒ x1 = 7 ⇒ y1 = 9
32 2 − 4·1· (−3969) −32 ± 130  1
2
=
=
2·1
2
z = −32 − 130 = −81
 2
2
Los dos números son 7 y 9
8.- Calcular el área de un rectángulo de perímetro 28 cm y cuya diagonal mide 10 cm.
Sea x = base e y = altura
Perímetro es 28: x + y = 14 ⇒ y = 14 – x
2
2
2
Planteamos la ecuación: (14 – x) + x = 100
2
Diagonal es 10: y + x = 100
14 + 2

x =
= 8 ⇒ y1 = 6
14 ± 142 − 4·1· 48 14 ± 2  1
2
196 + x – 28x + x = 100 ⇒ x – 14x + 48 = 0 ⇒ x =
=
=
2·1
2
 x = 14 − 2 = 6 ⇒ y = 8
2
 2
2
2
2
2
El área del rectángulo es 48 cm
Luisa Muñoz
2
2
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
1º BCT
9.- Hallar los catetos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la hipotenusa mide 13 cm y que la
diferencia entre sus catetos es 7 cm.
Los catetos son x, x +7
2
2
La hipotenusa es 13: 13 = (x + 7) + x
2
2
2
2
169 = x + 14x + 49 + x ⇒ x + 7x – 60 = 0 ⇒ x =
−7 ±
−7 + 17

=5
x =
( −7) 2 − 4·1·(− 60) −7 ± 17  1
2
=
=
2·1
2
 x = −7 − 17 = −12
 2
2
Los catetos son 5 y 12 cm.
10.- Hallar la base y la altura de un rectángulo, sabiendo que su diagonal mide 50 cm y que la base
tiene 10 cm más que la altura.
Sea x = altura , x + 10 = base
2
2
2
2
2
La hipotenusa es 50: (x + 10) + x = 2500 ⇒ x + 100 + 20x + x = 2500 ⇒ x + 10x – 1200 = 0
x=
−10 + 70

x =
= 30
(−10)2 − 4·(−1200) −10 ± 70  1
2
=
=
2·1
2
 x = −10 − 70 = −40
 2
2
−10 ±
La base es 40 cm y la altura es 30 cm
11.- Halla dos números cuya suma es 78 y su producto 1296.
Los números son x, 78 – x
Producto es 1296: (78 – x) x = 1296
2
2
78 x – x = 1296 ⇒ x – 78x + 1296 = 0
x=
78 ±
78 + 30

x =
= 54
782 − 4· 1296 78 ± 30  1
2
=
=
2·1
2
 x = 78 − 30 = 24
 2
2
Los números son 54 y 24.
12.- La base de un rectángulo es 6 m mayor que la altura. Si la altura disminuye en 2 m y la base
2
aumenta en 4 m, el área del nuevo rectángulo es 8 m mayor que el del primero. Calcula sus
dimensiones.
ALTURA
BASE
ÁREA
1º RECTÁNGULO
x
x+6
x(x + 6)
2º RECTÁNGULO
x–2
x + 10
(x + 10)(x – 2)
2
El 2º área aumenta en 8 m : (x + 10)(x – 2) = x(x + 6) + 8
2
2
x + 10x – 2x – 20 = x + 6x + 8 ⇒ 2x = 28 ⇒ x = 14
La base mide 20 y la altura 14
Luisa Muñoz
3
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
1º BCT
13.- Calcular dos números positivos sabiendo que la diferencia es 12 y la suma de sus cuadrados es
170.
Sean los números x, 12 + x
2
2
La suma de sus cuadrados es 168: x + (12 + x) = 170
2
2
2
2
x + x + 24x + 144 = 168 ⇒ 2x + 24x – 26 = 0 ⇒ x + 12x – 13 = 0
x=
−12 ±
−12 + 14

x =
=1
(−12)2 − 4· (−13) −12 ± 14  1
2
=
=
2·1
2
 x = −12 − 14 = −13
 2
2
Los números son 1 y 13
2
14.- Un rectángulo mide de perímetro 28 cm y de área 24 cm . Hallar la longitud de sus lados.
Sean x = altura ; y = base
Perímetro es 28: x + y = 14 ⇒ y = 14 – x
Área es 24: x(14 – x) = 24
2
2
14x – x = 24 ⇒ x – 14 x + 24 = 0
14 + 10

x =
= 12 ⇒ y = 14 − 12 = 2
14 ± 142 − 4· 24 14 ± 10  1
2
x=
=
=
2·1
2
 x = 14 − 10 = 2 ⇒ y = 14 − 2 = 12
 2
2
Las dimensiones son 2 x 12
15.- Hallar dos números naturales sabiendo que su diferencia es 3 y su producto es 108.
Sean los números x, 3 + x
Su producto es 108: x(3 + x) = 108
2
2
3x + x – 108 = 0 ⇒ x + 3x – 108 = 0
x=
−3 ±
−3 + 21

x =
=9
(−3) 2 − 4· ( −108) −3 ± 21  1
2
=
=
2·1
2
 x = −3 − 21 = −12
 2
2
Los números son (9, 12)
16.- El cateto menor de un triángulo mide 11 cm y la hipotenusa 1 cm más que el otro cateto. Halla
los lados.
Sean los lados del triángulo 11, x, x + 1
2
2
2
Al ser rectángulo, se verifica el teorema de Pitágoras: (x + 1) = x + 11
2
2
x + 1 + 2x = x + 121 ⇒ 2x = 120 ⇒ x = 60
Los lados son 11, 60 y 61 cm
Luisa Muñoz
4
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
1º BCT
17.- La diagonal de un rectángulo mide 30 cm y las dimensiones de los lados son proporcionales a 3
y 4. Halla los lados.
Sean los lados 3x, 4x
2
2
2
La diagonal mide 30 cm: (3x) + (4x) = 30
2
2
2
2
9x + 16x = 900 ⇒ 25x = 900 ⇒ x = 36 ⇒ x = 6
Los lados miden 18 y 24 cm
18.- La diagonal de un rectángulo mide 26 cm y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo.
Sean x = altura ; y = base
Perímetro es 34: x + y = 34 ⇒ y = 34 – x
2
2
Diagonal es 26: x + (34 – x) = 26
2
2
2
2
2
x + 1156 + x – 68x – 676 = 0 ⇒ 2x – 68x + 480 = 0 ⇒ x – 34x + 240 = 0
x=
34 ±
34 + 14

x =
= 24 ⇒ y = 34 − 24 = 10
342 − 4· 240 34 ± 14  1
2
=
=
2·1
2
 x = 34 − 14 = 10 ⇒ y = 34 − 10 = 24
 2
2
Las dimensiones son 24 x 10 cm.
19.- El perímetro de un triángulo rectángulo mide 36 cm y uno de los catetos 12 cm. Halla los lados
restantes.
Sea x = cateto e y = hipotenusa
El perímetro es 36: x + y + 12 = 36 ⇒ y = 24 – x
2
2
2
Al ser triángulo rectángulo se verifica: (24 – x) = x + 12
2
2
576 – 48x + x = x + 144 ⇒ 432 = 48x ⇒ x = 9 ⇒ y = 15
Los lados miden 15 y 9 cm
20.- Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de
2
anchura uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m .
Área del jardín: 50 · 34 = 1700 m
50 m
34 m
2
Área rectángulo grande: (34 + 2x)(50 + 2x)
x
Área del jardín: (34 + 2x)(50 + 2x) – 1700 = 540
2
2
1700 + 68x + 100x + 4x – 1700 = 540 ⇒ 4x + 168x – 540 = 0
2
x + 42x – 135 = 0
x=
Luisa Muñoz
−42 ±
−42 + 48

x =
=3
(−42)2 − 4· (−135) −42 ± 48  1
2
→ El ancho del camino es 3 m
=
=
2·1
2
 x = −42 − 48 = −45
 2
2
5