a)Calculamos la velocidad y la aceleración de la partícula en un

Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen septiembre / 3 septiembre 2012
1. Conocemos las ecuaciones paramétricas (temporales) del movimiento de una partícula, expresadas en
unidades del S.I.: x = 3cos t, y = 3sen t, z = 4t. En un instante genérico, t: a) Determinar la velocidad y
la aceleración de la partícula y los módulos de esas magnitudes; b) decir de que tipo de movimiento se trata,
describir la forma de la trayectoria de la partícula, caracterizarla y dibujarla; c) determinar las componentes
intrínsecas de su aceleración. d) Calcular el radio de curvatura de la trayectoria en el instante t = 1 s.
a) Calculamos la velocidad y la aceleración de la partícula en un instante genérico t
derivando sucesivamente el vector de posición con respecto del tiempo:
3cos t 
3sen t 
3cos t  



2
2
v  9sen t 9 cos t 16 5 m/s






r 
3sen t  v 3cos t  a 
3sen t  
 4t 
 4 
 0  
a  9cos2 t 9sen2 t 3 m/s2





 
b) Se trata de un movimiento tridimensional en el
que la partícula describe una trayectoria
helicoidal de paso constante, definiendo por tal el
desplazamiento en la dirección del eje z (eje de la
hélice) cuando la partícula completa una
revolución alrededor de dicho eje. El paso es:
2
2
h vz T vz
4
825 m

1
Dicha trayectoria se recorre con una celeridad
constante de 5 m/s, lo que implica que la
componente tangencial de la aceleración será
nula, no así la componente normal, que tiene un valor constante de 3 m/s2.
0

v 1
c) Determinamos el versor tangente a la trayectoria en ese instante: e t   3 
.
v 5
4 
Calculamos el módulo de la aceleración tangencial en el instante t = 1:
3cos t  
3sen t 

1


at a
et 
3sen t  3cos t 
9 cos t sen t 9sen t cos t 0 (como ya sabíamos)
5
 0   4 

 

Ahora podemos determinar las componentes intrínsecas (tangencial y normal) de la
aceleración en el instante t = 1:
a t 0
3cos t 


a n a a t a 
3sen t 
(como ya habíamos demostrado)
 0 


d) El radio de curvatura se determina a partir de los módulos de la velocidad y de la
aceleración normal, ya que an v2 , de modo que
v 2 52
  8.33 m/s 2
an
3
Departamento de Física Aplicada
E.T.S.I.A.M.
Creación: 21/08/2012 - Revisión: 06/09/2012 - Impresión:06/09/2012
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen septiembre / 3 septiembre 2012
2. Una lámina plana de material homogéneo y forma semicircular, de masa m y radio R,
está suspendida de un eje horizontal A y obligada a permanecer en la posición que se
indica en la figura mediante un taco fijo en contacto con su extremo inferior B.
a) Determinar la posición del centro de gravedad de la lámina. b) Calcular las reacciones
en los apoyos de la lámina. c) Si retiramos el taco inferior, determinar la posición de
equilibrio de la lámina calculando el ángulo que formará el diámetro AB con la vertical.
A
R
C
a) Aplicamos el Segundo Teorema de Papus:
4
1
3 
2
V SL  
R 

R 
2 






3
2

 

NhA
A
δ
G
mg
B

4R
3
b) Escribimos las ecuaciones cardinales de la estática del sólido
rígido, tomando momentos con respecto del eje A:



 NB  NhA



 N vA mg




 2 RN B mg

A
De modo que disponemos de tres ecuaciones con tres incógnitas (que
son las tres reacciones pedidas)
NvA
C
B
NB
NvA  mg
A
mg
mg 4R
2
NhA  NB 


mg
2R
2 R 3 3
R
c) En la posición de equilibrio, el punto de suspensión (A) y el centro de
gravedad (G) estarán en la misma vertical.
tg 
 4
 0.4244 
R 3
C
G
δ
23º
Departamento de Física Aplicada
E.T.S.I.A.M.
Creación: 21/08/2012 - Revisión: 06/09/2012 - Impresión:06/09/2012
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen septiembre / 3 septiembre 2012
3. Una cadena de 3 m de longitud y 6 kg de peso está estirada a lo largo de
un plano inclinado 30º sobre la horizontal de forma que 2 m de la misma
permanecen sobre el plano inclinado y 1 m cuelga verticalmente desde
el borde del mismo. En estas condiciones, el peso del segmento colgante
es justamente insuficiente para impedir que la cadena deslice sobre el
plano inclinado. a) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático entre
la cadena y la mesa? Supongamos que, una vez que la cadena está en
movimiento, el coeficiente de rozamiento cinético valga la mitad del
coeficiente de rozamiento estático. b) Calcular la velocidad que adquiere
la cadena en el instante en que toda ella desliza sobre el plano inclinado.
2m
1m
30º
a) En las condiciones del enunciado, el peso de la porción que cuelga ( mx0 = 6/3 = 2 kg) está
compensado justamente por la componente del peso del resto de la cadena en la dirección del
plano inclinado y la fuerza de rozamiento que actúa sobre ella:
m m g sen 30º m m g cos 30º m g  
m m sen 30º m 6 2sen 30º2 4sen 30º 2 sen 30º 0.5




0
4 cos 30º
cos 30º
6 2cos 30º
m m cos 30º
x0
x0
x0
x0
x0
x0
De modo que no existe rozamiento entre la cadena y el plano
inclinado.
b) Puesto que el plano es liso (sin rozamiento), la energía
mecánica se conserva. La disminución de la energía potencial de
la cadena es igual, en todo instante, al incremento de su energía
cinética. Considerando los instantes indicados en el enunciado y
tomando como nivel de referencia de energía potencial nula el
punto más alto, podemos escribir.
m x0 g
N
x
l-x
f
(m-mx)g
mxg
x0
l x0
l
1 2

m mx0 
g
sen 30º mg sen 30º  mv
2
2
2
2
Ordenando y operando:
mv 2 mgl sen 30º m x0 gx0 
m m x0 
g
l x0 
sen 30º


m x0 x0 
m x0 
 x0 







v 2 

sen
30º


1

1

sen
30º
gl












m l  m 
 l 


y sustituyendo valores se obtiene


 1


3 
1 1  1
1 1 2
1 3
1










v 2 
sen 30º  
1

1

sen
30º

gl



gl


gl

gl  gl
























 3

3 3  3
 
2 9 9 
2 9 
18 
6
O sea,
v
Departamento de Física Aplicada
gl
9.83

2.21 m/s2
6
6
E.T.S.I.A.M.
Creación: 21/08/2012 - Revisión: 06/09/2012 - Impresión:06/09/2012
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen septiembre / 3 septiembre 2012
4. Explicar los fundamentos de un generador de f.e.m. de C.C. (v.g., una batería de automóvil), haciendo un
esquema en el que se representen los campos eléctricos y las fuerzas que actúan sobre los portadores de
carga. Explicar el significado de f.e.m. de la batería y de d.d.p. entre sus bornes, expresando sus unidades y
las diferencias que existen entre ellos.
Departamento de Física Aplicada
E.T.S.I.A.M.
Creación: 21/08/2012 - Revisión: 06/09/2012 - Impresión:06/09/2012
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen septiembre / 3 septiembre 2012
5. Dado el circuito de la figura, determinar la f.e.m. y resistencia interna
del generador equivalente entre A y B.
5
Cálculo de la f.e.m. equivalente (abierto)
Aplicamos el método de Maxwell, con las corrientes de malla
indicadas en el esquema:
3
2
10V
20V
4
2
A
B

7 2 0 

10
I1 
7 2 0















20


2
9

4
I



2 9 4  242 Ω3





2








0 
0 4 6 

I 3
0 4 6

 




Resolvemos:
10 2 0
1
140
I1 
20
9 4 
0.5785 A
 0 4 6
242
7 10 0
1
720
I2  2 20 4 
2.975 A
 0
242
0
6
10V
7 2 10
1
480
I3  2 9
20 
1.983 A
 0 4
242
0
5
I1 2
3
I2
I 3 2
4
A
La intensidad de la corriente que circula por la
rama AB, en el sentido de A→B, es la corriente
de malla I3; esto es, iAB  I3 1.983 A , de modo
que la d.d.p. entre A y B, que coincide con el
valor de la f.e.m. equivalente entra A y B, será:

1.9833.967 V
eq VAB RAB iAB 2
10V
B
5
I1 2
Donde el signo positivo significa que el borne A
I3 2
es el positivo del generador equivalente.
Cálculo de la resistencia equivalente (en corto)
A
Cortacircuitamos entre A y B y resolvemos el
Ic
circuito para calcular la intensidad en
cortocircuito (Ic):
I c 
0 
2
0
0 2
2
0
0 2















I


10

0
7

2
0

0
7

2 0


1






 
248 Ω4







I

20


0

2
9

4


0

2
9

4
2





 






0 
 

2 0 4 6 

I3 

2 0 4 6
0
0
0 2
1 10 7 2 0
960
Ic 

3.871 A 
 20 2 9 4 248
0
0 4 6
Departamento de Física Aplicada
Ic 
20V
3
I2
20V
4
B

 3.967
 req  
1.02 Ω
req
Ic 3.871
E.T.S.I.A.M.
Creación: 21/08/2012 - Revisión: 06/09/2012 - Impresión:06/09/2012
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen septiembre / 3 septiembre 2012
Otro método:
Para calcular la resistencia equivalente entre AB, suprimimos
la resistencia conectada entre AB, calculamos la resistencia
equivalente del resto del circuito entre AB y, luego,
añadimos la resistencia suprimida en paralelo con el
resultado. Colocamos un generador de ensayo (arbitrario):


0 
7 2 0 
I '1 
7 2 0












0

2 9 4

I '2 
 2 9 4 124 Ω3














 
I '3 
0 4 4

0 4 4 



A
7 2 0
1
59

I '3  2 9 0 
=

 0 4  124
R
124
R
 2.1 Ω
59
22.1
Y la resistencia equivalente pedida es req 
1.02 Ω
2 2.1
Departamento de Física Aplicada
5
I’1 2
3
I’3
4
I’2

B
I’3
A
E.T.S.I.A.M.
Creación: 21/08/2012 - Revisión: 06/09/2012 - Impresión:06/09/2012
R

B
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen septiembre / 3 septiembre 2012
6. a) Calcular la impedancia total del circuito de C.A. que se representa en
la figura así como la intensidad que le suministra la red. b) Calcular el
factor de potencia del circuito y explicar si es capacitativo o inductivo.
c) Calcular el elemento que deberemos conectar en paralelo para
corregir totalmente el factor de potencia.
220 V
50 Hz
6
1.06 mF

2
25.47 mH

a) Calculamos la frecuencia angular y las reactancias de los
elementos reactivos:

2π100πrad/s

1
1


X C 

3 Ω
C 3 j 3 90º Ω
3

C 1001.0610
 




X L 10025.47 103 8 Ω

L 8j 8 90º Ω

L
Las impedancias de cada una de las ramas y la impedancia total son:

 3j 3 90º Ω

1





6

8
j

10
Ω
2

53º


3 90º10 53º
30 37º

1 2



3.84 77 º Ω= 
0.86 3.74 jΩ
1 2
6 5 j
61 40º
2.86 3.74 j 4.7153º Ω (capacitativo)
La intensidad que suministra la red es:
220 0º


46.71 53º A 
28.11 37.30 jA
 4.7153º

b) El factor de potencia vale
I
adelantada
L
retrasada
V
carga capacitativa
Ireact=I sen
Ibobina
Iact=I cos 
V
I

Departamento de Física Aplicada
f.p. cos cos 
53º 0.6018 (capacitativo)
El circuito es capacitativo y la intensidad está
adelantada con respecto a la tensión aplicada.
c) Puesto que el circuito es capacitativo, deberemos
colocar una inducción (bobina) en paralelo con el
circuito para corregir el factor de potencia.
V
V
V
 L

L
I react I sen 
220
L
18.8 mH
10037.30
I react 
E.T.S.I.A.M.
Creación: 21/08/2012 - Revisión: 06/09/2012 - Impresión:06/09/2012
Universidad de Córdoba