Elemento finito Triangular Lineal

Elemento finito Triangular Lineal
Función de aproximación
es un elemento bidimensional de aproximación lineal de tres nudos y un grado de libertad
por nudo, cuya función de aproximación es
φ ( x, y ) = α 1 + α 2 x + α 3 y ∀( x, y) ∈ Ω ( e)
Valores nodales
φi = φ ( xi , yi ) = α 1 + α 2 xi + α 3 yi
φ j = φ ( x j , y j ) = α1 + α 2 x j + α 3 y j
φ k = φ ( xk , yk ) = α 1 + α 2 xk + α 3 yk
φk
φj
φi
Elemento finito Triangular Lineal
Función de aproximación
φi  1 xi
φ  = 1 x
j
 j 
φk  1 xk
yi   α 1 
y j  α 2  ⇔
yk  α 3 
1
det Z = 1
1
φi
det Z1 = φ j
φk
Aplicando la regla de Cramer
Φ (e ) = Z α
xi
xj
xk
α1 =
det Z1
det Z
, α2 =
det Z 2
det Z
, α3 =
det Z3
det Z
yi
y j = ( x j yk − xk y j ) − ( xi yk − xk yi ) + ( xi y j − x j yi ) = 2 A
yk
Área del elemento finito
xi yi
x j y j = ( x j yk − xk y j )φi − ( xi yk − xk yi )φ j + ( xi y j − x j yi )φk
xk yk
1 φi
det Z 2 = 1 φ j
1 φk
yi
y j = −( yk − y j )φi + ( yk − yi )φ j − ( y j − yi )φk
yk
1 xi
det Z3 = 1 x j
1 xk
φi
φ j = ( xk − x j )φi − ( xk − xi )φ j + ( x j − xi )φk
φk
Elemento finito Triangular Lineal
Función de aproximación
1
( x j yk − xk y j )φi + ( xk yi − xi yk )φ j + ( xi y j − x j yi )φk
2A
1
( y j − yk )φi + ( yk − yi )φ j + ( yi − y j )φk
α2 =
2A
1
α3 =
( xk − x j )φi + ( xi − xk )φ j + ( x j − xi )φ k
2A
α1 =
[
[
]
]
[
]
Sean
ai = x j yk − xk y j
bi = y j − yk
ci = xk − x j
a j = xk yi − xi yk
b j = yk − yi
c j = xi − xk
ak = xi y j − x j yi
bk = yi − y j
ck = x j − xi
La función de aproximación se puede expresar como:
1
φ ( x, y ) =
(ai + bi x + ci y)φi + (a j + b j x + c j y)φ j + (ak + bk x + ck y )φk
2A
[
φ ( x, y ) = N i( e ) ( x, y ) φi + N (j e ) ( x, y) φ j + N k(e ) ( x, y) φk
]
Funciones de forma
Elemento Triangular Lineal
Nj =
Ni =
1
(ai + bi x + ci y )
2A
ai = x j yk − xk y j
a j = xk yi − xi yk
ak = xi y j − x j yi
Nk =
1
(ak + bk x + ck y )
2A
1
(a j + b j x + c j y)
2A
bi = y j − yk
b j = yk − yi
bk = yi − y j
ci = xk − x j
c j = xi − xk
ck = x j − xi
Elemento finito Triangular Lineal
Funciones de forma
Función de aproximación
φ ( x, y ) = N i( e ) ( x, y ) φi(e ) + N (je ) ( x, y) φ (j e ) + N k( e) ( x, y ) φk(e )
Matriz de funciones de forma
N (e ) = N i( e)
[
N (j e )
[
Vector de valores nodales
N k( e )
Φ ( e ) = φi( e) φ (j e ) φk( e )
]
]
T
Función de aproximación (expresión matricial)
φ = N ( e) Φ ( e) = [Ni(e )
N (e ) =
N (j e)
N k(e )
]
φi( e) 
 ( e) 
( e )T
( e )T
φ
→
φ
=
Φ
N
j
 
φ k( e) 
 
1
(ai + bi x + ci y ) (a j + b j x + c j y ) (ak + bk x + ck y )
2A
[
]
Elemento finito Triangular Lineal
Derivadas de las funciones de forma
Derivadas de la función
de aproximación
(e )
∂φ ( x, y) ∂N i(e ) ( x, y ) ( e) ∂N j ( x, y ) ( e) ∂N k( e ) ( x, y ) ( e)
=
φi +
φj +
φk
∂x
∂x
∂x
∂x
(e )
∂φ ( x, y) ∂N i(e ) ( x, y ) ( e) ∂N j ( x, y ) ( e) ∂N k( e ) ( x, y ) ( e)
=
φi +
φj +
φk
∂y
∂y
∂y
∂y
expresada matricialmente
∂ x 
 ∂ xφ   ∂ x N i(e )
∴ ∇ =   , ∇φ = 
=
( e)
φ
∂
∂
∂
N
y
y

 

  y i
∴ B ( e ) = ∇N ( e )
donde
∂ x N (j e )
∂yN
(e )
j
, ∇φ = ∇N ( e ) Φ ( e ) = B ( e ) Φ ( e )
∂N i(e ) bi
=
∂x
2A
∂N (j e) b j
=
∂x
2A
Matriz de operadores
diferenciales actuando sobre
funciones de forma
(e )


φ
i
( e)
∂ x N k   ( e )   ∂ x  ( e)
φ
=   Ni
(e )   j 
∂
∂ y N k  (e )
φk   y 
 
, ∇ T φ = Φ ( e )T B ( e ) T
∂N k(e ) bk
=
∂x
2A
B
(e )
 ∂ x Ni(e )
=
( e)
∂ y N i
[
∂N i(e )
c
= i
∂y
2A
∂ x N (j e )
∂ y N (j e )
N (j e )
∂N (j e) c j
=
∂y
2A
∂ x N k( e)  1 bi
=

(e ) 
∂ y N k  2 A ci
N k(e )
]
φi( e) 
 ( e) 
φ j 
φk( e) 
 
∂N k(e ) ck
=
∂y
2A
bj
cj
bk 
ck 
Elemento finito Triangular Lineal
Coordenadas de área
k k
k
Coordenadas de área
L1 =
h1
L2
L1
L1 =
3
L1 =
4
L1 = 1
1
L1 =
2
b1
L1
L3
i
i
1
4
s1
j
j
k
k
y
L1 =
h1
A2
L1 L1 = 0
A1
i
i
A3
j
s1
h1
b1 ⋅ s1 2 A1
=
b1 ⋅ h1 2 A
b1
s1
j
x
Elemento finito Triangular Lineal
Coordenadas de área
k
y
L2 =
b2
A2 sL2
b2 ⋅ s2 2 A2
=
b2 ⋅ h2 2 A
y
k L3 =
h3
h2
A1
A2
L
A1
i
A3
i
A3
1 x
2 A2 = 1 xk
1 xi
1 x
2 A1 = 1 x j
1 xk
L1 =
y
yk
yi
y
yj
yk
j
x
1 x
2 A3 = 1 xi
1 xj
y
yi
yj
s3
b3
j
x
L1 = N i
2 A1 = ( x j ⋅ yk − xk ⋅ y j ) + ( y j − yk ) ⋅ x + ( xk − x j ) ⋅ y
L2 = N j
L3 = N k
1
1
⋅ ( x j ⋅ yk − xk ⋅ y j ) + ( y j − yk ) ⋅ x + ( xk − x j ) ⋅ y =
(a + b ⋅ x + ci ⋅ y ) = N i
2A
2A i i
[
b3 ⋅ s3 2 A3
=
b3 ⋅ h3 2 A
]
Elemento finito Triangular Lineal
Coordenadas de área
Integral de área
a
b
c
L
⋅
L
⋅
L
1
2
3 dA =
∫
A
a! ⋅ b! ⋅ c!
⋅2A
( a + b + c + 2)!
Eisenberg & Malvern.
Malvern. 1973
2h(b − s ' )
2A
s'
2
L1 = 1 =
= 1−
2hb
2A
b
2
Integral de lílínea. lado ij
k
y
h
L1 = l1 = N i
A2
i
L2 = l2 = N j
Elem.
Elem. Unidim.
Unidim. lineal
L
A1
A1
s’
A3=0
L2 =
1
L ⋅ ∫ l1a ⋅ l2b dl = L ⋅
0
b
j
x
a! ⋅ b!
(a + b + c + 1)!
Abramowitz & Stegun.
Stegun. 1964
s'
b
Elemento finito rectangular bilineal
Función de aproximación
es un elemento bidimensional de
aproximación bilineal de cuatro
nudos y un grado de libertad por
nudo, cuya función de
aproximación es
φ (s, t ) = α1 + α 2 s + α 3t + α 4 st
Valores nodales
φi = φ (0,0) = α1
φ j = φ (2b,0) = α 1 + α 2 2b
φk = φ (2b,2a ) = α1 + α 2 2b + α 3 2a + α 4 4ab
φm = φ (0,2a) = α1 + α 3 2a
Funciones de forma
Elemento finito rectangular bilineal
st
N (e ) ( s, t ) =
k
4ab
N i(e ) ( s, t ) =
(2b − s )(2a − t )
4ab
s(2a − t )
N ( s, t ) =
4ab
(e )
j
t (2b − s)
N ( s, t ) =
4ab
(e )
m
Elemento finito rectangular bilineal
Función de aproximación
(e )
( e)
( e)
(e)
(e)
(e )
(e )
(e )
Función de aproximación φ (s, t ) = N i (s, t ) φi + N j (s, t ) φ j + N k (s, t ) φ k + N m ( s, t ) φm
[
Matriz de funciones de forma
N (e ) = N i( e)
N (j e )
Vector de valores nodales
Φ ( e) = φi( e ) φ (j e ) φk( e ) φm( e)
[
N k(e )
N m( e)
]
]
T
Función de aproximación (expresión matricial)
φi( e) 
 ( e) 
φ
φ = N ( e) Φ ( e) = Ni(e ) N (j e) N k(e ) N m(e )  j( e)  → φ = Φ ( e)T N (e )T
φk 
 ( e) 
φm 
st
(e )
(2b − s )(2a − t )
s(2a − t )
(e )
(e )
N
(
s
,
t
)
=
N i ( s, t ) =
N j ( s, t ) =
k
4ab
4ab
4ab
[
]
N (e ) =
1
[(2b − s)(2a − t ) s (2a − t ) st t (2b − s)]
4ab
N m(e ) ( s, t ) =
t (2b − s)
4ab
Elemento finito rectangular bilineal
Derivadas de la función de aproximación
(e )
∂φ ∂φ ∂N i(e ) ( e ) ∂N j ( e) ∂N k(e ) (e ) ∂N m( e) (e )
=
=
φ +
φ +
φ +
φ
∂x ∂s
∂s i
∂s j
∂s k
∂s m
(e )
∂φ ∂φ ∂N i(e ) ( e ) ∂N j ( e) ∂N k(e ) (e ) ∂N m( e) (e )
=
=
φi +
φj +
φk +
φm
∂y ∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
Derivadas de la función
de aproximación
expresada matricialmente
∂ x 
∂ xφ   ∂ x N i(e )
∴ ∇ =   , ∇φ = 
=
( e)
φ
∂
∂
∂
N
y
y

 

  y i
∂ x 
∇φ =   N i(e )
∂ y 
[
∴ B ( e ) = ∇N ( e )
N (j e)
N k(e )
N m(e )
]
, ∇φ = ∇N ( e ) Φ ( e )
∂ x N (j e )
∂ y N (j e )
φi( e) 
 ( e) 
φ j 
φ k( e) 
 ( e) 
φ m 
= B (e ) Φ (e )
∂ x N k(e )
∂ y N k( e)
φi(e ) 
 
∂ x N m(e )  φ (j e ) 

∂ y N m(e )  φk(e ) 
 (e ) 
φm 
, ∇ T φ = Φ ( e )T B ( e )T
Elemento finito rectangular bilineal
Derivadas de la función de aproximación
Matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma
∂ x N i(e )
B (s, t ) = 
(e )
∂ y Ni
(e )
B (e ) (s, t ) =
∂ x N (j e )
∂ x N k( e)
∂ y N (j e)
∂ y N k(e )
∂ x N m(e ) 

∂ y N m( e) 
−t 
1  − ( 2 a − t ) (2 a − t ) t
4ab  − (2b − s)
−s
s (2b − s)
Elementos finitos de orden superior
Elementos triangulares
3
3
φ = α1 + α 2 x + α 3 y
6
Triangular Lineal
y
5
y 1
1
x
x
3
2
4
9
Triangular cuadrá
cuadrático
8
φ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy + α 5 x 2 + α 6 y 2
7
10
1
6
y
x
2
4
5
1
Triangular
cúbico
x
x2
2
φ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy + α 5 x 2 + α 6 y 2 +
+ α 7 x 3 + α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α10 y 3
x3
x4
y
xy
x2 y
x3 y
Triá
Triángulo
de Pascal
y2
xy 2
x2 y 2
y3
xy 3
y4
Elementos rectangulares
Elementos finitos de orden superior
y
4
1
Rectangular de 9 nudos. Lagrange
Rectangular Bilineal.
Bilineal. Lagrange
y
3
2
4
7
3
8
9
6
1
5
2
x
x
Rectangular de 5 nudos. Serendipity
y
Rectangular de 8 nudos. Serendipity
y
4
3
4
8
5
1
7
2
1
x
3
6
5
2
x
Elementos cuadrilaterales
Elementos finitos isoparam
isoparamé
étricos
Cuadrilateral Lineal. Isoparamé
Isoparamétrico
y
4
η
4
3
3
Rectangular
Bilineal
ξ
2
1
Elemento Patró
Patrón
1
2
x
Cuadrilateral de 9 nudos. Isoparamé
Isoparamétrico
η
4
7
3
8
9
6
1
5
y
3
7
4
9
8
6 ξ
2
Elemento Patró
Patrón
1
5
2 x
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Elemento patrón
Rectangular Bilineal
y
t
η
3
4
Funciones de Forma en coordenadas
naturales
1
(1 − ξ )(1 − η )
4
1
N 2(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 −η )
4
1
N 3(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 + η )
4
1
N 4(e ) (ξ ,η ) = (1 − ξ )(1 + η )
4
N1(e ) (ξ ,η ) =
a
ξ
Coordenadas naturales
b a
b
1
s
2
Coordenadas locales
Coordenadas globales
x
Función de aproximación
φ (ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η )φ1( e ) + N 2( e) (ξ ,η )φ2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η )φ3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η )φ4( e )
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Definición
Cuadrilateral Lineal
y
Funciones de Forma en coordenadas
naturales
η
4
(x3 , y3 )
(x, y )
(x4 , y4 )
3
ξ
1
(x1, y1 )
(x2 , y2 )
1
(1 − ξ )(1 − η )
4
1
N 2(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 −η )
4
1
N 3(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 + η )
4
1
N 4(e ) (ξ ,η ) = (1 − ξ )(1 + η )
4
N1(e ) (ξ ,η ) =
2
x
Las funciones de forma del elemento
cuadrilaterial lineal son iguales a las de su
elemento patrón: el rectangular bilineal
Función de aproximación
φ (ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η )φ1( e ) + N 2( e) (ξ ,η )φ2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η )φ3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η )φ4( e )
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Función de aproximación
Función de aproximación
φ (ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η )φ1( e ) + N 2( e) (ξ ,η )φ2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η )φ3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η )φ4( e )
Geometría del elemento
x(ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η ) x1(e ) + N 2(e ) (ξ ,η ) x2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η ) x3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η ) x4(e )
y(ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η ) y1( e ) + N 2( e) (ξ ,η ) y2(e ) + N 3( e ) (ξ ,η ) y3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η ) y4(e )
Las funciones de forma de la función de aproximación
definen la geometría del elemento finito
Cuadrilateral Lineal
y
η
4
Ejemplo: geometría del lado 3-4
(x3 , y3 )
(x, y )
− 1 ≤ ξ ≤ 1 , η = 1 → N1(e ) = 0 , N 2(e ) = 0
1
1
N 3(e ) (ξ ) = (1 + ξ ) , N 4(e ) (ξ ) = (1 − ξ )
2
2
x(ξ ) = 12 (1 + ξ ) x3(e ) + 12 (1 − ξ ) x4( e)
( e)
3
y(ξ ) = (1 + ξ ) y
1
2
+ (1 − ξ ) y
1
2
(e )
4
(x4 , y4 )
3
ξ
1
(x1, y1 )
(x2 , y2 )
2
x
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Función de aproximación y geometría
φ1( e) 
 ( e) 
Función de aproximación
(e )
(e )
( e)
( e ) φ2 
(e )
(e)
φ (ξ ,η ) = N1
φ (ξ ,η ) = N (ξ ,η ) Φ (expresión matricial)
N2
N3
N4
φ3( e) 
 ( e) 
φ4 
Función de forma
1
(e )
N = [(1 − ξ )(1 −η ) (1 + ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 + η ) (1 − ξ )(1 + η )] (expresión matricial)
4
[
]
Geometría del elemento (expresión matricial)
[x
[
y ] = N1( e )
N 2(e )
N 3(e )
~
x (e ) (ξ ,η ) = Ν (e ) (ξ ,η ) x (e )
N 4( e)
]
 x1( e)
 ( e)
 x2
 x3( e)
 ( e)
 x4
y
η
4
y1(e ) 

y2(e ) 
y3(e ) 

y4(e ) 
(x3 , y3 )
(x, y )
(x4 , y4 )
3
ξ
1
(x1, y1 )
(x2 , y2 )
2
x
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz Jacobiano
Cambio de variables para integrales dobles
∫∫
f
(e )
( x, y ) dx dy = ∫∫ f
1 1
(e)
(s, t ) ds dt = ∫ ∫ f (e ) (ξ ,η ) ⋅ det J (e ) (ξ ,η ) dξ dη
−1 −1
J(e)
 ∂x
 ∂ξ
=
 ∂x
 ∂η
J(e)
 ∂N1(e )
 ∂ξ
=  (e )
 ∂N1
 ∂η
∂y   ∂ 
∂ξ   ∂ξ 
 =   [x
∂y   ∂ 
∂η   ∂η 
(e )
2
∂N
∂ξ
∂N 2(e )
∂η
(e )
3
∂N
∂ξ
∂N 3(e )
∂η
y] = ∇~
x (e ) = ∇N ( e ) (ξ ,η ) x (e ) = B ( e) (ξ ,η ) x (e )
∂N   x1
 (e )

∂ξ   x2
∂N 4(e )   x3(e )

∂η   x4(e )
1 − (1 − η ) (1 − η )
J (ξ ,η ) = 
4 − (1 − ξ ) − (1 + ξ )
(e)
(e )
4
(e )
(1 + η )
(1 + ξ )
, ∴ B (e ) = ∇N (e )
y1( e ) 

y2( e ) 
y3( e ) 

y4( e ) 
 x1(e )

− (1 + η )  x2(e )
(1 − ξ )   x3(e )
 (e )
 x4
y1( e) 

y2( e) 
= B (e ) (ξ ,η ) x (e )
( e) 
y3

y4( e) 
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Cuadratura de Gauss – Legendre
1
n
−1
i =1
∫ g (ξ ) dξ = ∑ W g (ξ )
Espacio unidimensional
i
i
Mayor P.
n
ξi
Wi
1
0.0
2.0
1
1.0
2
1.0
3
1
8/9
4
∫ g (ξ ) dξ
5/9
5
2
3
-0.577350
+0.577350
0.0
-0.774597
+0.774597
g(ξ)
g(-0.577350)
−1
-1
5/9
2n −1 ≥ mayor potencia de ξ
-0.577350
g(+0.577350)
ξ
+0.577350 +1
1
∫ g (ξ ) dξ = 1.0 ⋅ g (−0.577350) + 1.0 ⋅ g (+0.577350)
−1
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Cuadratura de Gauss – Legendre
1 1
n
∫ ∫ g (ξ ,η ) dξ dη = ∑∑ W ⋅W
Espacio bidimensional
i
2
3
Wi
0.0
2.0
1
1.0
2
1.0
3
8/9
4
-0.774597
5/9
5
+0.774597
5/9
0.0
⋅ g (ξi ,η j )
(x4 , y4 )
Mayor P.
ξi
-0.577350
+0.577350
j
i =1 j =1
−1 −1
nó
m
1
m
2n − 1 ≥ mayor potencia de ξ
2m − 1 ≥ mayor potencia de η
(x3 , y3 )
4
η
3
PG3 : (+ 0.5773,+ 0.5773)
PG 4 : (− 0.5773,+ 0.5773)
ξ
PG1 : (− 0. 5773,−0.5773)
PG 2 : (+ 0.5773, −0.5773)
1
2
(x1, y1 )
n=m=2
(x2 , y2 )
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Vector de términos independientes
1 1
f
(e)
=Q
( e)
∫∫ N
( e) T
( x, y) dx dy = Q
(e )
∫∫ N
( e) T
( s, t ) ds dt = Q
(e )
( e) T
N
∫ ∫ (ξ ,η ) ⋅ det[J ] dξ dη
−1 −1
f
( e)
=Q
(e )
n
m
∑∑W W
i
j
N (e )T (ξi ,η j ) ⋅ det J ( e) (ξ i ,η j )
(x3 , y3 )
i =1 j =1
η
(x4 , y4 )
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 1 4
3
n = m = 1 → f ( e ) = Q ( e) ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ N (e )T (0,0) ⋅ det J (e ) (0,0)
ξ
Matriz Jacobiano evaluada en el punto de Gauss
J ( e ) (0,0) = B ( e ) (0,0) x( e)
1 − 1 1
= 
4 − 1 − 1
1
1
x

− 1  x
1   x

 x
( e)
1
( e)
2
( e)
3
( e)
4
y 

y 
y 

y 
(e )
1
(e )
2
(e )
3
(e )
4
PG1 : (0.0,0.0)
1
(x1, y1 )
Matriz de funciones de forma evaluada en el punto de Gauss
1
N (e ) (0,0) = [1 1 1 1]
4
2
n=m=1
(x2 , y2 )
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de operadores diferenciales actuando funciones de forma
∂N (e ) (ξ ,η ) ∂x ∂N ( e) ( x, y) ∂y ∂N (e ) ( x, y )
=
⋅
+
⋅
∂ξ
∂ξ
∂x
∂ξ
∂y
∂N (e ) (ξ ,η ) ∂x ∂N ( e ) ( x, y ) ∂y ∂N (e ) ( x, y)
=
⋅
+
⋅
∂η
∂η
∂x
∂η
∂y
∂ ξ N ((ξe ),η )  ∂ξ x ∂ξ y  ∂ x N (( ex), y ) 
( e)
( e)
(e )
=
=
∇
N
(
,
)
=
J
(
,
)
∇
N
( x, y )
ξ
η
ξ
η






(e )
(e )
∂
x
∂
y
∂η N (ξ ,η )   η
η  
∂ y N ( x, y ) 
T
T
∂
∂
∂
∂ 
∇=
,
∇
=

 ∂ξ ∂η 
 ∂x ∂y 


B ( e) (ξ ,η ) = J (e ) (ξ ,η ) B (e ) ( x, y ) → B (e ) ( x, y ) = J ( e )−1 (ξ ,η ) B (e ) (ξ ,η )
B ( e)
∂ 
 ∂ξ  ( e)
(e )
= ∇ N (ξ ,η ) =   N1
∂ 
 ∂η 
[
N 2(e )
N 3( e)
N 4(e )
]
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
1 1
K
(e )
D
= ∫∫ B
( e )T
( x, y) D B ( x, y ) dx dy = ∫ ∫ B (e )T (ξ ,η ) D (e )B ( e) (ξ ,η ) ⋅ det J (e ) (ξ ,η ) dξ dη
( e)
(e )
−1 −1
K
(e )
D
n
m
= ∑∑Wi W j B ( e)T (ξi ,η j ) D(e ) B (e ) (ξi ,η j ) ⋅ det J ( e) (ξ i ,η j )
i =1 j =1
K
(e )
D
n
m
= ∑∑Wi W j B ( e )T (ξ i ,η j ) J (e )−T (ξi ,η j ) D(e ) J (e )−1 (ξi ,η j ) B (e ) (ξi ,η j ) ⋅ det J (e ) (ξi ,η j )
i =1 j =1
siendo
B ( e) (ξ i ,η j ) =
1 − (1 −η j )

4  − (1 − ξi )
J ( e ) (ξi ,η j ) = B (e ) (ξi ,η j ) x( e)
(1 − η j )
(1 + η j )
− (1 + ξi )
(1 + ξi )
− (1 + η j )
, x (e )

(1 − ξ i ) 
 x1(e )
 (e )
x
=  2(e )
 x3
 (e )
 x4
y1( e) 

y2( e) 
y3( e) 

y4( e) 
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 2
n=m=2
K
(e )
D
PG (k
(k)
ξ
η
W
1
-0.577350
-0.577350
1.0
2
-0.577350
0.577350
1.0
3
0.577350
-0.577350
1.0
4
0.577350
0.577350
1.0
4
= ∑ B (e )T (ξ k ,ηk ) J ( e )−T (ξ k ,η k ) D( e) J ( e) −1 (ξ k ,η k ) B (e ) (ξ k ,ηk ) ⋅ det J ( e ) (ξ k ,η k )
k =1
siendo
1 − (1 −η k ) (1 − η k )
B (ξ k ,η k ) = 
4  − (1 − ξ k ) − (1 + ξ k )
( e)
(1 + η k )
(1 + ξ k )
− (1 + η k )
, x (e )

(1 − ξ k ) 
 x1(e )
 (e )
x
=  2(e )
 x3
 (e )
 x4
y1( e) 

y2( e) 
y3( e) 

y4( e) 
J ( e ) (ξ k ,η k ) = B (e ) (ξ k ,ηk ) x (e )
Elementos finitos de campo bidimensional. Cuadrilateral Lineal
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
B ( e) (ξ k ,ηk )
(ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, -0.577350)
(ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, 0.577350)
(ξ,η)=(0.577350,
(ξ,η)=(0.577350, -0.577350)
(ξ,η)=(0.577350,
(ξ,η)=(0.577350, 0.577350)
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
1 1
K
(e )
G
= ∫∫ G N
(e )
(e )T
( x, y )N ( x, y) dx dy = ∫ ∫ G ( e) N (e )T (ξ ,η ) N (e ) (ξ ,η ) ⋅ det J (e ) (ξ ,η ) dξ dη
( e)
−1 −1
K
(e )
G
n
m
= ∑∑ Wi W j G (e ) N ( e)T (ξi ,η j ) N ( e) (ξ i ,η j ) ⋅ det J (e ) (ξi ,η j )
i =1 j =1
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 2
n=m=2
K
(e )
G
punto
ξ
η
W
1
-0.577350
-0.577350
1.0
2
-0.577350
0.577350
1.0
3
0.577350
-0.577350
1.0
4
0.577350
0.577350
1.0
4
= ∑ G (e ) N ( e )T (ξ k ,η k ) N (e ) (ξ k ,ηk ) ⋅ det J ( e) (ξk ,η k )
k =1
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
Matriz de funciones de forma
1
N (e ) (ξ k ,ηk ) = [(1 − ξ k )(1 − ηk ) (1 + ξ k )(1 − ηk ) (1 + ξ k )(1 + η k ) (1 − ξ k )(1 + ηk )]
4
Matriz de operadores diferenciales en coordenadas naturales actuando sobre
funciones de forma
1 − (1 − ηk ) (1 − ηk )
B (ξ k ,η k ) = 
4  − (1 − ξ k ) − (1 + ξ k )
( e)
Matriz de coordenadas de los nudos
x( e)
 x1(e )
 (e )
x
=  2(e )
 x3
 (e )
 x4
y1(e ) 

y2(e ) 
y3(e ) 

y4(e ) 
(1 + ηk )
(1 + ξ k )
− (1 + ηk )
(1 − ξ k ) 
Matriz Jacobiano
J ( e ) (ξ k ,η k ) = B (e ) (ξ k ,ηk ) x( e )
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
N (e )T (ξ k ,ηk ) N (e ) (ξ k ,ηk )
1
(ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, -0.577350)
2
(ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, 0.577350)
0.386894 0.103668 0.027778 0.103668
0.027778 0.007443 0.027778 0.103668
0.103668 0.027778 0.007443 0.027778
0.007443 0.001994 0.007443 0.027778
0.027778 0.007443 0.001994 0.007443
0.027778 0.007443 0.027778 0.103668
0.103668 0.027778 0.007443 0.027778
0.103668 0.027778 0.103668 0.386894
3
(ξ,η)=(0.577350,
(ξ,η)=(0.577350, -0.577350)
4
(ξ,η)=(0.577350,
(ξ,η)=(0.577350, 0.577350)
0.027778 0.103668 0.027778 0.007443
0.001994 0.007443 0.027778 0.007443
0.103668 0.386894 0.103668 0.027778
0.007443 0.027778 0.103668 0.027778
0.027778 0.103668 0.027778 0.007443
0.027778 0.103668 0.386894 0.103668
0.007443 0.027778 0.007443 0.001994
0.007443 0.027778 0.103668 0.027778