Equilibrio General En cursos anteriores se ha estudiado el equilibrio

Equilibrio General
En cursos anteriores se ha estudiado el equilibrio en un mercado con un único bien.
En este caso, la demanda y la oferta del bien dependen exclusivamente de su precio.
(equilibrio parcial)
Sin embargo, la demanda y la oferta de un bien generalmente son afectadas por los
precios de otros bienes.
Esto requiere de un análisis de equilibrio general.
Para hacerlo, nos concentraremos en mercados competitivos (El análisis de los nocompetitivos es más complejo)
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I.
Equilibrio General: Economía de Intercambio
Empezamos el análisis con un modelo simple en el cual no existen posibilidades de
producción. Lo llamamos Economía de Intercambio.
Supuestos
Dos consumidores: A y B (tomadores de precios)
Dos bienes ( L  2 ): l  1,2
Vector de consumo de A: X A   x1 A , x 2 A 
Vector de consumo de B: X B   x1B , x 2 B 
1A ,  2 A 
Dotación inicial de B: 1B ,  2 B 
Dotación inicial de A:
Las preferencias de los consumidores  son racionales y continuas.
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Una asignación es factible para la economía si:
xlA  xlB  lA  lB ,
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l  1,2
Herramienta de análisis
El análisis de esta economía puede hacerse fácilmente usando la Caja de Edgeworth
(CE).
[Ver Gráfica 1]
Los puntos de esta caja representan todas las asignaciones factibles en la economía.
En particular, llamaremos  al punto que representa la dotación inicial de cada
consumidor.
En este espacio también se puede representar las preferencias de cada consumidor.
Concentrémonos en la dotación inicial  : Tanto A como B pueden asegurarse el
consumo de sus dotaciones iniciales. Así, en el punto  se cruzan las curvas de
indiferencia de A y B.
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Las canastas en el área que está por encima de la curvas de indiferencia de A (B) que
pasa por  representan una mayor utilidad para A (B) con respeto a su dotación inicial.
¿Existe algún conjunto de cestas que mediante el intercambio permita una mejora en la
utilidad de A y B?
Sí, el conjunto x A A   x B B .
Así, se espera que los consumidores comercien hasta alcanzar un consumo más
ventajoso en este conjunto: El equilibrio.
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El Comercio
Suponga que hay un subastador que asigna unos precios de mercado p1 , p2  y los
ofrece a los consumidores A y B.
Estos precios también se pueden representar en la CE mediante una línea que pasa por
el punto  con pendiente  p1 p 2 .
[Ver Gráfica 2]
Ahora miremos cuál sería la demanda óptima de cada consumidor a estos precios.
Observe que a estos precios la oferta no es igual a la demanda en ninguno de los dos
mercados: Exceso de demanda del bien 2, exceso de oferta en el bien 1
Entonces, p1 , p2  no son precios de equilibrio.
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¿Qué debería hacer el subastador para obtener un equilibrio? Debería subir el precio
del bien 2 y bajar el del bien 1  p1 p2 cae.
¿Hasta donde? Hasta donde los excesos de demanda sean cero!
[Ver Gráfica 3]
Con preferencias estrictamente convexas, en el punto de equilibrio:
(i)
Cada curva de indiferencia es tangente a la línea presupuestal;
(ii)
Las curvas de indiferencia son tangentes entre sí en el mismo punto.
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Formalización del equilibrio
Definición 1: En una economía de intercambio con consumidores con preferencias
racionales y continuas, p *  0 es un equilibrio walrasiano si:
  

 
zl  p   i xli p *  li  i xli p *  l  0 , l
i=individuos, l=bienes
A zl  p  la llamamos función de exceso de demanda del bien l.
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En nuestro ejemplo de 2 bienes y 2 consumidores, en equilibrio:


 x1B p1* , p 2*


 1 A  1B


 x2 B p1* , p 2*


 2 A  2 B
x1 A p1* , p2*
x2 A p1* , p2*
Es directo que esto se cumple si y solo si:




 1 A    x1B p1* , p 2*
 




  2 A    x2 B p1* , p2*
 
z1 p1* , p2*   x1 A p1* , p 2*

z 2 p1* , p2*   x2 A p1* , p 2*

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

 1B   0



 2 B   0

Proposición 1: Supongamos que las preferencias son racionales, continuas,
estrictamente convexas y estrictamente monótonas (o localmente no saciables).
Entonces, la función de exceso de demanda zl  p  satisface las siguientes propiedades:
i. zl  p  es continua.
ii. zl  p  es homogénea de grado cero.
iii. Ley de Walras:
l 1 pl zl .  p  z .  0 para todo
L
Demostración: (ver tablero)
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p.
La ley de Walras tiene una implicación muy importante en términos técnicos:
Si existen L mercados y los mercados de l  1,..., L  1 están en equilibrio,
entonces el mercado del bien L también está en equilibrio (ver tablero).
Así, para encontrar el equilibrio en un mercado de L bienes solo debemos encontrar
los precios de equilibrio en L  1 mercados.
¿Cómo hallar L precios con L  1 ecuaciones? Usualmente tomamos algún bien l
Como numerario pl  1 (posible dada la HD0).
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Existencia del Equilibrio
¿Cómo sabemos que hay un vector de precios tal que la oferta y la demanda se igualan
en todos los mercados?
Responder a esta pregunta es importante porque esto le da coherencia a la teoría
económica.
Proposición 2: Un equilibrio walrasiano existe en cualquier economía de intercambio
en la cual los consumidores tienen preferencias continuas, estrictamente convexas y
estrictamente monótonas (o localmente no saciables) –En otras palabras, si las
propiedades de la proposición 2 se cumplen.
Demostración:
* La hacemos para L  2 (ver tablero).
* Existe una demostración más general para L bienes usando el
Teorema del Punto Fijo.
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Unicidad
Garantizada la existencia de un vector de precios de equilibrio ¿Es este único?
La unicidad se garantiza solo bajo ciertas condiciones. En el taller 2 se desarrollan dos
ejercicios al respecto.
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Propiedades de Bienestar del equilibrio walrasiano.
Necesitamos un criterio de eficiencia: Usamos el de Pareto.
Definición 2: Una asignación es Pareto eficiente si no es posible mejorar el bienestar
de una (algunas) persona sin empeorar el bienestar de otra(s).
[Ver Gráfica 4]
Gráficamente esto implica que las curvas de indiferencia deben ser tangentes en la CE.
Así, el conjunto Pareto eficiente no es unitario (Curva de contrato)
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Primer Teorema de la Economía del Bienestar:
Cualquier asignación de equilibrio walrasiano pertenece al conjunto de asignaciones
Pareto eficiente.
Demostración: (ver tablero)
Importante: Este teorema no dice nada sobre la distribución final del mercado. El
equilibrio de mercado puede ser una asignación “injusta”.
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Nota técnica:
¿Cómo encontrar las asignaciones eficientes?
u A  x1 A , x2 A 
Max
x1 A , x2 A , x1B , x2 B
s.t.
u B  x1B , x2 B   u
x1 A  x1B  1
x2 A  x2 B   2
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Segundo Teorema de la Economía del Bienestar:
Suponiendo convexidad en las preferencias, un planeador social puede obtener
cualquier asignación Pareto óptima deseada redistribuyendo adecuadamente las
dotaciones iniciales y permitiendo al mercado hacer su trabajo.
Demostración (intuición):
[Ver Gráfica 5]
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