parcial 1 - Jos Luis Quintero D vila

Escuela de Ingeniería de Telecomunicaciones
Nombre y Apellido: ____________________________________________
C.I.: ___________
Primer Parcial de Probabilidades
PRIMERA PARTE: INSTRUCCIONES. A continuación se dan una serie de proposiciones. Encierre en un
círculo la letra “V” o la letra “F” según considere que la proposición sea verdadera o falsa.
OBSERVACIÓN. Cada respuesta correcta tiene un valor de 0.5 puntos y cada respuesta
incorrecta tiene un valor de -0.25 puntos. Puntuación total máxima: 4 puntos.
1. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la probabilidad del evento vacío es igual
V
F
a cero
2. Si dos eventos no vacíos son independientes, entonces la probabilidad de la unión de ellos es
V
F
V
V
F
F
5. Todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables
V
F
6. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realiza un muestreo de tamaño tres
V
F
7. Si se pretende colocar una pelota en cada una de n cajas y se dispone inicialmente de n
V
F
pelotas, el número de formas como se puede hacer esto se conoce como permutaciones de n
elementos
8. PRn,2 = Vn,r
V
F
la suma de sus probabilidades
3. El número de elementos de un conjunto determina su cardinalidad
4. Si A y B son eventos independientes no vacíos, con probabilidades P(A) y P(B)
respectivamente, entonces los eventos complementarios A y B también lo son
con reposición. La probabilidad de obtener tres pelotas blancas es X3 / (X + Y)3
SEGUNDA PARTE: INSTRUCCIONES. En cada caso, encierre en un círculo la letra que corresponda a la
respuesta correcta. OBSERVACIÓN. Cada respuesta correcta tiene un valor de 1 punto y cada
respuesta incorrecta tiene un valor de -0.5 puntos. Puntuación total máxima: 4 puntos.
1. Se lanza un par de dados honestos. La probabilidad de que la suma de los dos números obtenidos
sea mayor o igual a 10 es equivalente a
a. 1/12
b. 1/6
c. 5/36
d. 5/6
2. Se tiene un cuadrado de lado L y dentro de él un círculo de radio R (2R<L). Se lanza un dardo. Si el
dardo cae en la zona circular se obtiene un premio. La probabilidad de no obtener el premio
corresponde a
a. (R L π )2
b. 1 − ( πLR )2
c. 1 −
2 πR
L2
d.
(L-R π)(L+R π)
L2
3. Sea el experimento aleatorio de seleccionar al azar un número de tres cifras comprendido entre 200
y 299, incluyendo a ambos. La probabilidad de que el número escogido tenga al menos un uno
equivale a
a. 0
b. 0.19
c. 0.81
d. 1
4. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga cara. La probabilidad
de ganar en el k-ésimo intento viene dada como
Código: ITEL-30205
Fecha de aplicación: Lunes 26/10/15
Aula: L1213
Hora: 5:00 pm
Escuela de Ingeniería de Telecomunicaciones
)k
a. ( 1
2
b. ( 12 )k −1
c. (12 )k +1
d. ( 12 )2k
TERCERA PARTE: INSTRUCCIONES. Responda de forma coherente y concisa a cada planteamiento
realizado a continuación. OBSERVACIÓN. Cada respuesta indicada tendrá una valoración máxima
de 4 puntos. Puntuación total máxima: 12 puntos.
1. (4 puntos). De los eventos A, B, C y D se tiene la siguiente información:
• A y B son independientes, B y C son independientes y A y C son independientes
• De A, B y C pueden ocurrir a lo sumo 2 de ellos
• A ∪ B ∪ C y D son mutuamente excluyentes
• A, B y C ocurren cada uno con una probabilidad p, 2p y 3p respectivamente (0 < p < 1)
• El evento D tiene una probabilidad de ocurrencia igual a w
a. (3 puntos). Halle el valor de p para el cual la probabilidad de que ocurra al menos uno de los
cuatro eventos anteriores sea máxima
Solución.
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
= p + 2p + 3p − 2p2 − 3p2 − 6p2 + 0 = 6p − 11p2
Por lo tanto
P(A ∪ B ∪ C ∪ D) = P(A ∪ B ∪ C) + P(D) = 6p − 11p2 + w
Para que la probabilidad anterior sea máxima se tiene que
P(A ∪ B ∪ C ∪ D) = f(p) = 6p − 11p2 + w ⇒ f '(p) = 6 − 22p ⇒ f ''(p) = −22
f '(p) = 6 − 22p = 0 ⇒ p =
Lo que implica que si p =
3
,
11
6
22
=
3
11
3
⇒ f ''(11
) = −22 < 0
entonces P(A ∪ B ∪ C ∪ D) es máxima y su valor es
9
11
+w
b. (1 punto). Halle el valor de w para que los eventos A, B, C y D sean colectivamente exhaustivos.
Use el valor de p obtenido en el apartado anterior
Solución.
Para que A, B, C y D sean colectivamente exhaustivos, P(A ∪ B ∪ C ∪ D) =
9
11
+ w = 1 . En tal sentido,
w debe ser igual a 2/11 para que A, B, C y D sean colectivamente exhaustivos.
2. (4 puntos). Cuatro personas se suben en un ascensor en el piso 0 de un edificio de ocho plantas
(0,1,2,…,7,8). Cada persona selecciona el piso en donde se bajará, entre el 1 y el 8. Nadie más se
subirá. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos:
a. (2 puntos). Todas las personas se bajan antes del cuarto piso
Solución.
Experimento aleatorio: Elegir al azar cada piso donde debe bajarse cada una de las 4 personas
Propósito: Determinar el número del piso donde se bajará cada persona
Espacio muestral: Todos las formas en que se pueden bajar las cuatro personas
Evento de interés: A: Todas las personas se bajan antes del cuarto piso
NS : Número de formas distintas en las que se pueden bajar las cuatro personas
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Se tiene que NS = VR 8,4 = (8)4 y NA = VR3,4 = (3)4 . Por lo tanto
Código: ITEL-30205
Fecha de aplicación: Lunes 26/10/15
Aula: L1213
Hora: 5:00 pm
Escuela de Ingeniería de Telecomunicaciones
P(A) =
NA
(3)4  3 
=
=
NS (8)4  8 
4
b. (2 puntos). En los pisos uno, seis y siete no se baja nadie
Solución.
Evento de interés: B: En los pisos uno, seis y siete no se baja nadie
NS : Número de formas distintas en las que se pueden bajar las cuatro personas
NB : Número de formas distintas en las que se produce el evento B
Se tiene que
NS = VR8,4 = (8)4 y NB = VR5,4 = (5)4
Por lo tanto
P(B) =
NB (5)4  5 
=
= 
NS (8)4  8 
4
3. (4 puntos). Se tienen dos cajas numeradas 1 y 2. La caja 1 contiene 7 pelotas rojas y 5 pelotas
amarillas mientras que la caja 2 contiene 10 pelotas rojas y 6 pelotas amarillas. Se lanza un dado
normal y se obtiene como resultado un valor N, con N entre uno y seis. Si N es menor que 5 se
extraen 2 pelotas sin reposición de la caja 1, en caso contrario se extraen 2 pelotas sin reposición de
la caja 2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo sumo 1 pelota roja?
Solución.
Sean los eventos
N5 − : El resultado obtenido en el dado es menor que 5
N5 + : El resultado obtenido en el dado es mayor o igual que 5
R i : Se extrae una pelota roja en el i-ésimo intento , i = 1,2
A i : Se extrae una pelota amarilla en el i-ésimo intento , i = 1,2
R: Se obtiene a lo sumo una pelota roja
R : Se obtiene dos pelotas rojas
De modo que
P(R) = 1 − P(R) = 1 − P(N5 − ∩ R1 ∩ R 2 ) − P(N5 + ∩ R1 ∩ R 2 )
= 1 − P(N5 − ).P(R1 / N5 − ).P(R 2 / (N5 − ∩ R1 )) − P(N5 + ).P(R1 / N5 + ).P(R 2 / (N5 + ∩ R1 ))
=1−
4 7 6
2 10 9
267 525 175
.
.
− .
.
=1−
=
=
6 12 11 6 16 15
792 792 264
Código: ITEL-30205
Fecha de aplicación: Lunes 26/10/15
Aula: L1213
Hora: 5:00 pm