FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA
Prof. Evelyn Dávila
Proyecto MSP21- FASE II
Academia Sabatina
f ( x)
ax 2
bx

c
La forma general de una función cuadrática
es; f ( x) ax 2 bx c , donde a,b y c son
números reales.
Ejemplos

f ( x)
4x 2
12 x
9
a= 4, b= 12 , c= 9

f ( x)
2x 2
5x 3
a= 2, b= 5 , c= -3

f ( x)
x2
25
a= 1, b= 0 , c= 25

La gráfica de una función cuadrática es
una parábola; ésta representa el
conjunto solución de la función.

La función cuadrática básica es
f ( x)
x2
.

Su gráfica es la siguiente
x
y
2
4
1
1
0
0
-1
1
-2
4
CARACTERÍSTICAS GRÁFICAS DE UNA
FUNCIÓN CUADRÁTICA

Dada en la forma estándar
f ( x)

ax
2
bx
c
Dominio - los números reales
Concavidad
El valor de a nos indica el tipo de
concavidad de la parábola:
Si a>0 . es cóncava hacia arriba
 Si a<0,
es cóncava hacia abajo

a>0
a<0
Vértice
El vértice es el punto mínimo en una
parábola cóncava hacia arriba y es el punto
máximo en una parábola cóncava hacia
abajo.

La coordenada de el vértice es dada por :
x
b
2a
y
b
f( )
2a
Vértice
Punto mínimo
Simetría

La parábola es simétrica con respecto a
la línea vertical que pasa por su vértice y
cuya ecuación es dada por
x
.
b
2a
Interceptos en x
 La
parábola puede tener hasta
un máximo de dos interceptos
en x.
En general podemos encontrar uno de los siguientes
casos:



Tiene dos interceptos en x: la
parábola es cóncava hacia arriba
y su vértice se encuentra bajo el
eje de x ó es cóncava hacia abajo
y su vértice se encuentra sobre el
eje de x.
Tiene un intercepto en x; el
vértice se encuentra sobre el eje
de x.
No tiene intercepto en x: esta
parábola no intercepta el eje de x
y se encuentra en el primer y
segundo cuadrante ó se encuentra
en el tercer y cuarto cuadrante.
Procedimiento para hallar el(los) interceptos
en el eje de x
1.
2.
Igualar la función a cero y hallar las raíces
mediante el método de factorización o la
fórmula cuadrática.
En esos valores ocurren los interceptos.
Fórmula cuadrática
x
b
b2
2a
4 ac
Intercepto en y

La parábola tiene un intercepto en y y la
coordenada de ese punto es (0,c).
Para
,
f ( x)
f (0)
ax 2
c
;
bx
c
EJEMPLO 1
2x 2
f ( x)
Parámetros
a = 2,
DOMINIO
b = 5, c = -3
Números Reales
Concavidad
Vertice
5x 3
a=2
Cóncava hacia arriba
( -1.25, -1.31 )
x
y
b
2a
b
f( )
2a
x
Punto mínimo
5
2 2
5
4
f ( 1.25)
1.25
2( 1.25) 2
3.125 6.25 3
6.125
5( 1.25) 3
EJEMPLO 1
f ( x)
(continuación)
2x 2
Eje de simetría
5x 3
x = -1.25
Interceptos en el eje de x
5
x
x
b
b2
2a
5
x
52
4 ( 2 )( 3)
2( 2)
4 ac
x
( 0.5 , 0 ) y ( -3 , 0 )
25 24
4
5 7
2 1
4
4
2
5 7
12
4
4
5
49
4
3
5 7
4
EJEMPLO 1
f ( x)
Interceptos en el eje de y
GRAFICA
(continuación)
2x 2
5x 3
(0 , -3 )
EJEMPLO 2
x2
f ( x)
Parámetros
4
a = -1 , b = 0, c = 4
Dominio Números reales
Concavidad
Vértice
x
a = -1
( 0, 4 )
b
2a
0
2
Cóncava hacia abajo
Punto máximo
y
0
y
b
)
2a
f (0) 4
f(
EJEMPLO 2
(continuación)
f ( x)
x2
4
Interceptos en x
f(x) =
x2 4 0
0
Esta ecuación cuadrática se puede resolver mediante uno de los
siguientes métodos: despejar utilizando radicales o la formula
cuadrática.
Fórmula cuadrática
x
b
b2
2a
4 ac
x
x
x
0
02
4( 1)( 4)
2( 1)
4
2
4
2
2
2
Interceptos en x ( -2, 0 ) y ( 2, 0 )
16
2
4
2
EJEMPLO 2
(continuación)
f ( x)
x2
4
EJEMPLO 3
3x 2
f ( x)
Parámetros
7x 6
a = 3 , b = 7, c = - 6
Dominio Números reales
Concavidad
Vértice
a=3
Cóncava hacia arriba
( -1.17, -10.1 )
Punto mínimo
y
x
b
2a
7
2(3)
7
6
1.17
y
b
)
2a
f ( 1.17 )
f(
3( 1.17 ) 2
4.11 8.19 6
10 .1
7 ( 1.17 ) 6
EJEMPLO 3
(continuación)
f ( x)
Eje de simetría
3x 2
x = 1.17
Interceptos en el eje de x
x
b
b2
2a
7x 6
( 0.67 , 0 ) y ( - 3 , 0 )
7
x
72
2 (3)
4 ac
7
x
x
4 (3)( 6 )
49
6
7 11
6
7 11
6
72
7
121
6
4
6
2
3
18
6
.67
3
7 11
6
EJEMPLO 3
(continuación)
f ( x)
3x 2
7x 6
Práctica
g ( x)
Parámetros
Dominio
Concavidad
Vértice
Simetria
Intercepto(s) en x
Intercepto en y
GRAFICA
4x 2
12 x
9
Práctica
g ( x)
Parámetros
4x 2
12 x
9
a = 4 , b = 12, c = 9
Dominio Números reales
Concavidad a = 4
Cóncava hacia arriba
Vértice
( -1.5,-14.9 )
Punto mínimo
x
12
2( 4)
12
8
3
2
g ( 1 .5)
1 .5
9 14 .9
4 ( 1 .5) 2
9
( 1.5, 14 .9)
12 ( 1.24 )
14 .9
9
Práctica – continuación
g ( x)
4x 2
12 x
9
Aplicaciones
Caida libre de un objeto

El modelo matemático para describir la posición de
un objeto en caída libre es dado por
s (t )
1 2
at
2
v0 t
s0
Donde a , es la constante de aceleración debido a
la gravedad, v
velocidad inicial y s 0 la
0
posición inicial.
La constante de aceleracion es dada por g 32
pies
seg 2
o
g
9 .8
m
seg 2
Un objeto es lanzado hacia arriba desde
un edificio, a una altura de 100 pies a una
velocidad inicial de 5 millas por hora.
 ¿Cuál es la altura máxima alcanzada
por el objeto?
 ¿Cuánto tiempo le toma al objeto tocar
el piso?