Funciones Cuadráticas Dra: Carmen Ivelisse Santiago

Funciones Cuadráticas
Dra: Carmen Ivelisse Santiago
Definición de función
cuadrática
• Sea a, b y c números reales con a‡0.
La función de x dada por:
– f(x)= ax²+ bx + c
será llamada una función cuadrática.
La gráfica de una función
cuadrática
• La gráfica de una función cuadrática
tiene forma de U y se le llama
parábola.
Partes de una parábola
Interceptos
en x:
Vértice: (-3, -6)
Interceptos
en y: (0, 3)
Formas…
f(x) = x²
Punto mínimo
La gráfica es cóncava hacia arriba
f(x) = - x²
Punto máximo
La gráfica es cóncava hacia abajo
Alteraciones de las
funciones cuadráticas
f(x) = 8x²
f(x) = x²
f(x) = (1/12)x²
Cuando dividimos,
se abre la gráfica
Cuando
multiplicamos la
función, cierra la
gráfica
Movimientos de las gráficas
f(x) = (x + 6)²
Si sumamos dentro del
paréntesis, se mueve
hacia la izquierda
f(x) = (x - 4)²
Si restamos
dentro del
paréntesis, se
mueve hacia la
derecha
f(x) = (x + 6)² -4
Si restamos en
la función, se
mueve hacia
abajo
f(x) = (x - 4)² + 3
Si sumamos en la
función, se mueve
hacia arriba
Ejercicio
• ¿Cómo describirías la
función?:
f(x) = 2(x+2)²- 1
Respuesta:
Al multiplicarse por positivo 2, será más
estrecha y será cóncava hacia arriba, al
sumarse dos dentro del paréntesis, se mueve
dos veces hacia la izquierda y al restarle 1 a la
función, bajará una unidad.
La forma estándar de la
función cuadrática
• Una función cuadrática en la forma de
f(x) = ax²+ bx + c
• Se puede escribir en la forma
estándar:
f(x) = a(x-h)²+ k, donde (h,k)
representan el vértice de la
función.
¿Cómo convertir una función
cuadrática en su forma
estándar?
• Sea f(x) = 2x²+ 8x + 7
• Escríbela en su forma estándar
Pasos:
1. Escojamos los primeros dos
términos para completar el
cuadrado. f(x) = (2x² + 8x) + 7
3.
2.
4. Factorizamos y sumamos
f(x) = 2(x + 2)² + 7 - 8
Sacamos el dos como factor
común
f(x) = 2(x² + 4x) + 7
Completamos el cuadrado
f(x) = 2(x² + 4x + 4 – 4) + 7
5. Forma estándar f(x) = 2(x + 2)² -1
Repetición del ejercicio
• f(x) = 2x²+ 8x + 7
f(x) = (2x²+ 8x) + 7
f(x) = 2(x²+ 4x) + 7
función cuadrática
Escoges los primeros dos términos
para completar el cuadrado
Sacas el dos como factor
común
f(x) = 2(x²+ 4x + 4 – 4) + 7
f(x) = 2(x + 2)²+ 7 - 8
f(x) = 2(x + 2)²- 1
Completas el cuadrado
Factorizas y restas el número
añadido
Ya está en su forma estándar
Trata los siguientes
ejercicios
•
Escribe la siguiente función
cuadrática como una función
estándar:
1. f(x) = -(x – 3)²+ 1 (3, 1)
1. f(x) = -x² + 6x – 8
2. f(x) = x² - 8x + 16
2. f(x) = (x – 4)² (4, 0)
3. g(x) = 2x² + 16x + 11 3. f(x) = 2(x + 4)²- 21
Los interceptos de las
funciones cuadráticas
• Encontramos los interceptos en x
cuando la gráfica pasa por el eje de
de x.
• Para hallar los interceptos en x,
igualamos la función a cero.
• Ejemplo:
– Halla los interceptos de la siguiente
función: f(x)= x²-9x + 18
Solución
• f(x)= x²-9x + 18
1. Halla los interceptos
en Y (iguala la x=0)
2. Halla los interceptos
en x: (igualar la función
a cero) f(x) = 0
f(0)= 0²-9(0) + 18
x²-9x + 18 = 0
(0, 18)
Intercepto en y
Factorzas: (x-3)(x-6) = 0
X=3 ; x=6
(3, 0) y (6, 0)
Hallar el vértice
Recuerda completar el
cuadrado:
Así que el vértice es
el punto:
F(x) = x²-9x + 18
(x²-9x) + 18
(x²-9x + 20.25 – 20.25) + 18
(x – 4.5)²+ 18 – 20.25
(x – 4.5)²– 2.25
(4.5, -2.25)
Gráfica
Cuando tenemos los interceptos y el vértice, ya se
puede trazar la gráfica
f(x) = x²-9x + 18
Intercepto en y
(0, 18)
Interceptos en
x: (3,0) y (6,0)
Vértice: (4.5, -2.25)
Práctica
• Halla los interceptos y el vértice de
las siguientes funciones:
– 1.
– 2.
Y= 2x²+ 4x + 8
Y = -3x² + 6x - 2
Respuestas:
1.
Int. y (0, 8): No int. en
x y vértice en (-1, 1)
2. Int. en y (0,-2)
int. en x (.5, 0) y (1.5, 0)
vértice en (1,1)
Otra manera de obtener el vértice
de una función cuadrática
• Utiliza la fórmula:
x
Sea f(x) = x² - 9x + 18
a =1, b = -9
Sustituyes los valores en la
fórmula y luego evalúas la función
con el resultados de x
b
2a
Funciones pares e impares
•
Funciones pares:
•
Funciones impares
1. Si es simétrica con
el eje de y
1. Si es simétrica con
el origen.
2. Si f(-x) = f(x)
2. Si f(-x) = -f(x)
Determina si las siguientes
gráficas son pares, impares o
ninguna
impar
par
par
Prueba si las siguientes
funciones son pares, impares o
ninguna
• Para determinar si es par, sustituimos
el valor de x por –x y nos vuelve a dar
la función original es par y si es impar
nos dará el opuesto de la función:
– Ejemplo:
• F(x) = x5 + x
F(-x)= (-x)5 + (-x)
F(-x) = -x5 - x
F(-x)= -(x5 + x) por tanto es impar porque f(-x) = -f(x)
Práctica
• Determina si las siguientes funciones
son pares, impares o ninguna:
par
– 1. f(x) = x-2
– 2. f(x) = x²+ x ninguna
– 3. f(x) = x³+ x impar