Listado de Ejercicios de Optimización (Ju 08 de noviembre de 2007)

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA
DEPTO. DE AGROINDUSTRIAS
Juan Carlos Sandoval Avendaño
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN UNA VARIABLE REAL
"Ñ +Ñ Obtenga dos números cuya suma sea 5ß con 5 constanteß y tales que su producto sea
máximo. ,Ñ ¿Cuáles son los números si 5 œ "!! ?
#Ñ +Ñ Obtenga dos números cuya diferencia sea 5ß con 5 constanteß y tales que su
producto sea mínimo. ,Ñ ¿Cuáles son los números si 5 œ "!! ?
$Ñ +Ñ Obtenga dos números positivos cuyo producto sea 5ß con 5 constanteß y tales que
su suma sea mínima. ,Ñ ¿Cuáles son los números si 5 œ "!! ?
%Ñ Muestre que de todos los rectángulos de perímetro dado, el de mayor área es el
cuadrado.
&Ñ Muestre que de todos los rectángulos de área dada, el de menor perímetro es el
cuadrado.
'Ñ +Ñ Un agricultor quiere cercar un área de 5 Ò7# Ó en forma rectangular, y luego dividirlo
por la mitad con una malla paralela a uno de los lados del rectángulo. Ayude al agricultor
de modo que minimice el costo de la cerca. ,Ñ ¿Cuál es el costo mínimo si 5 œ %&(#!! ?
(Ñ +Ñ Un agricultor con 5 Ò7Ó de malla desea encerrar un área rectangular y luego dividirla
en cuatro corrales usando cortes de malla paralelos a uno de los lados del rectángulo.
¿Cuál es el área máxima asociada a los cuatro corrales?
,Ñ ¿Cuál el el área máxima si 5 œ $!! ?
)Ñ +Ñ Una caja con base cuadrada y sin tapa debe tener un volumen de 5 Ò-7$ Ó. Obtenga
las dimensiones de la caja de modo que se minimice la cantidad de material usado.
,Ñ ¿ Cuáles son las dimensiones de la caja si 5 œ $#!!! ?
*Ñ +Ñ Si contamos con 5 Ò-7# Ó de material para construir una caja con base cuadrada y sin
tapa, calcule las dimensiones de la caja de modo que el volumen de la caja sea el mayor
posible. ,Ñ ¿ Cuáles son las dimensiones si 5 œ "#!! ?
"!Ñ +Ñ Un contenedor de almacenamiento rectangular sin tapa tiene un volumen de 5
Ò7$ ÓÞ El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta $(&!! por
metro cuadradoß y el material para los lados cuesta $%&!! por metro cuadrado. Calcule el
costo total mínimo asociado a la construcción del contenedor.
,Ñ ¿Cuáles son las dimensiones del contenedor de modo que el costo sea mínimo si
5 œ "!?
-Ñ ¿Cuáles son las dimensiones del contenedor si cuenta con tapa hecha con el mismo
material que se usó para los lados?. Suponga que 5 œ "!Þ
1
""Ñ +Ñ Calcule el punto en la recta C œ +B  ,ß con + y , constantes realesß que está más
cerca del origen. ,Ñ ¿Cuál es el punto si + œ # y , œ  $ ?
"#Ñ +Ñ Calcule el punto en la recta +B  ,C  - œ !ß con +ß , y - constantes realesß que
está más cerca del punto Ð"ß #Ñ
,Ñ ¿Cuál es el punto si + œ # ß , œ $ y - œ &?
"$Ñ +Ñ Calcule los puntos en la curva B#  C# œ % que están más cerca del punto Ð+ß ,Ñß
con + y , constantes reales.
,Ñ Responda +Ñ si + œ # y , œ !
"%Ñ +Ñ Calcule el punto en la curva B  C# œ ! que está más cerca del punto Ð+ß ,Ñß con +
y , constantes reales. ,Ñ Responda +Ñ si + œ ! y , œ  $
"&Ñ +Ñ Calcule las dimensiones del rectángulo de mayor área posible que puede ser
inscrito en un círculo de radio <ß con < constante real.
,Ñ ¿Cuáles son las dimensiones si < œ È# Ò7Ó?
"'Ñ +Ñ Calcule las dimensiones del rectángulo de mayor área posible que puede ser
inscrito en un triángulo equilátero de lado Pß si uno de los lados del rectángulo está
situado en la base del triángulo.
,Ñ ¿Cuáles son las dimensiones si P œ % Ò7Ó?
"(Ñ +Ñ Calcule las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área que puede ser
inscrito en un círculo de radio <ß con < constante real.
,Ñ ¿Cuáles son las dimensiones si < œ * Ò7Ó?
")Ñ +Ñ Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo en cuya parte superior hay
un semicírculo ÐAsí el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectánguloÑÞ Si el
perímetro de la ventana es 5 Ò7Óß calcule las dimensiones de la ventana de modo que pase
la mayor cantidad de luz posible.
,Ñ ¿Cuáles son las dimensiones si 5 œ * ?
"*Ñ +Ñ Se construye una lata cilíndrica sin tapa de modo que contenga Z Ò-7$ Ó de líquido.
Obtenga las dimensiones que minimizarán el costo del metal a usar para construir la lata.
,Ñ ¿Cuáles son las dimensiones si Z œ #&! ?
#!Ñ +Ñ Muestre que de todos los triángulos isósceles con perímetro dadoß el de mayor área
es el equilátero
,Ñ ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo isósceles si el perímetro es "!?
#"Ñ Muestre que la menor distancia desde el punto ÐB" ß C" Ñ a la recta +B  ,C  - œ ! es
k+B" ,C" - k
È+# , #
##Ñ +Ñ Calcule la menor área posible de un triángulo isósceles que está circunscrito
alrededor de un círculo de radio <Þ
,Ñ ¿Cuál es el área si < œ %?
2
#$Ñ +Ñ Obtenga el volumen del mayor cono circular que puede ser inscrito en una esfera
de radio <Þ
,Ñ ¿Cuál es el volumen si < œ %?
#%Ñ +Ñ Un tanque de almacenamiento metálico de volumen Z se construye con la forma
de un cilindro circular recto en cuya parte superior hay una semiesfera. ¿Qué dimensiones
requerirán la menor cantidad de material ?
,Ñ ¿Cuáles son las dimensiones si Z œ "!! Ò7$ Ó ?
#&Ñ +Ñ Calcule el área máxima de un rectángulo que puede ser circunscrito alrededor de
un rectángulo dado de largo P y ancho EÞ
,Ñ ¿ Cuál es el área máxima si P œ % Ò7Ó y E œ # Ò7Ó ?
#'Ñ +Ñ La estructura de un volantín se hace a partir de seis palillos. Los cuatro palillos
exteriores han sido cortados con las longitudes que se indican en la figura. Para
maximizar el área del volantín, de qué largo deberían ser las piezas diagonales.
,Ñ ¿Cuáles son las dimensiones de las piezas diagonales si + œ #! Ò-7Ó y , œ %! Ò-7Ó ?
#(Ñ Se debe construir una carretera entre dos ciudades G" y G# ß las cuales están ubicadas
en lados opuestos con respecto a un río de ancho uniforme <. Se debe construir además un
puente que permita cruzar el río. G" está a ww ." ww kilómetros del ríoß y G# está a ww .# ww
kilómetros del río, con ." Ÿ .# Þ El largo del río desde G" hasta G# es : Ò57ÓÞ ¿Dónde
debería estar localizado el puente de modo que la distancia total entre las dos ciudades
sea la menor.?. Suponga que es posible construir un camino recto desde G" al puente y
desde G# al puente.
3
#)Ñ +Ñ A medianocheß un barco E está a . Ò57Ó al norte de otro barco F . El navío E
navega hacia el sur a #! 57Î2 y el F navega hacia el oeste a "! 57Î2Þ ¿A qué hora será
mínima la distancia entre las embarcaciones?.
,Ñ ¿A qué hora será mínima la distancia entre las embarcaciones si . œ %!?.
#*Ñ +Ñ De todos los triángulos que pasan por el punto Ð+ß +Ñß con + constante real distinta
de ceroß y que tienen dos lados en los ejes coordenados, uno tiene área mínima.
Determine la longitud de sus lados.
,Ñ ¿Cuál es la longitud de los lados si + œ "?
$!Ñ +Ñ Suponga que una ventana tiene la forma de un rectángulo con un triángulo
equilátero en su parte superior. Encuentre las dimensiones que permiten el ingreso de
mayor cantidad de luz, si se sabe que el perímetro de la ventana es de : Ò7ÓÞ
,Ñ ¿Cuáles son las dimensiones si : œ $Þ( ?
$"Ñ +Ñ Se inscribe un rectángulo en un semicírculo de radio <ß con un lado en el diámetro
del semicírculo. Encuentre el área máxima del rectángulo.
,Ñ ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo si < œ # Ò7Ó ?
4