Transferencia de Masa 2012-08-28-7ª

Transferencia de Masa
2012-08-28-7ª
Transferencia de Masa
Temas a tratar:
# Sistemas diferenciales
1.- Transporte por difusión, esfera;
2.- Transporte por convección, esfera;
3.- Difusión con reacción química homogénea (BSL 18-4)
1.- Ejemplo: flujo difusional isotérmico
Sea una partícula esférica (radio r1) compuesta de varios
materiales, uno de los cuales A es volátil. Dicha partícula esta
rodeada una capa de un material B, de espesor finito (δ=r2 – r1), en
la cual A puede transportarse (A= perfume ; B = aire).
Se requiere obtener el modelo matemático de:
(a) El perfil de la concentración de A en la película estacionaria;
(b) El flux de A en las partes interna y externa de la película;
(c) El flujo de A en las partes interna y externa de la película.
Para simplificar el caso, se supone que:
1) la película de B esta quieta… luego se revisarán otros casos;
2) solamente se transporta A y lo hace por difusión;
3) se conoce la concentración de A (CA) en dos posiciones (CA1 y
CA2 en r1 y r2, respectivamente);
4) el sistema esta en condiciones de estado estacionario.
1) Esquema y sistema coordenado
Coordenadas esféricas
r1
r2
2) Preguntas
(a) Perfil de la concentración de A en la película estacionaria;
(b) Flux de A en las partes interna y externa de la película;
(c) Flujo de A en las partes interna y externa de la película.
  ... en: r
a) C A  C A r
b)  J A r ...  J A r
1
2
c) QA  r ... QA  r
1
2
2
 r  r1
3) Modelo
d
3.1) Estado estacionario
 0
dt
3.2) Isotérmico: sólo balance de masa.
3.3) No hay reacción química: RA  0
3.4) No hay flujo convectivo : v  0


3.5) Simetría respecto a  y  
0 ;
0


3.6) DAB  constante ;   constante
Coordenadas esféricas (r,  ,  ):
C A
t
3.1
 C A
1 C A
1 C A 
  vr
 v
 v


r 
r sen   
 r
3.4
3.4
3.4
 1   2 C A 
C A 
 2C A 
1
 
1
DAB  2  r
 RA
 2
 sen 
 2
2
2 
  r sen   
 r r  r  r sen   
3.5
3.5
3.3
a) Para obtener el perfil CA(r) se debe resolver el balance de masa.
DAB d  2 dC A 
 r
 0 ... C A  C A  r 
2

r dr  dr 
Con las condiciones de frontera:
C A  C A1 @ r  r1
C A  C A2 @ r  r2
d  2 dC A 

r
0


dr  dr 
dC A
 r
 k1
dr
 dC A  k1
2
dr
r2
 CA  
Aplicando las condiciones límite, se evaluan k1 y k2
k
k1
C A1   1  k2
C A2    k2
r1
r2

 CA1  CA2 
k1 
r2 r1
 r1  r2 

 CA1  CA2  r2 r1
k2  C A1 
 r1  r2  r1
k1
 k2
r
k1
C  C A2 
 CA1  CA2  r2 r1
Como: C A    k2 ... k1   A1
r2 r1 ... k2  C A1 
r
 r1  r2 
 r1  r2  r1
Por lo tanto, el perfil CA(r) que se pide en la pregunta (a) queda:
  C A1  C A2  
1 1 
C A  C A1  
  r2 r1     ... (a)
 r r1 
  r1  r2  
(b) Las expresiones de flux de A (JA) en las partes interna (r=r1) y
externa (r=r2) de la película se obtienen aplicando la definición de flux,
tomando en cuenta que el transporte de A es únicamente por difusión y
que el coeficiente de difusividad DAB es constante (independiente de la
posición)
dC A
J A   DAB
r
dr r
dC A  C A1  C A2   r1r2 
Por (a):

dr
 r1  r2   r 2 

 CA1  CA2   r1r2 
J A  DAB
r
 r1  r2   r 2  r
(b) Por lo tanto, el flux de A en la parte interna (r=r1) del cascarón
esférico esta dado por:
 JA
r1
 CA1  CA2   r1r2 
 DAB
 r1  r2   r12 
(b) Y el flux de A en la parte externa (r=r2) del cascarón esférico es:
 JA
r2
 CA1  CA2   r1r2 
 DAB
 2 
r

r
 1 2   r2 
Como se ve, las expresiones de flux de A en las partes interna (r=r1) y
externa (r=r2) de la película son diferentes, aún cuando el sistema esta en
estado estacionario.
Esto se debe a que el área de sección transversal de flujo es diferente
para cada una de ellas.
(c) Para obtener las expresiones del flujo de A (QA) en las partes interna
(r=r1) y externa (r=r2) de la película, se considera que el flujo es igual al
producto del flux por el área de la sección transversal de flujo:
 A
QA  J A
r
Como:
 QA
 CA1  CA2   r1r2 
J A  DAB
r
 r1  r2   r 2 
r1
r
r
y el área de flujo es: Ar  4 r 2

 CA1  C A2   r1r2  2
 C A1  C A2 
  DAB
 r1r2 
 2   4 r1  4 DAB
 r1  r2   r1 
 r1  r2 

 QA
r2
 CA1  CA2 
 4 DAB
 r1r2 
 r1  r2 
El flujo de A en las partes interna (r=r1) y externa (r=r2) de la película
son iguales,, porque el área de sección transversal de flujo es diferente
para cada una de ellas, y el sistema esta en estado estacionario.
2.- Ejemplo: flujo isotérmico.
Sea el caso de una esfera porosa, que contiene en los poros un material
A; dicha esfera se encuentra en el seno de una atmósfera (ejemplo: aire
caliente) permite el transporte de A.
Se requiere:
i) Plantear (no resolver) el modelo que describe el transporte de A, en
términos de su concentración molar CA;
ii) El perfil de concentración de A cuando el transporte por difusión es
despreciable con respecto del transporte convectivo.
Para simplificar el análisis de este sistema, se considera además que:
1.- el componente A se transporta en la dirección radial;
2.- el componente A se transforma en el producto P en forma
irreversible, de acuerdo a una cinética de primer orden;
3.- el sistema está en condiciones isotérmicas y estado estacionario;
4.- que se conocen la concentración de A y la velocidad del fluido en la
superficie de la gota (CA=CAo y v=v0 en r=r0).
1) Esquema y sistema coordenado
Coordenadas esféricas
r0
r
2) Preguntas
i) Plantear (no resolver) el modelo que describe el transporte de A, en
términos de su concentración molar CA;
ii) Obtener el perfil de concentración de A cuando el transporte por
difusión es despreciable con respecto del transporte convectivo.
i) Balance molar de A cuando hay transporte difusivo y convectivo

ii) C A  C A r ... en: r2  r  r1 ... cuando domina el transporte convectivo
3) Modelo (restricciones)
d
3.1) Estado estacionario
 0
dt
3.2) Isotérmico: ... balances de masa y momentum
3.3) Flujo convectivo unidireccional, en r: vr  0; v  0; v  0


3.4) Simetría respecto de  y de :
 0 y  0


3.5) DAB y  son constantes (coeficientes difusionales)
3.6) Cinética de primer orden irreversible: RA  kCA
Simplificación del balance de masa; coordenadas esféricas (r,  ,  ):
C A
t
3.1
 C A
1 C A
1 C A 
  vr
 v
 v


r 
r sen   
 r
3.3 y 3.4
3.3 y 3.4
 1   2 C A 
C A 
 2C A 
1
 
1
DAB  2  r
 RA
 2
 sen 
 2
2
2 
  r sen   
 r r  r  r sen   
3.4
3.4
i) El modelo que describe el transporte de A, en términos de su
concentración molar CA, cuando puede haber transporte por convección y
difusión es el siguiente:
 1 d  2 dC A  
dC A
vr
 DAB  2  r
   kC A  0
dr
 r dr  dr  
r02
del balance de momentum: vr  2 v0
r
dC A
con: vr  v0 y C A  C Ao @ r  r0 y
0 @ r 
dr
ii) Para obtener el perfil de concentración de A cuando el transporte por
difusión es despreciable con respecto del transporte convectivo (DAB≈0),
se simplifica el modelo anterior (i) y se resuelve el modelo resultante:
r02
dC A
vr
 kC A ... vr  2 v0
dr
r
r02 dC A
 2 v0
 kC A
dr
r
con: vr  v0 y CA  CAo @ r  r0
r02 dC A
Como: 2 v0
 kC A
dr
r
con: vr  v0 y CA  CAo @ r  r0
CA
r
dC A
k
2


r
C CA r02v0 r dr
Ao
0
 C A  C Ao

 k r03 - r 3
exp 
2
3r

0 v0
 

es el perfil deseado (ii)
3. Ejemplo Difusión con reacción química homogénea (BSL 18-4)
Este ejercicio consiste en considerar que se tiene una película
estacionaria (espesor L… interfase), en cuyo seno una especie A se
transporta por difusión, y se transforma irreversiblemente en un
producto B con una rapidez de reacción que es de primer orden respecto
a la concentración molar de A (CA); la interfase esta soportada en la
superficie del sólido, pero A no reacciona en dicha superficie.
Suponiendo que el sistema se encuentra en condiciones isotérmicas y
en estado estacionario, y que la concentración molar de A en el fluido
que fluye (bulk) encima del sólido se mantiene constante (CA= CA0), se
quiere obtener las expresiones de:
1) El perfil de la composición que tiene la película estacionaria, en
términos de la fracción molar de A (XA);
2) El flux de A, también en términos de XA.
Plawsky, Figura 2.12a. Sistema coordenado: cartesiano
  2C A  2C A  2C A 
C A  C A
C A
C A 
  vx
 vy
 vz
 DAB 


 RA

2
2
2 
t 
x
y
z 
y
z 
 x
Esquema (BSL, Fig. 18.4-1)
Sistema coordenado: cartesiano
  2C A  2C A  2C A 
C A  C A
C A
C A 
  vx
 vy
 vz
 DAB 


 RA

2
2
2 
t 
x
y
z 
y
z 
 x
Modelo (restricciones)
d
1) Edo est:
 0
dt
2) Transporte unidireccional: z
3) Transporte por difusión únicamente
4) Reacción irreversible, de primer orden: r  kCA
5) Condición límite: CA  CA0 @ z  0
De acuerdo con las restricciones del caso, el balance de masa en la
pastilla queda:
  2C A  2C A  2C A 
C A  C A
C A
C A 
  vx
 vy
 vz
 DAB 


 RA

2
2
2 
t 
x
y
z 
y
z 
 x
 d 2C A 
 DAB 
 kC A
2 
 dz 
Con las condiciones límite siguientes:
C A  C A0 en z  0 ; C A  C finito
dC A
en z  L 
 0 en z  L
dz
d 2C A
Como: D
 kC A
2
dz
dC A
C A  C A0 en z  0 ;
 0 en z  L
dz
Considerando los términos adimensionales siguientes:
CA
z
f 
 C A  C A0 f ; Y 
 z  LY
C A0
L
DC A0 d 2 f

 kC A0 f
2
2
L dY
Con las condiciones límite:
f  1 en Y  0 ;
L2 k
Utilizando el módulo de Thiele:  
D
d2 f
2



f
2
dY
2
df
 0 en Y  1
dY
d2 f
2
Como:


f
2
dY
La solución es de la forma: f  C1 cosh Y   C2 senh  Y 
Aplicando la condición a la frontera:
 1  C1 cosh 0   C2 senh 0 
 C1  1
f  1 en Y  0
como: senh 0   0 y cos h 0   1
 f  cosh Y   C2 senh  Y 
La otra constante C2 se determina utilizando la otra condición límite:
df
 0 en Y  1
dY
df
como:
  sen h Y    C2 cos h  Y 
dY
sen h  
 0  sen h    C2 cos h   
 C2 
cos h   
 f  cosh Y  
sen h  
cos h   
senh  Y 
como: f  cosh Y  
 f 
sen h  
cos h   
senh  Y 
cos h    cosh Y   sen h   senh  Y 
cos h   
como: cos h     cos h   ; cos h Y   cos h  Y 
 f 
cos h   cosh  Y   sen h   senh  Y 
cos h  
como: cos h   cosh  Y   sen h   senh  Y   cos h   Y 
 f 
cos h   1  Y  
cos h  
CA
z
como: f 
; Y
C A0
L
 cos h  1  z L   
 C A  C A0 

cos h  


2
L
k
2
con:  
D
 cos h  1  z L   
como: C A  C A0 

cos h  


como: CA  CxA y CA0  CxA0 ; C es constante
 cos h  1  z L   
 x A  x A0 

cos h  


Debido a que el transporte de A es únicamente por difusión, la expresión
del flux se obtiene con:
N A   DAM
z
dC A
dx A
=  DAM C
dz z
dz
z
 cos h   1  z L   
x A0   
dx A d

x A0 
 
   senh  1  z L  
dz dz
cos h  
cos h    L 


NA
z 0
dx A
  DAM C
dz
0
   senh   DAM C A0
  DAM Cx A0   

 tanh  
L
 L  cos h  
Las expresiones del perfil de la composición (en términos de la
concentración y fracción molar) y el flux de A son:
 cos h  1  z L   
C A  C A0 

cos
h

 


 cos h  1  z L   
x A  x A0 

cos
h

 


NA
z 0
DAM C A0

 tanh  
L
Transferencia de Masa
Fin de 2012-08-28-7ª