Composición de Funciones.

Carrera: Profesorado en Física.
Materia: MATEMÁTICA
Titular: Dra. Godoy, Antonia E.
Adscripto: Prof. Skrypczuk, René
Composición de Funciones.
Existe otra forma de formar nuevas funciones a partir de las que ya se tienen, a esto se le da el nombre
de composición de funciones.
f: R  R / f (x) = 2 x + 1
g: R  R / g(x) = - 2 x + 3
y
Tenemos un valor específico en el dominio de f, x = 1. Entonces f (3) = -3. Ahora tomamos este valor
de imagen y la utilizamos como valor de dominio para g, con lo cual se produce: g (3) = -3. Esto se puede
condensar de la manera siguiente:
R
R
g (f (1))= g (3) = - 3
g
f
1
R
2
3
Fig 10
Si tomamos otro valor de x = - 1/2 tenemos:
g (f (- 1/2))= g (0) = 3
Esto se lee: “g de f de (-1/ 2 )”
Si se intercambian los papeles de las funciones f y g, tomando los mismos valores de x:
Aquí observamos que
para x = 1
f (g (1))= f (1) = 3
para x = - 1/2
f (g (- 1/2))= f (4) = 9
g (f (x))  f (g (x))
y
f (g (x))  g (f (x))
En general
g (f (x))  f (g (x))
Los conceptos anteriores para unos valores específicos de x se pueden expresar en función de cualquier
x aceptable. Así, al usar f (x) = 2 x + 1 y g(x) = - 2 x + 3 obtenemos:
g (f (x)) = g (2 x + 1) = -2 (2 x + 1) + 3 = - 4 x + 1
1
Nos referimos a esta nueva correspondencia entre el valor de x del dominio y el valor
(- 4 x + 1)
de la imagen como la función compuesta de g por f ( o la composición de g por f). Esta función compuesta se
denota por:
gof
Es decir:
Para las funciones dadas, f y g, formamos la función compuesta de g por f, cuyos valores de imagen (g
o f) (x) quedan definidas por:
(g o f) (x) = g (f (x)) = - 4 x + 1
Puede ser útil para recordar la construcción de las funciones compuestas observar el siguiente esquema:
f
g
x
f(x)
g (f (x)) = (g o f) (x)
El dominio de g o f consistirá en todos los valores x del dominio de f que cumplan con la condición de
que f(x) esté en el dominio de g.
Así, por ejemplo, si
f (x) =
f (x) =
1
x2
g (x) =
x
1
x2
tiene como dominio cada x  2, en tanto que el dominio de
consta de cada x  0, el dominio de (g o f) (x) =
fracción
y
(g o f) (x) = g (f (x)) =
tenemos que
Como
1
x2
g (x) =
x
1
contendrá a cada x  2 con la cual resulte positivo la
x2
1
; es decir todo x  2.
x2
En general podemos decir que:
Dadas las funciones f: A  B
y
g: B  C, la función compuesta de g por f,
denotada mediante g o f , es la función g o f: A  C definida por (g o f) (x) = g (f (x))

xA
2
Para recordarlo, graficamos:
B
A
C
g
f
Fig.11
gof
Ejemplo 16: Formar las funciones compuestas f o g y g o f y señale sus dominios, siendo
f (x) =
Solución:
1
x 1
y g (x) =
2
(f o g) (x) = f (g (x)) = f ( x ) =
1
 x
2
1
=
x
1
x 1
El dominio de f o g excluye a x  0, ya que cualquier x de esta clase no está en el dominio de g. Además,
excluye a x = 1, porque g (1) = 1, que no está en el dominio de f. Por lo tanto, el dominio de f o g es x  0 y
x  1. Por otra parte, g o f está dada por
1
 1 

(g o f) (x) = g (f (x)) = g 2  = 2
 x  1
x 1
1
x2  1
El dominio de g o f excluye a x =  1, porque estos valores no se hallan en el dominio de f. Además,
excluye al intervalo -1  x  1, pues los valores negativos de f (x) no están en el dominio de g. En consecuencia,
se observa que el dominio de g o f es x  -1, o bien: x  1.
Función inversa
Toda función f: A  B es una relación. Ahora, cabe preguntarse si la relación inversa es una función.
En general, la respuesta es negativa por ejemplo
f: R  R 0 /
f (x) = x 2
Si se intercambian las variables de la ecuación
para y, tenemos y = x .
y=x
2
obtenemos
x=y2
donde resolviendo
Así
g: R 0  R / g (x) =  x
es la relación inversa, que no es función, porque para cada valor de x obtenemos dos imágenes.
Sea ahora, el siguiente caso:
f: R  R /
de y = x 3
haremos:
x=y3  y=
3
x
f (x) = x 3
entonces:
3
g: R  R /
g (x) =
3
x
Hemos comenzado por la función biyectiva f (x) = y = x 3 , al intercambiar las variables llegamos a
g (x) = y = 3 x que también es biyectiva.. Ahora, si formamos las compuestas:
gof
y
fog
observamos que:
(f o g) (x) = f (g (x)) = f ( 3 x ) = x = iR
(g o f) (x) = g (f (x)) = g (x 3) = x = iR
en cada caso, hemos obtenido el mismo valor x con el que empezamos; sea cual sea el efecto de una de
las funciones sobre el valor x, la otra lo anula. Siempre que dos funciones actúan mutuamente de esta manera
decimos que son funciones inversas o que cualquier función es inversa de la otra. Definimos:
La función
f: A  B
admite inversa si existe g: B  A tal que
f o g = iB
y g o f = iA
Denotamos: g (x) = f -1 (x)
Nota: La expresión f -1 (x) no representa una potencia negativa, sino que
esa función, con su regla de definición, es inversa de la función f (x).
Retomando la función f (x) = x 2 vemos que, en el caso de hacer una restricción del dominio de f a R 0
, es decir, si consideramos
f: R 0  R 0 / f (x) = x 2
tenemos
g: R 0  R 0 /
g (x) =
x que si es una función.
Si graficamos las dos funciones en un mismo sistema de ejes coordenados obtenemos curvas simétricas
con respecto a un eje de simetría, dado por y = x.
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