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0.1. Circuito. Si R=1.00 [kΩ] y ε=250 [V] en la figura 1, determine la dirección y magnitud de la corriente en el alambre horizontal entre a y e. R b ε c 4R d 2R 2ε 3R a e Figura 1: Bosquejo del circuito. Solución: Dibujemos las corrientes b I1 R c 2R I4 ε d I3 4R a I2 2ε 3R e I5 Figura 2: El circuito con las corrientes. Las ecuaciones de Kirchhoff I1 + I2 = I4 + I3 I4 = I1 + I5 ε = I1 R + 4RI4 2ε = 2I2 R + 3I3 R 0 = 3I3 R − 4I4 R Escribiendo las ecuaciones con las corrientes como incognitas I1 I1 RI1 +I2 −I3 2RI2 +3RI3 +3RI3 −I4 = 0 −I4 +I5 = 0 +4RI4 = ε = 2ε −4RI4 = 0 despejando I3 = 4I4 /3 e I1 = I4 − I5 reemplazando I2 2RI2 −4I4 /3 −I5 = 0 +5RI4 −RI5 = ε +4RI4 = 2ε despejando I2 = 4I4 /3 + I5 tenemos 5RI4 −RI5 = ε 20RI4 /3 2RI5 = 2ε Multiplicamos la última ecuación por -3/4 y sumamos 5 1 ε − RI5 = − ε =⇒ I5 = = 0.05 [A] 2 2 5R El sentido es de a → e. 0.2. Potencia máxima. Demostrar que si una baterı́a de fem ε fija y resistencia interna Ri se conecta a una resistencia exterior R, se suministra la máxima potencia a la resistencia exterior cuando R = Ri . Solución: La potencia disipada en R es P = I 2R La corriente en el circuito es I = ε/(R + Ri ), luego P = Diferenciando ε2 R (R + Ri )2 dP ε2 (R + Ri )2 − 2ε2 R(R + Ri ) 2 (R + Ri ) − 2R = = ε dR (R + Ri )4 (R + Ri )3 Igualando a cero la derivada dP (Ri − R = ε2 = 0 =⇒ R = Ri dR (R + Ri )3 0.3. Campo magnético de un conductor con huecos en el diámetro. Un largo conductor cilı́ndrico de radio a tiene dos cavidades cilı́ndricas de diámetro a lo largo de toda su longitud, ver figura 3. Una corriente I se dirige hacia fuera de la página y es uniforme por toda la sección transversal del conductor. Encuentre la magnitud y la dirección del campo magnético en los puntos P1 y P2 . P1 r a/2 P2 a/2 r Figura 3: Conductor con dos huecos en el diametro. Solución: Evaluemos la densidad uniforme de corriente Z I= 2 a 2 J~ · d~a = JA = J πa − 2π 4 Por lo tanto, 2I πa2 Luego el cable completo de radio a lleva una corriente 2I y cada cable de radio a/2 lleva una corriente −I/2. la suma de los tres cables corresponde a la figura 3. Campo en el punto P1 es I I 4I ~ B= − − (−x̂) rc (r − a/2)c (r + a/2)c J= sumando 2 2 2 2 ~ = I(16r − 4a − 4r − 2ar − 4r + 2ar) (−x̂) B (4r2 − a2 )rc simplificando 2 2 ~ = 4I(a − 2r ) x̂ B (4r2 − a2 )rc En el punto P2 4I I r I r ~ B= − − (ŷ) rc dc d dc d donde d2 = r2 + a2 /4. Sumando 2 2 2 2 ~ = I(16r + 4a − 4r − 4r ) ŷ B (4r2 + a2 )rc simplificando 2 2 ~ = 4I(2r + a ) ŷ B (4r2 + a2 )rc 0.4. Campo magnético de una espira mitad cuadrada mitad circular. La espira en la figura 4 conduce una corriente I. Determine el campo magnético en el punto A en función de I y R. R A L _ 2 I L Figura 4: Espira. Solución: Separemos la espira en un semicı́rculo superior de radio R y la mitad de un cuadrado de cara L. Comenzemos por el semicı́rculo Z π Rdθ πI −I ~ sci = ẑ = − ẑ B 2 c 0 R Rc Ahora los segmentos rectos ~ scu = −I B c Z R −R R2 dx R √ ẑ 2 + x R 2 + x2 luego ~ scu = − 2IRẑ B c usando: Z (x2 tenemos ~ scu B Z 0 R (R2 dx + x2 )3/2 dx x = √ 2 3/2 2 +a ) a x 2 + a2 R 2IRẑ x ẑ = − 2IRẑ R√ = − 2I√ √ =− c R 2 x2 + R 2 0 c R3 2 Rc 2 Multiplicamos por dos para obtener toda la contribución de la parte cuadrada. Sumando ambas contribuciones πI 4I ~A = − B − √ ẑ Rc Rc 2 finalmente h √ i ~ A = − I 2 2 + π ẑ B Rc 0.5. Inducción en espira semicircular. Un conductor semicircular de radio R se hace girar en torno al eje a una rapidez angular constante ω (ver figura 5). Un campo magnético uniforme en toda la mitad inferior de la figura se dirige hacia fuera del plano de rotación y tiene una magnitud de B.Solución: i) Calcule el valor máximo de la fem inducida en el conductor. ii) ¿Cuál es el valor de la fem inducida promedio para cada rotación completa? ω R Figura 5: Espira semicircular girando en un campo magnético. Solución: El flujo depende de la posición instantanea de la espira. Supongamos que a tiempo cero la espira está perpendicular al campo, luego el flujo Z 2 ~ · d~a = B πR cos(ωt) Φ(t) = B 2 donde ω = 2π/T Evaluamos la fem πR2 sen ωt 2c La fem máxima será cuando sen ωt = 1, es decir ε(t) = Bω Emáx = BωπR2 2c Si promediamos 1 hεi = T Z T 0 BωπR2 sen ωtdt 2c Sólo entre −π/2 y π/2 el flujo es distinto de cero el flujo por lo tanto bωπR2 hεi = 2cT Z π/2 sen ωtdt = 0 −π/2 0.6. Espira que varı́a en tamaño en campo que varı́a en intensidad. Considere una espira circular cuyo radio crece linealmente en el tiempo. La espira está en una región en la cual hay un campo magnético uniforme perpendicular a ésta. Calcule la fem inducida en los siguientes casos: i) La intensidad del campo magnético crece en forma cuadrática en el tiempo. ii) La intensidad del campo magnético es constante en el tiempo. iii) La intensidad del campo magnético decrece proporcional a 1/t2 . Solución: Supongamos que el radio es nulo a tiempo cero y luego crece linealmente r = vt como el campo es uniforme, el flujo será Φ(t) = B(t)A(t) = B(t)πv 2 t2 . i) Si B(t) = bt2 , luego el flujo es Φ(t) = bπv 2 t4 luego la fem en este caso será ε=− ii) Si B(t) = B0 , luego el flujo es Φ(t) = B0 πv 2 t2 luego la fem en este caso será ε=− iii) 4bπv 2 t3 1 dΦ =− c dt c 1 dΦ 2B0 πv 2 t =− c dt c Si B(t) = b0 t−2 , luego el flujo es Φ(t) = b0 πv 2 luego la fem en este caso será ε=− 1 dΦ =0 c dt
