Arrayás, M. (2007). Electromagnetismo, circuitos y semiconductores. (pp. 156-163)

140
Inducción electromagnética
v
S
N
+
Figura 11.4. Un imán se acerca a una espira. La ley de Lenz asigna la polaridad de la fem
inducida en la espira y el sentido de la corriente inducida.
La ley de Lenz dice que la fem inducida resultante de un campo magnético variable
tiene tal polaridad que la corriente inducida genera un campo magnético inducido que
se opone a la variación del flujo magnético original. Para aplicar correctamente esta
ley en conjunción con la ley de Faraday es útil seguir el siguiente esquema:
1.
2.
3.
4.
Se determina si el flujo magnético que atraviesa el circuito es creciente o decreciente en el tiempo.
El sentido del campo magnético inducido se toma como opuesto al cambio del
flujo original.
La regla del sacacorchos, aplicada al campo magnético inducido, nos dice el sentido de la corriente inducida y la polaridad de la fem inducida.
Por último, podemos aplicar la ley de Faraday en la forma
|Eind | = −
dΦ
,
dt
(11.16)
para conocer el valor numérico de la fem inducida, una vez asignada su polaridad.
Veamos un ejemplo sencillo. Consideremos un imán permanente que se acerca a una
espira, según la figura 11.4. El circuito asociado a la espira consta de una resistencia
R. Aplicamos la ley de Lenz. El flujo magnético a través de la espira crece (hacia
la derecha) porque el campo magnético del imán sobre la espira crece al acercarse.
Ası́, el campo magnético inducido debe tener un sentido contrario al crecimiento del
flujo, por la ley de Lenz, y debe entonces dirigirse hacia la izquierda. Para crear un
campo magnético inducido hacia la izquierda, el sentido de la corriente inducida debe
ser antihorario, como se ve en la figura 11.4 aplicando la regla del sacacorchos. Este
sentido de la corriente nos da la polaridad de la fem inducida (indicada por los signos
+ y − en la figura, ya que en los circuitos se sigue el convenio de que en una fuente
la corriente va por su interior, del terminal negativo al positivo).
11.5.
Inducción mutua y autoinducción
Hemos visto cómo se puede inducir una fem en una espira si la mantenemos fija y
movemos un imán cercano, o bien si dejamos fijo el imán y movemos o rotamos la
espira. Veamos ahora otro método de inducir fem en una bobina, formada por un
alambre conductor enrollado N veces alrededor de algún tipo de núcleo.
Inducción mutua y autoinducción
141
Figura 11.5. Una bobina conductora, conectada a una fuente de fem variable, se coloca
cerca de otra bobina sin conectar. En la segunda aparece una fem inducida.
Inducción mutua
Se sitúan cerca una de otra dos bobinas, una de ellas llamada bobina primaria y
la otra bobina secundaria, según la figura 11.5. La bobina primaria se conecta a un
generador de corriente variable, que envı́a una corriente I1 a través de ella. La bobina
secundaria no se conecta a nada. La corriente que conduce la bobina primaria crea un
campo magnético en sus cercanı́as. Una fracción significativa de este campo penetra
en la bobina secundaria y produce a través de ella un flujo magnético variable, pues
I1 es una corriente variable. Ası́ se induce una fem en la bobina secundaria.
El efecto por el cual una corriente variable en un circuito produce una fem inducida en otro circuito cercano se llama inducción mutua. De acuerdo con la ley de
Faraday de la inducción, la fem E2 inducida en el circuito secundario es
E2 = −
dΦ2
,
dt
(11.17)
donde Φ2 es el flujo, a través del circuito secundario, del campo magnético producido
por la corriente variable I1 del circuito primario. Por tanto, Φ2 es proporcional a I1
y podemos escribir
dI1
E2 = −M
,
(11.18)
dt
donde la constante M , dada por la expresión
M=
Φ2
,
I1
(11.19)
se llama inductancia mutua. La unidad de inductancia mutua es el Henry (H), definido
como 1 H = 1 Wb · A−1 . Escrita en la forma (11.18) es claro que la fem inducida en
el circuito secundario se debe a la corriente variable en el circuito primario.
La inductancia mutua M depende, entre otros factores menos importantes, de
la geometrı́a de los circuitos. Para guiar las lı́neas magnéticas y aumentar el flujo,
se emplean núcleos ferromagnéticos en las bobinas. Aunque M se puede calcular
analı́ticamente en algunos casos sencillos, lo normal es medirla experimentalmente.
Autoinducción
En todos los ejemplos de fem inducida que hemos visto hasta ahora, el campo magnético ha sido producido por alguna fuente externa, como un imán u otro circuito. Sin
embargo, esto no es absolutamente necesario. Se puede inducir una fem en una bobina
si se cambia el campo magnético que ella misma produce. Para verlo, consideremos
142
Inducción electromagnética
Figura 11.6. Sı́mbolo de un inductor en un circuito.
una bobina conectada a una fuente de fem variable, de manera que la corriente I
que circula por la bobina es también variable. Esta corriente crea un flujo magnético
variable a través de la propia bobina, de modo que, siguiendo la ley de Faraday, se
induce una fem extra en la bobina. El efecto por el cual una corriente variable en un
circuito induce una fem en el mismo circuito se conoce como autoinducción.
Como en el caso de la inducción mutua, conviene reescribir la ley de Faraday
en función de la variación de la corriente. Para ello se introduce una constante L,
llamada autoinductancia, dada por la expresión
Φ
,
(11.20)
I
donde Φ es el flujo magnético a través del circuito e I es la corriente variable que
circula por él. La fem inducida en el propio circuito es, entonces,
L=
dI
.
(11.21)
dt
Una bobina o solenoide con muchas vueltas y núcleo ferromagnético se llama
inductor y, frecuentemente, su autoinductancia es mucho mayor que la del resto del
circuito, de manera que sólo se tiene en cuenta la fem inducida en el inductor, despreciándose la del resto del circuito.
El sı́mbolo de un inductor en un circuito es el de la figura 11.6. Dado que la fem
autoinducida en un inductor se opone a la causa que la produce, que es la fem del
variable del generador conectado al circuito, podemos tomar un inductor como un
elemento del circuito en el que cae potencial eléctrico. Esto implica que se comporta
en un circuito como una resistencia pero, en lugar de caer en él un potencial dado
por VR = IR, cae un potencial dado por la ecuación (11.21) cambiada de signo. En
un inductor de un circuito cae un potencial VL dado por
E = −L
dI
,
dt
y ası́ lo estudiaremos en los capı́tulos dedicados a circuitos.
VL = L
11.6.
(11.22)
Energı́a magnética almacenada en un inductor
Al igual que un condensador almacena energı́a eléctrica, un inductor almacena energı́a
magnética. Esta energı́a proviene del trabajo necesario para establecer una corriente
a través del inductor.
Consideremos un inductor conectado a un generador cuyo potencial se varı́a uniformemente desde 0 hasta V , su valor final. La corriente a través del inductor crecerá desde 0 hasta su valor final, apareciendo una fem inducida dada por
E = −L
dI
,
dt
(11.23)
El generador eléctrico
143
cuya polaridad se opone a la del generador, de manera que el generador tiene que realizar un trabajo para vencer esta fem inducida. El trabajo realizado por el generador
para mover una carga dq a través del inductor es
dI
dq
dq = L dI = LIdI,
dt
dt
dW = −Edq = L
(11.24)
de manera que el trabajo total realizado por el generador para establecer una corriente
que crece desde 0 hasta su valor final I, igual a la energı́a magnética Um almacenada
por el inductor, es
Z I
LI 2
.
(11.25)
LIdI =
Um = W =
2
0
Hay otra manera más general de interpretar este resultado. Al establecer una corriente
a través del inductor, éste crea un campo magnético, de manera que el trabajo realizado para establecer la corriente es también el trabajo necesario para crear ese campo
magnético. La energı́a almacenada en el inductor es la energı́a del campo magnético.
Consideremos que el inductor es un solenoide sin núcleo ferromagnético de longitud ℓ, sección de área S y n vueltas por unidad de longitud, que conduce una corriente
I. La autoinductancia de este solenoide resulta
L = µ0 n2 Sℓ,
(11.26)
(ver ejercicios), y el campo magnético que se crea en su interior vale B = µ0 nI. Por
tanto, la energı́a magnética que almacena es
Um =
LI 2
B2
=
V,
2
2µ0
(11.27)
pues V = S ℓ es el volumen interior del solenoide, y es también, aproximadamente,
igual al volumen de la región del espacio donde el campo magnético creado por el
solenoide es relevante. Se define entonces la densidad de energı́a magnética um como
la energı́a de un campo magnético por unidad de volumen. En el caso del solenoide,
um =
B2
Um
=
.
V
2µ0
(11.28)
En el caso general en que un campo magnético está definido en una determinada
región del espacio de volumen V, su intensidad dependerá del punto del espacio, y
también lo hará la densidad de energı́a magnética um . La energı́a magnética en este
caso general está dada por la expresión
Z
Z
B2
dV.
(11.29)
Um =
um dV =
V
V 2µ0
11.7.
El generador eléctrico
Prácticamente toda la enegı́a eléctrica que se utiliza en el mundo se produce en forma
de corriente eléctrica a través de generadores eléctricos. El funcionamiento de estos
generadores se basa en la inducción electromagnética para producir una fem sinusoidal
144
Inducción electromagnética
B
ω
α
n
ε
Figura 11.7. Un generador eléctrico simple
cuando enormes bobinas rotan en presencia de campos magnéticos producidos por
electroimanes.
Un generador eléctrico simple está formado por una espira de N vueltas y área
S que rota con velocidad angular constante ω entre los polos de un electroimán que
produce un campo magnético uniforme B, según vemos en la figura 11.7. El electroimán se llama inductor del generador, y la espira se llama inducido. Los terminales
del inducido están conectados solidariamente a unos anillos metálicos deslizantes que
giran al rotar la espira. Cada uno de estos anillos roza a una escobilla de grafito (se
usa este material para evitar chispazos), de manera que la diferencia de potencial
entre los terminales de la espira, que es la misma que hay entre los anillos deslizantes,
es igual a la diferencia de potencial entre las escobillas de grafito. Las escobillas son
los terminales del circuito externo al que el generador alimenta.
Consideremos una situación inicial en la que el vector normal a la espira forma
un ángulo α0 con el campo magnético uniforme del electroimán. Empezamos ahora a
hacer un trabajo mecánico rotando la espira con velocidad angular ω constante. Esto
significa que el ángulo α que forman la normal a la espira y el campo magnético del
electroimán va variando en el tiempo según la expresión
α = α0 + ωt.
(11.30)
Según la ley de Faraday, se induce entonces una fem E en la espira dada por
E =−
dΦ
,
dt
(11.31)
donde Φ es el flujo magnético a través de la espira,
Φ = N SB cos α = N SB cos (α0 + ωt).
(11.32)
Entonces la diferencia de potencial creada por el generador, y aplicada al circuito
externo mediante las escobillas, es
E = N SBω sen (α0 + ωt) = A sen (α0 + ωt),
(11.33)
A = N SBω,
(11.34)
donde
es una constante caracterı́stica del generador, llamada amplitud o valor de pico de
la fem sinusoidal. La unidad de fem de pico es 1 V. En consecuencia, un generador
El generador eléctrico
145
ε
A
0
−A
1/2f
1/f
3/2f
t
Figura 11.8. Representación gráfica de una fem sinusoidal.
eléctrico transforma energı́a mecánica, la necesaria para rotar la espira, en energı́a
eléctrica.
En la figura 11.8 se ha representado el valor de la diferencia de potencial E entre
los terminales de un generador eléctrico frente al tiempo t, suponiendo que la fase
inicial α0 es cero por simplicidad (siempre se puede elegir α0 a conveniencia eligiendo
el origen de tiempos apropiadamente). Como vemos en esta figura, la fem E es una
función periódica sinusoidal, de amplitud A y frecuencia angular ω. La unidad de
frecuencia angular es 1 rad · s−1 . La interpretación fı́sica de esta cantidad se aclara
definiendo la frecuencia f de la fem E como
ω
f=
,
(11.35)
2π
que es el número de veces que la fem alcanza su valor máximo A (o mı́nimo −A) en
un segundo, contando a partir del momento en que tiene ese mismo valor. La unidad
de frecuencia es el Herzio (Hz), definido como 1 Hz = 1 s−1 . El inverso de la frecuencia
T =
1
2π
= ,
ω
f
(11.36)
se llama periodo de la fem y su unidad es 1 s. El periodo es el tiempo que pasa
desde que la fem tiene su valor máximo (o mı́nimo) hasta que vuelve a tenerlo. En
la práctica es común dar las caracterı́sticas de la fem de un generador de corriente
alterna mediante su valor de pico A y su frecuencia f . Conocidos estos datos, es
directo escribir la fem como E = A sin (2πf t) (asumiendo que α0 es cero).
Como hemos visto, la fem proporcionada por un generador eléctrico cambia su
polaridad a medida que rota la espira, lo cual es propio de la corriente alterna. Ası́,
si se conecta un circuito externo al generador, que se suele denominar circuito de
carga, a través de él habrá una corriente alterna que cambia su sentido con la misma
frecuencia f con la que la fem cambia su polaridad. En los circuitos, el sı́mbolo de un
generador que proporciona una fem de este tipo es el que vemos en la figura 11.5.
Algunas centrales eléctricas queman combustible fósil (carbón, gas o petróleo)
para calentar agua y producir gas presurizado que hace girar enormes turbinas cuyos
ejes están unidos al generador, mientras que otras usan cascadas de agua o energı́a
nuclear como fuente de trabajo mecánico. Si el circuito de carga, o conjunto de dispositivos a los que el generador proporciona energı́a eléctrica, está desconectado del
146
Inducción electromagnética
Turbina
Generador
Figura 11.9. Un generador eléctrico que proporciona energı́a a un edificio.
generador, se dice que éste funciona bajo una condición sin carga porque no hay corriente en el circuito externo y el generador no proporciona energı́a eléctrica. En este
caso, el único trabajo que hay que realizar sobre la turbina es el necesario para vencer
la fricción y otras pérdidas mecánicas en el interior del generador y el necesario para
mantener el campo magnético, ası́ que el consumo de energı́a es mı́nimo.
Supongamos ahora que se conecta un circuito de carga al generador (como los
edificios mostrados en la figura 11.9). Existe una corriente alterna I a través del
circuito, de modo que esta misma corriente recorre la espira del generador. La espira
tiene un momento magnético m que no tenı́a en la condición sin carga y, dado que
está inmersa en un campo magnético, siente un momento de torsión magnético que
trata de hacerla rotar para colocar su eje paralelo al campo magnético. Obviamente,
no se crea energı́a mecánica de rotación de la nada, ası́ que este momento de torsión
(que se suele denominar contramomento del generador) ha de oponerse a la rotación
inducida por la turbina. En consecuencia, a mayor corriente cedida por el generador,
mayor es el contramomento y más trabajo mecánico habrá que realizar para mantener
la espira rotando a velocidad angular constante. Es decir, la turbina debe hacer un
trabajo mayor cuando la corriente es mayor, quemando más combustible por ejemplo.
11.8.
1.
2.
Ejercicios
Una espira de 20 vueltas encierra un área de 10−3 m2 . La espira está inmersa en
un campo magnético uniforme perpendicular a ella de tal manera que, en t = 0,
B = 0, 03 T, y en t = 0, 1 s, B = 0, 01 T. Calcular la fem inducida en la espira
durante ese intervalo de tiempo y su polaridad.
Solución: Eind = 4 mV.
Una espira cuadrada de lado a, N vueltas y resistencia R está situada en el plano
xy, con su centro en el origen. Esta espira está inmersa en un campo magnético
dado por las ecuaciones
B = B0 k, y > 0,
B = 0, y < 0,
3.
donde B0 es una constante. Calcular la magnitud y sentido de la corriente inducida en la espira cuando ésta se desplaza con velocidad constante v0 en los
siguientes casos: (a)v = v0 i, (b) v = v0 j, (c) v = −v0 j.
Solución: (a) Iind = 0. (b) Iind = (N av0 B0 )/R, en sentido horario. (c) Iind =
(N av0 B0 )/R, en sentido entihorario.
Una espira de 50 vueltas encierra un área de 0, 02 m2 . La espira está inmersa en
Ejercicios
147
un campo magnético uniforme y constante B = 0, 18 T. Inicialmente, el eje de
la espira es paralelo al campo. Comienza a rotar uniformemente y, al cabo de
t = 0, 1 s, el eje de la espira forma un ángulo de 30◦ con el campo. Calcular la
fem inducida en la espira durante ese intervalo de tiempo y su polaridad.
Solución: Eind = 2, 4 V.
4. Un campo magnético uniforme y constante de 0, 15 T es perpendicular a una
espira circular de 1 vuelta y 0, 3 m de radio. La espira se deforma uniformemente
en un cuadrado al cabo de 0, 5 s. Encontrar la magnitud de la fem media inducida
en la espira durante ese tiempo y su polaridad.
Solución: Eind = 0, 018 V.
5. Sobre una espira cuadrada, de lado a = 1 cm, 1 vuelta y resistencia R = 100 Ω,
descansa un cable conductor rectilı́neo muy largo, paralelo a un lado de la espira
y a una distancia d = 0, 25 cm del centro de ésta. El cable conduce una corriente
I = 1 mA. Si esta corriente se va a cero uniformemente en 0, 1 s, determinar la
corriente inducida durante ese tiempo en la espira.
Solución: Iind = 2, 2 × 10−13 A.
6. Dos varillas conductoras paralelas, ambas de longitud ℓ y resistencia R, se mueven con la misma velocidad v perpendicular a su longitud en el mismo sentido.
Perpendicular a ambas varillas y a su velocidad hay un campo magnético B.
Determinar la fem inducida en cada varilla.
Eind = vBℓ, Iind = 0.
7. Una varilla conductora de masa m y longitud ℓ cae debido a su propio peso
moviéndose sin rozamiento entre dos raı́les verticales. Los raı́les están conectados
entre sı́ por arriba por una resistencia R. Hay un campo magnético uniforme y
constante B perpendicular al plano formado por varilla y raı́les. En el equilibrio,
determinar la fem inducida en la varilla y su polaridad, la corriente a través de
la resistencia, y la velocidad de caı́da de la varilla.
Solución: Eind = vBℓ, Iind = vBℓ/R, v = mgR/(B 2 ℓ2 ).
8. Un solenoide de longitud ℓ = 8 cm y sección de área S = 0, 5 cm2 contiene
n = 6500 vueltas por metro y carece de núcleo ferromagnético. Calcular la autoinductancia del solenoide.
Solución: L = 2 · 10−4 H.
9. Un solenoide de longitud ℓ y número de vueltas N1 está conectado a un generador
de corriente alterna, de tal manera que la corriente a través del solenoide es
I = I0 sen (2πf t). En el interior del solenoide se coloca una bobina de número
de vueltas N2 y sección de área S2 . Suponiendo que todas las lı́neas del campo
en el interior del solenoide pasan por la bobina, determinar la fem inducida en
ésta y el coeficiente de inductancia mutua.
Solución: Eind = −(µ0 N1 N2 S2 /ℓ)2πf cos (2πf t). M = µ0 N1 N2 S2 /ℓ.
10. Un generador de corriente alterna está formado por una bobina circular de 25
vueltas y radio a = 140 mm que gira con una velocidad angular ω = 300 rad · s−1
en un campo magnético B = 0, 2 T. Determinar la fem de pico, la frecuencia y el
periodo de la fem generada.
Solución: E0 = 92 V, f = 48 Hz, T = 0, 021 s.