Clase VI (Dispersión)

Objetivos
Medidas de dispersión:
Recorrido
(o Amplitud) y razón de
variación,
Distancia
(o Amplitud) y desviación
intercuartílica,
Desviación
Varianza,
media y desviación estándar,
y
Coeficiente
de variación.
1
Recorrido o amplitud
Definición: diferencia entre la marca más alta y la
marca más baja.
Se puede indicar proporcionando la diferencia
real, tanto como presentando ambas marcas.
Su ventaja es la simplicidad y facilidad de
interpretación; su defecto es que la información
se basa en casos atípicos y puede conducir a
groseras simplificaciones en la generalización.
2
Razón de variación
Definición: medida del grado en que no se
concentran los casos en la categoría
modal.
fM
R.V . = 1 −
N
Fórmula:
Tiene el inconveniente de que resulta
insensible a la distribución de frecuencias
en categorías no modales.
Su mayor utilidad es como medida de
dispersión para variables nominales.
o
3
Distancia o amplitud
intercuartílica
Definición: similar al recorrido, se define como la
distancia entre el primero y el tercer Cuartil (50%
de la distribución).
Fórmula:
Tiene la ventaja de no ser sensible a los valores
extremos. Pero sigue siendo sólo sensible a
algunos valores.
RQ = Q3 − Q1
4
Desviación intercuartílica
Definición: se define como la distancia entre los
valores que contienen al 25 % de la distribución
en torno de la Md, y se corresponde con la mitad
de la Distancia Intercuartílica.
Fórmula:
Tiene la ventaja de ser aún menos sensible a los
valores extremos. Pero su lectura se torna menos
intuitiva y más compleja.
Q3 − Q1
DQ =
2
5
Ejemplos
Edad
f
F%
14
3
15
15
1
20
16
2
30
17
1
35
18
1
40
19
2
50
20
1
55
21
1
60
22
1
65
23
1
24
Cantidad
de hijos
f
F%
Q1 =
16
0
17
47,2
Q1 =
0
Q2 =
19
1
7
66,7
Q2 =
1
Q3 =
24
2
9
91,7
Q3 =
2
0,85
3
2
97,2
R.V. =
RQ =
8
4
1
100,0
RQ =
2
DQ =
4
Total
36
DQ =
1
70
Cantidad
de hijos
f
F%
Q1 =
1
1
75
1
7
36,8
Q2 =
2
25
2
85
2
9
84,2
Q3 =
2
26
1
90
3
2
94,7
28
1
95
4
1
100,0
29
1
100
Total
19
Total
20
R.V. =
R.V. =
0,53
0,53
RQ =
1
DQ =
0,5
6
Desviación media
Definición: media aritmética de las diferencias
absolutas de cada marca en relación con la
media.
N
Fórmula:
DM =
∑X
i =1
i
−X
N
Tiene la ventaja de servirse de todos los valores
y de poder expresarse de manera directa y
comprenderse de forma intuitiva.
Pero tiene dificultades de manipulación
algebraica y de interpretación teórica.
7
Varianza
Definición: la media aritmética de las
desviaciones cuadradas de cada marca en
relación con la media.
N
Fórmula:
V=
∑(X
i
− X)
2
i =1
N
El orden de las tareas implicadas debe ser
cuidadosamente respetado.
Tiene dificultades de interpretación y lectura
intuitiva.
8
Desviación estándar
Definición: raíz cuadrada de la media aritmética
de las desviaciones cuadradas de cada marca
en relación con la media.
Fórmula:
N
S=
∑
( X i − X )2
i =1
N
= V
V =S
2
Por su forma de cálculo, se ponderan los
valores extremos sobre los demás, teniendo
más influencia que lo ya visto para la media.
9
Desviación estándar para
datos agrupados
Partiendo de la fórmula
para datos no agrupados
tenemos que:
Fórmula:
∑ f (X
S=
k
S=
i
∑ (X
N
i
i =1
−X
i
−X
i =1
)
2
N
)
2
N
10
Coeficiente de variación o
variabilidad
Definición: se define como la proporción de la
desviación estándar en relación con la media.
Fórmula:
Al comparar varios grupos con medias
diferentes, el coeficiente de variación permite
contar con una medida de la variación relativa.
S
CV =
X
11
Ejemplo
Edad
f
F%
f xi
|xi -x|
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
28
29
Total
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
20
15
20
30
35
40
50
55
60
65
70
75
85
90
95
100
42
15
32
17
18
38
20
21
22
23
24
50
26
28
29
405
6,25
5,25
4,25
3,25
2,25
1,25
0,25
0,75
1,75
2,75
3,75
4,75
5,75
7,75
8,75
f |xi -x| (xi -x)
18,75
5,25
8,50
3,25
2,25
2,50
0,25
0,75
1,75
2,75
3,75
9,50
5,75
7,75
8,75
81,5
-6,25
-5,25
-4,25
-3,25
-2,25
-1,25
-0,25
0,75
1,75
2,75
3,75
4,75
5,75
7,75
8,75
2
f (xi -x)
117,1875
27,5625
36,125
10,5625
5,0625
3,125
0,0625
0,5625
3,0625
7,5625
14,0625
45,125
33,0625
60,0625
76,5625
439,75
x = 20,25
DM = 4,075
c/ N-1
S = 4,689
4,812
V = 21,988
23,145
CV = 0,232
0,238
12