Movimiento uniformemente acelerado

Movimiento uniformemente acelerado
Marcelo Fco. Lugo Licona
cable conector diseñado para tal propósito) mida el
tiempo empleado por el balín en recorrer intervalos de
distancia cada vez más grandes, por ejemplo, puede colocar la primera fotocompuerta a los 3.0 cm de distancia
medida a partir del punto desde el que se libera al balín
y la otra fotocompuerta a 10 cm de distancia de la primera; luego, cambie la posición de la segunda fotocompuerta hasta que se encuentre a una distancia de 20 cm
de la primera y mida nuevamente el tiempo que emplea
el balín en recorrer esa distancia; luego, separa las fotocompuertas 30 cm, etcétera.
El ejercicio se repite considerando, al menos, 10
longitudes diferentes, efectuando 3 mediciones de tiempo de recorrido para cada distancia especificada (y
usando sólo el valor promedio de las tres mediciones en
cada caso). Luego, se construye una gráfica en la que la
variable independiente es el tiempo promedio; Dt empleado en el recorrido y la variable dependiente es la
distancia recorrida, Dx.
Debe considerarse cuidadosamente la incertidumbre en la posición del balín durante las medidas de
tiempo, ya que se encuentra en movimiento y el ojo no
alcanzará a observar una posición precisa del balín sobre el riel y resulta difícil sincronizar lo que ve el ojo con
la medición del tiempo. Sin que sea exagerado, puede
considerarse que la incertidumbre en la posición corresponde al diámetro del balín.
Por otro lado, la incertidumbre en el tiempo tendrá
dos componentes, a saber, una estadística (debida al
número de veces que se repiten las medidas) y otra que
involucra el factor humano; debe notarse que la persona que mide el tiempo activará o desactivará el cronómetro de manera diferente de una medida a otra.
Podría considerarse una tercera componente que es la
incertidumbre tipo B especificada por el fabricante del
cronómetro, pero ésta se puede despreciar si se toma en
cuenta que la más notable es la que corresponde al factor humano.
Construya una Tabla con los datos registrados durante el experimento, considerando que el tiempo es la
variable independiente y la distancia la variable dependiente. Luego, trace la gráfica de dispersión que le corresponda.
Introducción
En el movimiento rectilíneo uniforme se encuentra que
un objeto en movimiento recorre distancias iguales en
intervalos iguales de tiempo, en cambio, en el movimiento uniformemente acelerado (ver la figura 1) la velocidad del objeto en movimiento cambia conforme
transcurre el tiempo. Este cambio se debe a que actúa
alguna fuerza, que en esta práctica es la fuerza de la
gravedad de la Tierra.
h
L
Figura1. Movimiento uniformemente acelerado sobre un plano inclinado. La velocidad
del móvil se incrementa conforme transcurre el tiempo. Esto implica que recorre distancias cada vez mayores en intervalos iguales de tiempo.
El modelo matemático que describe este movimiento es una ecuación de segundo grado, la cual se puede
determinar a partir de la aplicación del método de los
mínimos cuadrados a los datos resultantes de la medición del tiempo y de las distancias recorridas.
x(t) = at 2 + bt + c
(1)
donde a, b y c son parámetros por determinar mediante
el método de los mínimos cuadrados.
Procedimiento
Disponga un riel como el de la figura 2 y libere, desde la
parte superior, un balín, de modo que ruede sin deslizarse. Utilizando dos fotocompuertas sincronizadas
(para lograr la sincronización se conectan mediante un
h
x1
x2
x3
L
Figura 2. Sobre el riel se especifican las posiciones en las que ha de desactivarse el
cronómetro para efectuar las mediciones de tiempo de recorrido del balín desde el extremo más elevado del riel.
7
Para hacer el ajuste mediante el método de los mínimos cuadrados debe utilizarse el siguiente conjunto
de ecuaciones
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
i =1
i =1
i =1
donde A, B, C y D se han definido anteriormente. Así,
para determinar las incertidumbres en los parámetros
se tiene que
a ∑ x i4 + b∑ x i3 + c∑ x i2 = ∑ x i2 y i
δa =
a ∑ x i3 + b∑ x i2 + c∑ x i = ∑ x i y i
(2)
n
σ=
donde a, b y c son, como ya se mencionó anteriormente,
los parámetros que definen la ecuación de segundo grado que describe al movimiento del balín sobre el riel, en
las condiciones especificadas por cada experimentador.
Para facilitar los cáculos posteriores conviene asignar nombres a las sumas; como sugerencia podrían ser
los siguientes:
n
n
i =1
3
i
i =1
i =1
∆=
j
db = ∑
j
dc = ∑
j
[(nC − D )x
2
2
j
[(DC − nB) x + (nA − C )x
2
j
[(DB − C )x
2
2
j
2
j
]
+ (CB − AD) x j + CA − B 2
]
2
− ax i2 − bx i − c
)
2
(5)
n
n
∑x
4
i
∑x
3
i
∑x
∑x
3
i
∑x
2
i
∑x
∑x
2
i
∑x
i =1
n
i =1
n
i =1
n
i =1
i
i =1
n
i =1
2
i
i
(6)
n
que es el determinante del sistema de ecuaciones (2).
Con los resultados obtenidos se pueden construir las
curvas de incertidumbre y la curva ajustada.
Recuerde que el trabajo se facilita si, primero, se
efectúan las sumas y después las operaciones aritméticas y algebraicas.
Los desarrollos de las ecuaciones (3) se obtuvieron
utilizando el programa MAPLE V.
Cuando las operaciones se realizan utilizando una
hoja de cálculo se debe tener cuidado con la precisión de
la computadora que se utilice, ya que se encontrará con
operaciones entre números muy pequeños y/o muy
grandes, lo cual puede producir resultados inconsistentes con los experimentos.
Referencias
1 Experimentación. Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos, D. C. Baird, Prentice-Hall Hispanoamericana,
S. A. Segunda Edición, 1991.
2 Data reduction and error analysis for the
physical sciences, Bevington, Philip R., Robinson, D. Keith, McGraw-Hill, Inc., Second Edition,
1992.
3 Evaluación de la incertidumbre en datos experimentales, Miranda Martín del Campo Javier, 2001.
2
]
+ BC − AD
i
n−3
i =1
i =1
+ (CD − nB) x j + DB − C 2
i =1
i =1
n
En este caso, basta con efectuar las sumas indicadas en (2) y resolver el sistema de ecuaciones numéricamente. Incluya las unidades de medida en las sumas
para que, de este modo, las unidades resultantes en la
solución del sistema de ecuaciones permita hacer la interpretación física de los parámetros que corresponden
al modelo matemático así obtenido.
En esta práctica, el ajuste mediante los mínimos
cuadrados se aplica directamente a un polinomio de orden 2 y no se recomienda efectuar un cambio de variable para hacer un ajuste lineal, ya que en este polinomio
de segundo grado se encuentra un término lineal que
tiene una interpretación física bien definida, lo cual da
lugar a una estrecha relación entre los temas que se tratan en la teoría y los resultados obtenidos en el laboratorio. Nótese que en un laboratorio es difícil trabajar en
condiciones ideales.
Las incertidumbres en los parámetros del modelo
matemático que describe al movimiento del balín de
esta práctica se pueden obtener utilizando el conjunto
de ecuaciones (3)
da = ∑
∑(y
n
n
2
i
(4)
y
A = ∑ x , B = ∑ x , C = ∑ x y D = ∑ xi
4
i
da
σ db
σ dc
, δb =
, δc =
∆
∆
∆
donde
a ∑ x i2 + b∑ x i + cn = ∑ y i
n
σ
(3)
2
8