Marcelo Fco. Lugo Licona abril 21, 2009 Conservación de la energía mecánica Marcelo Fco. Lugo Licona sistema, tal como mover una de sus partes, la fuerza realiza un trabajo W. Se define el cambio en la energía potencial, DU, correspondiente a un cambio particular en la configuración como: Antecedentes Para realizar este experimento es necesario que el estudiante cuente con los conocimientos correspondientes a la ley de la conservación de la energía, conceptos como velocidad, masa, energía potencial, energía cinética, aceleración gravitacional y fuerzas conservativas. ∆U = −W . (1) El cambio en energía potencial en el proceso es el negativo del trabajo realizado por la fuerza. Del teorema del trabajo y la energía se tiene que Resumen Se determina el cambio en la energía cinética de un objeto en movimiento uniformemente acelerado. La aceleración se produce mediante un plano inclinado (en particular un riel de aire). Se mide la masa del objeto que se desliza sobre el riel y se mide el tiempo empleado en recorrer una cierta distancia y, a partir de dichas mediciones, se determina la diferencia en la energía cinética del objeto en movimiento. U+K =E (2) donde K es la energía cinética y E es la energía mecánica del sistema conservativo. Así, la ecuación (2) es la representación matemática de la ley de la conservación de la energía mecánica. En un sistema de objetos que interactúan sólo a través de fuerzas conservativas, la energía se puede convertir de potencial en cinética y viceversa, pero el cambio total es cero (∆(U+K)=0), la suma del cambio en la energía potencial y la energía cinética permanece constante. En el experimento que aquí se presenta, se examina la transformación de energía que ocurre cuando un carrito deslizante se desplaza sobre un riel de aire que se utiliza como plano inclinado, ver la figura 1. Ya que no se tienen otros objetos que interfieran con el movimiento y la fricción entre el carrito deslizante y el riel es despreciable, la pérdida de energía potencial gravitacional durante el desplazamiento del carrito deslizante es, prácticamente, igual a la ganancia en energía cinética. Matemáticamente esto se expresa como: Objetivo y justificación Demostrar el principio de conservación de la energía mecánica. Se demuestra la relación entre la energía potencial gravitacional y la energía cinética utilizando cantidades mensurables en el laboratorio. Propuesta experimental y bases teóricas Aunque la conservación de la energía es una de las leyes más importantes en la física, no es un principio que se verifique fácilmente. Si, por ejemplo, un objeto está rodando colina abajo, la energía potencial gravitacional se está convirtiendo, constantemente, en energía cinética (lineal y rotacional) y en energía calorífica, debido a la fricción entre el objeto y la superficie de la colina. También pierde energía en su constante choque con los objetos que se encuentran en su camino, impartiéndoles cierta porción de su energía cinética. La medida de todos estos cambios no es sencilla. Este tipo de dificultades se presentan en todos los problemas de la física, de modo que es necesario establecer situaciones simplificadas en las que sea posible concentrarse en un aspecto particular del problema. Consideremos un sistema en el cual actúa solamente una fuerza, y supongamos que dicha fuerza es conservativa. Cuando se cambia la configuración del ∆K = ∆(mgh) = mg∆h (3) donde ∆K es el cambio en energía cinética, 1 1 ∆K = mv22 − mv12 = K 2 − K 1 y ∆(mgh) es el cambio 2 2 en la energía potencial gravitacional (m es la masa del L h horizontal D A la corriente eléctrica d Figura 1. Arreglo experimental para mostrar el principio de conservación de la energía mecánica. 1 Marcelo Fco. Lugo Licona abril 21, 2009 • Escriba el teorema del trabajo y la energía. • Explique cómo se vería afectado el experimento carrito deslizante, g es la aceleración gravitacional y ∆h es el cambio en la posición vertical del carrito). Las fotocompuertas electrónicas que se encuentran separadas por una distancia D, indican los tiempos t1 y t2 de paso del carrito deslizante, cuya longitud es L. Con estos datos es posible determinar las energías cinéticas K1 y K2, con lo que se calcula ∆K. Para determinar ∆h, basta medir directamente la altura de un trozo de madera que se coloca bajo una de las bases de apoyo del riel de aire. si se incluye la fricción. • ¿Cómo es que la energía potencial se transforma en energía cinética? ¿En qué momento ocurre dicha transformación? Referencias 1 2 Comentario s y sugerencias Es posible cambiar el valor de h, con lo que se pueden comparar los cambios en la energía para diferentes ángulos de inclinación del riel. 3 4 Preguntas • ¿Qué significa que una fuerza sea conservativa? • ¿Dónde se encuentra la energía potencial? 2 Physics, Volume One, Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane, Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1992, p. 151-168. Física universitaria, Francis W. Sears, Mark W. Zemansky, Hugh D. Young, Sexta edición en español, Addison-Wesley Iberoamericana, 1988, p. 140-148. Física Vol. I: Mecánica, M. Alonso, E. J. Finn, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995, p. 145-147. Photogate Timers, Instruction Manual and Experiment Guide for the PASCO scientific Model ME-9206A and ME-9215A. Marcelo Fco. Lugo Licona abril 21, 2009 Elongación de un resorte mediante una fuerza Marcelo Fco. Lugo Licona del resorte se considerará como variable independiente y el peso aplicado como variable dependiente. Construya una gráfica a cuyo eje horizontal se asigne la elongación del resorte y al eje vertical la fuerza aplicada al suspender los objetos colocados en el extremo inferior del resorte. Si la tendencia de la gráfica es una recta, haga un ajuste mediante el método de los mínimos cuadrados y escriba una interpretación física de los parámetros obtenidos. La interpretación se puede hacer a partir de las unidades de los parámetros de la recta: la pendiente y la ordenada al origen ya que, ambas tienen unidades de medición asociadas. Como podrá darse cuenta, la relación funcional hallada es semejante a la Ley de Hooke, pero con una diferencia: ¡aquí se tiene una ordenada al origen que en la ley de Hooke que se presenta en los libros de texto no aparece!, ¿por qué? ¿Cuál es el significado físico de esta diferencia? ¿De dónde proviene? Explique. Introducción La elongación de un resorte cambia cuando se aplica una fuerza a sus extremos. Dicha elongación es finita, ya que es posible que el resorte se rompa debido a la aplicación de una fuerza muy intensa. Es posible determinar una relación funcional entre la elongación y la fuerza aplicada para producirla, dentro de un intervalo finito de elongaciones. Procedimiento En esta práctica se determinará la relación entre la elongación de un resorte y la fuerza que se aplica para que se presente una elongación notable. Suspenda un resorte por uno de sus extremos de modo que cuelgue verticalmente, como se muestra en la figura 1. Mida la masa de cada uno de los objetos que se suspenderán en el extremo inferior del resorte. A continuación, añada los objetos uno a uno y mida la longitud del resorte paulatinamente. Observe cuidadosamente cómo, a medida que se añade peso al resorte, éste gira en torno al eje vertical que pasa por el punto de suspensión del resorte y el punto en el que se han suspendido los objetos. ¡Asegúrese de que el peso aplicado no deformará al resorte permanentemente! Pregunte al encargado del laboratorio cuál es el peso máximo que se puede aplicar al resorte. Asigne las incertidumbres correspondientes a todas las medidas efectuadas. Las incertidumbres asociadas deben ser las incertidumbres combinadas. Construya una Tabla en la que la elongación Referencias 1 2 3 L m Figura 1. Sistema resorte-masa para determinar la relación entre el peso suspendido y la elongación del resorte. 3 Physics, Volume One, Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane, Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1992, p. 317-322. Física Tomo I, Paul A. Tipler, Segunda edición, Editorial Reverté, 1991, p. 95-105. Física Vol. II: Campos y ondas, M. Alonso, E. J. Finn, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995, p. 704-707. Marcelo Fco. Lugo Licona abril 21, 2009 Movimiento rectilíneo uniforme Marcelo Fco. Lugo Licona pleó el balín en hacer el recorrido; así, este tiempo promedio y la distancia recorrida serán las coordenadas de un punto en una gráfica distancia vs. tiempo. La posición desde la que se libera al balín sobre la rampa es arbitraria, ya que puede suceder que el balín haga el recorrido tan rápido que resulte difícil observar el momento en el que entra a la sección horizontal de su recorrido. El ejercicio se repite considerando, al menos, 10 longitudes diferentes. Luego, se construye una gráfica en la que la variable independiente es el tiempo promedio en cada recorrido y la variable independiente es la distancia recorrida. Debe considerarse cuidadosamente la incertidumbre en la posición del balín durante las medidas de tiempo, ya que se encuentra en movimiento y el ojo no alcanzará a observar una posición precisa del balín sobre el riel. Por otro lado, la incertidumbre en el tiempo tendrá dos componentes, a saber, una estadística (debida al número de veces que se repiten las medidas) y otra que involucra el factor humano; debe notarse que la persona que mide el tiempo activará o desactivará el cronómetro de manera diferente de una medida a otra. Mediante el método de los mínimos cuadrados haga un ajuste y una interpretación física de los parámetros así determinados. Finalmente, escriba la ecuación que represente al fenómeno observado, dicha ecuación es el modelo matemático que describe el movimiento del balín sobre el riel en las condiciones especificadas por las personas que realizan el experimento. Uno de los primeros movimientos que se estudian en el laboratorio de física es el de un objeto que se mueve en línea recta y recorre intervalos iguales de longitud en intervalos iguales de tiempo. En esta práctica se estudia el movimiento de un balín que rueda sobre un riel horizontal. Se omitirán los efectos por rodamiento y fricción del balín con el riel y la rampa de lanzamiento. Procedimiento En la figura 1 se muestra el arreglo experimental con el que se llevará a cabo esta práctica. m ra en este intervalo el movimiento se efectúa a velocidad constante pa Figura 1. Se requiere que el balín se mueva siempre a la misma velocidad al llegar a la región horizontal del riel Puede verse que el balín inicia su recorrido en la parte superior de la rampa, siempre desde el mismo lugar. Esto se hace para que al llegar a la sección horizontal de su recorrido, el balín siempre viaje a la misma velocidad, con el fin de efectuar varias veces las mismas medidas de desplazamiento y tiempo. Debe verificarse que el riel se encuentra en posición horizontal, esto se hace con un nivel de burbuja. Es importante considerar el hecho de que el tiempo se mide con un cronómetro que se activa justo en el momento en el que el balín entra a la sección horizontal de su recorrido, desactivándolo a una distancia especificada de antemano. Por ejemplo, si se desea determinar el tiempo que emplea el balín al recorrer 40 cm sobre el riel; el balín se suelta desde la parte superior de la rampa y el cronómetro se activa en el momento en el que el balín llega a la parte horizontal del riel, desactivándolo justo cuando alcanza los 40 cm especificados. Luego, se repite varias veces la medida del tiempo para el mismo recorrido y se determina el tiempo promedio que em- Referencias 1 2 3 4 Physics, Volume One, Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane, Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1992. Física universitaria, Francis W. Sears, Mark W. Zemansky, Hugh D. Young, Sexta edición en español, Addison-Wesley Iberoamericana. Física Vol. I: Mecánica, M. Alonso, E. J. Finn, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. Marcelo Fco. Lugo Licona abril 21, 2009 Determinación de la aceleración gravitacional terrestre mediante un péndulo simple Marcelo Fco. Lugo Licona En la presente práctica se supone que sin θ ≈ tan θ, esto permite aproximar la amplitud de la oscilación utilizando las relaciones trigonométricas. Es necesario considerar la longitud del péndulo desde el punto de suspensión hasta el centro de masa, aproximadamente, del objeto que se suspende. Otro aspecto que se debe cuidar es el paso del péndulo entre los brazos de la fotocompuerta, para efectuar las mediciones correctas. Se recomienda realizar, al menos, 10 mediciones del periodo para cada longitud del péndulo y, también, realizarlas para 15 longitudes diferentes. El intervalo conveniente para realizar las medidas está entre 40 cm y 300 cm. Es conveniente utilizar incrementos iguales en la longitud del péndulo para facilitar los cálculos posteriores. La incertidumbre en la longitud del péndulo es la que proporciona el fabricante del instrumento de medición de la longitud. La incertidumbre en la medida del periodo es la incertidumbre tipo A obtenida de las 10 medidas y de la incertidumbre indicada por el fabricante de la fotocompuerta (incertidumbre tipo B); para lo cual bebe consultarse el manual correspondiente. La variable independiente, en este caso, es el periodo y la dependiente, la longitud del péndulo. Introducción El estudio del movimiento de un péndulo simple permite determinar la magnitud de la aceleración gravitacional terrestre y, aunque existen otros métodos para medir tal magnitud, el que se estudia en esta práctica es uno de los más sencillos. Procedimiento Con un péndulo simple (ver figura 1) y una fotocompuerta electrónica que se utiliza como cronómetro, es posible determinar la aceleración gravitacional terrestre que corresponde al lugar donde se realice el experimento. Debe recordarse que el valor de la aceleración cambia con la latitud y la altura respecto al nivel del mar. L fotocompuerta Figura 1. El peso suspendido del hilo pasa entre los brazos de la fotocompuerta para activar el reloj interno de la misma y efectuar la medida del tiempo empleado en el que el péndulo realiza una oscilación, es decir, del periodo. En esta práctica se recomienda que el péndulo oscile con una amplitud máxima de 5° para que se cumpla la siguiente relación: T (L) = 2π L g T ±δT L±δL T1 δT1 L1 T2 δT2 L2 ... ... ... Con los valores de las medidas se construye una Tabla como la de arriba y la gráfica correspondiente, que no es una línea recta, sino una parábola. Para que esta gráfica se convierta en una recta y se facilite un ajuste mediante el método de los mínimos cuadrados, es conveniente hacer lo que se conoce como un cambio de variable. Dicho cambio consiste en construir una Tabla que contenga el cuadrado del periodo como variable independiente y la longitud como variable dependiente. Aquí debe considerarse el hecho de (1) donde T es el periodo de oscilación del péndulo, L su longitud y g la aceleración gravitacional. De lo contrario, habría que hacer otras consideraciones y el experimento se complicaría. 5 Marcelo Fco. Lugo Licona abril 21, 2009 que la incertidumbre en la variable independiente también se ve afectada, debido al cambio de variable. Así, la nueva variable independiente será T2 y su incertidumbre se determina de la siguiente manera: dado que cada medida del periodo se expresa como T±δT, cuando se cambia la variable se tendrá ∂T 2 T 2 ± ∂T m= L= = T 2 ± 2T δT L±dL T12 ±2T1 δT1 L1 T22 ±2T2 δT2 L2 ... ... ... T2 g = 4 π 2 m. Como puede verse, también la incertidumbre ha cambiado y ésta es la que se utilizará en el ajuste mediante el método de los mínimos cuadrados. Ahora, se tendrá una nueva Tabla: ±2T dT g 4π2 (4) de donde puede verse que la gráfica corresponde a la de una recta si en lugar de L vs. T se traza una gráfica L vs. T2, con pendiente g/4π2. Así que, despejando a g de (3) se obtiene (2) T2 (3) pues, si de (1) se despeja a L, se tiene 2 2 2 (δT ) = T 2 ± 4T 2 (δT ) . g 4π2 (5) Y de este modo es como se determina el valor de g experimentalmente. Es importante resaltar el hecho de que además de un experimento bien realizado, es necesario conocer las herramientas matemáticas apropiadas para facilitar los cálculos. Referencias 1 2 En esta Tabla se tiene la nueva variable independiente, T2, con cuyos valores se obtiene la gráfica de una recta, aproximadamente. Ahora, con estos nuevos valores han de obtenerse los parámetros de la recta mediante un ajuste por mínimos cuadrados, donde, una vez obtenida, la pendiente se puede expresar como 3 4 6 Physics, Volume One, Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane, Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1992. Física universitaria, Francis W. Sears, Mark W. Zemansky, Hugh D. Young, Sexta edición en español, Addison-Wesley Iberoamericana. Física Vol. I: Mecánica, M. Alonso, E. J. Finn, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. Mechanics, K. Symon, 3rd edition (Addison-Wesley, 1971), Section 5.3. Marcelo Fco. Lugo Licona abril 21, 2009 Movimiento uniformemente acelerado Marcelo Fco. Lugo Licona Introducción En el movimiento rectilíneo uniforme se encuentra que un objeto en movimiento recorre distancias iguales en intervalos iguales de tiempo, en cambio, en el movimiento uniformemente acelerado (ver la figura 1) la velocidad del objeto en movimiento cambia conforme transcurre el tiempo. Este cambio se debe a que actúa alguna fuerza, que en esta práctica es la fuerza de la gravedad de la Tierra. nómetro para efectuar las mediciones de tiempo de recorrido del balín sobre el riel. Con cinta adhesiva establezca diferentes distancias medidas a partir del extremo más alto del riel, como en la figura 1, de preferencia a intervalos iguales (x1, x2, x3,...) para especificar las posiciones en las que el observador desactivará el cronómetro para medir el tiempo que emplea el balín en recorrer la distancia especificada (t1, t2, t3,...). El ejercicio se repite considerando, al menos, 10 longitudes diferentes, efectuando 15 mediciones de tiempo de recorrido para cada distancia especificada. Luego, se construye una gráfica en la que la variable independiente es el tiempo promedio en cada recorrido y la variable dependiente es la distancia recorrida. Debe considerarse cuidadosamente la incertidumbre en la posición del balín durante las medidas de tiempo, ya que se encuentra en movimiento y el ojo no alcanzará a observar una posición precisa del balín sobre el riel y resulta difícil sincronizar lo que ve el ojo con la medición del tiempo. Sin que sea exagerado, puede considerarse que la incertidumbre en la posición corresponde al diámetro del balín. Por otro lado, la incertidumbre en el tiempo tendrá dos componentes, a saber, una estadística (debida al número de veces que se repiten las medidas) y otra que involucra el factor humano; debe notarse que la persona que mide el tiempo activará o desactivará el cronómetro de manera diferente de una medición a otra. Podría considerarse una tercera componente que es la incertidumbre tipo B especificada por el fabricante del cronómetro, pero ésta se puede despreciar si se toma en cuenta que la más notable es la que corresponde al factor humano. Construya una Tabla con los datos registrados durante el experimento, considerando que el tiempo es la variable independiente y la distancia la variable dependiente. Luego, trace la gráfica de dispersión que le corresponda. Para hacer el ajuste mediante el método de los mínimos cuadrados debe utilizarse el siguiente conjunto de ecuaciones h L Figura1. Movimiento uniformemente acelerado sobre un plano inclinado. La velocidad del móvil se incrementa conforme transcurre el tiempo. Esto implica que recorre distancias cada vez mayores en intervalos iguales de tiempo. El modelo matemático que describe este movimiento es una ecuación de segundo grado, la cual se puede determinar a partir de la aplicación del método de los mínimos cuadrados a los datos resultantes de la medición del tiempo y de las distancias recorridas. x(t) = at 2 + bt + c (1) donde a, b y c son parámetros por determinar mediante el método de los mínimos cuadrados. Procedimiento Disponga un riel como el de la figura 2 y libere, desde la parte superior, un balín, de modo que ruede sin deslizarse. En el momento de liberar al balín se activa el cro- h x1 x2 x3 L Figura 2. Sobre el riel se especifican las posiciones en las que ha de desactivarse el cronómetro para efectuar las mediciones de tiempo de recorrido del balín desde el extremo más elevado del riel. 7 Marcelo Fco. Lugo Licona n a∑ x i4 n + b∑ σ 2 i n x i =1 σ 3 i 2 i + b∑ 2 i 2 i + b∑ i =1 a∑ n x i =1 σ a∑ x i3 σ 2 i n x i =1 σ 2 i 2 i i =1 n i =1 n + c∑ i =1 n + c∑ i =1 xi σ abril 21, 2009 n + c∑ 2 i i =1 x i2 σ 2 i xi σ 2 i n =∑ x i2 y i i =1 σ n xi y i i =1 σ i2 =∑ donde A, B, C, D y E se han definido anteriormente. Así, para determinar las incertidumbres en los parámetros se tiene que 2 i (2) δa = n y 1 = ∑ 2i 2 σi i =1 σ i A=∑ x i4 σ 2i n 1 E=∑ 2 i =1 σ i i =1 n x i3 i =1 σ i2 ,B=∑ n x i2 i =1 σ 2i ,C = ∑ n n xi i =1 σ i2 ,D=∑ j db = ∑ j dc = ∑ j σ 2j i =1 ∆= ∆2 σ 2j ∆2 σ 2j ∆ 2 [( ) [ ( ) ] n i =1 2 2 j dc (4) + (CB − AD) x j + CA − B 2 ] x 2 i 3 i 2 i 2 i 2 i n x i3 ∑σ i =1 n x ∑σ i =1 n i =1 x i2 ∑σ 2 i ∑σ xi ∑σ n ∑σ 2 i 2 i 2 i i =1 n xi i =1 n i =1 2 i 2 i (5) 1 2 i que es el determinante del sistema de ecuaciones (2). Con los resultados obtenidos se pueden construir las curvas de incertidumbre y la curva ajustada. Recuerde que el trabajo se facilita si, primero, se efectúan las sumas y después las operaciones aritméticas y algebraicas. Loa cálculos Los desarrollos de las ecuaciones (3) se obtuvieron utilizando el programa Maple. Cuando las operaciones se realizan utilizando una hoja de cálculo se debe tener cuidado con la precisión de la computadora que se utilice, ya que se encontrará con operaciones entre números muy pequeños y/o muy grandes, lo cual puede producir resultados inconsistentes con los experimentos. Para realizar los cálculos de todas las operaciones anteriores se recomienda usar algún programa que facilite esta tarea, como Mathcad, Maple, Mathematica, Origin, Mathlab, etcétera, ya que en una hoja de cálculo es complicado efectuarlas sin cometer errores. Si desea obtener los archivos para efectuar los cálculos escriba a [email protected] y se le enviarán dos plantillas, una para usarse con Excel™ y otra con Mathcad™ 2001i y versiones más recientes. Nota importante. La razón para considerar al polinomio completo para hacer el ajuste mediante cuadrados mínimos reside en el hecho de que el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado cumple con un polinomio semejante, donde los parámetros a, b y c corresponden a la aceleración, la velocidad inicial y la posición inicial del balín durante el experimento. Esto no es extraño, ya que el método de ajuste da resultados con las unidades correspondientes a cada parámetro, lo cual permite efectuar una interpretación muy sencilla de los mismos, al mismo tiempo que, junto con sus incertidumbres respectivas, proporciona información acerca 2 (DC − EB) x 2j + EA − C 2 x j + BC − AD [(DB − C )x x ∑σ 2 ] n ∑σ i =1 y EC − D 2 x 2j + (CD − EB) x j + DB − C 2 x i4 ∑σ En este caso, basta con efectuar las sumas indicadas en (2) y resolver el sistema de ecuaciones numéricamente. Incluya las unidades de medida en las sumas para que, de este modo, las unidades resultantes en la solución del sistema de ecuaciones permita hacer la interpretación física de los parámetros que corresponden al modelo matemático así obtenido. En esta práctica, el ajuste mediante los mínimos cuadrados se aplica directamente a un polinomio de orden 2 y no se recomienda efectuar un cambio de variable para hacer un ajuste lineal, ya que en este polinomio de segundo grado se encuentran términos que tienen una interpretación física bien definida, lo cual da lugar a una estrecha relación entre los temas que se tratan en la teoría y los resultados obtenidos en el laboratorio. Recuerde que en un laboratorio es difícil trabajar en condiciones ideales. Las incertidumbres en los parámetros del modelo matemático que describe al movimiento del balín de esta práctica se pueden obtener utilizando el siguiente conjunto de ecuaciones da = ∑ db , δc = donde donde a, b y c son, como ya se mencionó anteriormente, los parámetros que definen la ecuación de segundo grado que describe al movimiento del balín sobre el riel, en las condiciones especificadas por cada experimentador. Para facilitar los cálculos posteriores conviene asignar nombres a las sumas; como sugerencia podrían ser los siguientes: n da , δb = 2 (3) 8 Marcelo Fco. Lugo Licona abril 21, 2009 del cuidado que se tuvo o no al momento de hacer el experimento. El hecho de que la velocidad inicial y la posición inicial resultantes del ajuste no sea cero en todos los casos invita a reflexionar acerca de las fluctuaciones estadísticas que se presentan en el experimento, o bien a considerar las condiciones del arreglo experimental por parte del observador. Quizás esto permita que el experimentador tome en cuenta que existan o se construyan otros instrumentos de medición. En todo caso, el ejercicio da lugar a una buena discusión. Referencias 1 2 3 9 Experimentación. Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos, D. C. Baird, Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A. Segunda Edición, 1991. Data reduction and error analysis for the physical sciences, Bevington, Philip R., Robinson, D. Keith, McGraw-Hill, Inc., Second Edition, 1992. Evaluación de la incertidumbre en datos experimentales, Miranda Martín del Campo Javier, 2001.