15. Cristales clásicos: modos normales.

Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
15-1
15. Cristales clásicos: modos normales.
[Ynd 7]
Motivación
Los cristales pueden ser utilizados como modelos prototı́picos
de un sistema de muchos cuerpos, en el que los grados de
libertad fı́sicos relevantes para
la dinámica (e.g. los fonones)
emergen como propiedades
colectivas a las que contribuyen
muchas interacciones a nivel
microscópico entre los constituyentes fundamentales (átomos,
y, en en el caso de materiales
(semi)conductores, electrones
libres).
un cristal bidimensional,
desde el punto de vista
de los núcleos
un cristal bidimensional,
desde el punto de vista
de los electrones
Más allá de revisitar aspectos esenciales de la dinámica de un cristal desde un punto
de vista de fı́sica fundamental, nos concentraremos en cómo tratar la dinámica de
un sistema de muchos cuerpos (i.e. muchos operadores {(x̂1 , p̂1 ), . . . , (x̂N , p̂N )})
usando campos φ̂(x, t).1 Esto se puede hacer de dos maneras diferentes:
(i) Se define un campo clásico que contiene las vibraciones de muchos sitios de
una red, y a continuación se definen amplitudes cuánticas usando una (generalización de la) integral de camino. Partiendo de dichas amplitudes, es posible
definir estados cuánticos de una partı́cula (fonones).
(ii) Se definen estados de una partı́cula en el espacio de Fock, y a continuación,
usando un procedimiento llamado cuantización canónica, se define un campo
cuántico. Esta construcción (que, como veremos, está basada en el tratamiento
del oscilador armónico con operadores de destrucción y aniquilación) es llamada formalismo de segunda cuantización.
Nuestra estrategia consistirá en estudiar primero en detalle el problema en el lı́mite
clásico, y a continuación aplicar el segundo procedimiento (cuantización canónica)
1
Para tener una medida de comparación, recuérdese e.g. cómo en la hidrodinámica clásica se
describe un fluido no P
en términos de las posiciones {xi , i = 1, . . . , N } de sus constituyentes, sino de
(3)
la densidad ρ(x, t) = N
[x − xi (t)].
i=1 δ
15-2
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
para estudiarlo a nivel cuántico. El formalismo de integral de camino será ilustrado
a un nivel elemental usando el ejemplo del condensado de Bose-Einstein.
Hamiltoniano: consideraciones generales
Consideremos una cadena unidimensional con espaciado a y átomos en las posiciones
xn , y desplazamientos qn := xn − xn,0 alrededor de sus posiciones de equilibrio. Con
el fin de elucidar algunos conceptos, consideraremos tanto una cadena infinita como
una con un número finito N de átomos (y por lo tanto una longitud finita L = N a)
y condiciones de contorno periódicas. En ambos casos los números de onda k del
sistema están restringidos al intervalo [−π/a, π/a], debido al espaciado finito de la
cadena; pero para la cadena infinita k es continuo en el intervalo, mientras que para
2π
la cadena finita k está cuantizado en unidades de 2π
L = N a . Estas condiciones, obviamente, implican restricciones sobre los valores posibles de las energı́as y frecuencias
caracterı́sticas del sistema.
N
1
2
...
...
a
�
a
��
...
...
� �� �
�
La energı́a cinética total será
T =
X1
k
2
mn ẋ2n =
X1
k
2
mn q̇n2 :=
X p2
n
.
2mn
(15.1)
k
La energı́a potencial total V será, en general, una función de todos los desplazamientos {qn }. Si las interacciones entre átomos cercanos son lo suficientemente débiles,
será razonable desarrollar V en serie de Taylor,
1X
Vnn0 qn qn0 + O(q 3 )
2
n
nn0
∂V ∂ 2 V Vn :=
; Vnn0 :=
∂qn qk =0 ∀k
∂qn ∂qn0 qk =0
V (q1 , q2 , . . .) = V0 +
V0 := V (0, 0, . . .) ;
Supondremos que
X
Vn qn +
(15.2)
.
∀k
15-3
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
(i) El potencial es real; en particular, Vnn0 ∈ R ∀n, n0 .
(ii) Las interacciones son simétricas, i.e. el potencial no cambia si se intercambian
dos puntos de la cadena. Esto implica, en particular, Vnn0 = Vn0 n .
(iii) El sistema es invariante bajo traslaciones; esto implica, en particular, Vn =
0 ∀n.
Si consideramos una cadena finita, Vnn0 será una matriz N × N . Al ser dicha
matriz real y simétrica,
serán no negativos, y existirá un sistema de
P sus autovalores
√
coordenadas Qn = n0 Rnn0 mn0 qn0 , con RT R = 1, en el que V = diag(Ω21 , Ω22 , . . .).
Una vez realizado este cambio de variables, y despreciando los términos O(q 3 ) en el
desarrollo de V , el hamiltoniano del sistema se podrá escribir como
H=
X
Hn + V0 ,
n
1
1
Hn = Q̇2n + Ω2n Q2n = N |αn |2 ,
2
2
Ωn
αn (t) := √
2N
Qn +
i
Q̇n
Ωn
(15.3)
,
i.e. una suma de hamiltonianos de oscilador armónico para cada uno de los átomos
de la cadena.2 {Qn } se llaman coordenadas normales, y {αn } (aquı́ definidos salvo
una normalización N , de cuyo valor nos ocuparemos más tarde), se llaman modos
normales. Es trivial ver que estos últimos satisfacen la ecuación de movimiento
α̇n (t) = −iΩn αn (t) → αn (t) = αn (0)e−iΩn t ,
(15.4)
donde αn (0) está fijado por las condiciones iniciales. El valor de V0 es fı́sicamente
irrelevante, y sirve para fijar el cero de energı́as.
En el caso de una cadena infinita la única diferencia es que la matriz Vnn0 tiene
dimensión infinita, y el espectro de frecuencias asociado será continuo en lugar de
discreto. A continuación veremos un ejemplo explı́cito.
Este ejercicio nos ha enseñado que, para interacciones suficientemente pequeñas,
el sistema se puede describir como una superposición de osciladores armónicos independientes, y toda la información dinámica está contenida en el espectro de frecuencias {Ωn }. Evidentemente, encontrar {αn } y {Ωn }, que dependen del potencial
de interacción concreto, es un problema en general complicado.
√
Para seguir convenciones habituales, hemos reescaleado con un factor m para pasar a coordenadas normales, de manera que en este último hamiltoniano no aparecen masas.
2
15-4
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
Sistema de osciladores independientes
El caso trivial de potencial de interacción especı́fico es una combinación de osciladores independientes con masas y frecuencias idénticas, descrita por
H=
X p2
1
+ mω 2 qn2
2m
2
n
n
+ V0 .
(15.5)
En este sistema las coordenadas normales son, simplemente, Qn =
ω ∀n. Los modos normales son (pn = mq̇n )
r
αn (t) =
mω
2~
√
i
qn +
pn ,
mω
mqn , y Ωn =
(15.6)
donde la normalización N de (15.3) ha sido fijada de una forma que resultará conveniente a la hora de cuantizar el sistema.3 La relación inversa entre modos normales
y variables canónicas es
r
~
[αn (t) + αn∗ (t)] ,
2mω
r
2
pn (t) = −i
[αn (t) − αn∗ (t)] ,
~mω
qn (t) =
(15.7)
Sustituyendo en (15.9) con λ = 0 se obtiene inmediatamente
H=
X
~ω |αn (t)|2 + V0 ,
(15.8)
n
y la ecuación de movimiento es αn (t) = αn (0)e−iωt .
Cadena infinita con interacción a primeros vecinos: solución en modos
normales
Ahora resolveremos explı́citamente el caso no trivial más sencillo: un sistema con
todos los átomos iguales (mn = m ∀n) y un potencial de interacción a primeros
vecinos que sólo depende de dos parámetros positivos (ω, λ),
H=
X p2
n
n
3
2m
+
1
1
mω 2 qn2 + λ(qn+1 − qn )2
2
2
¡Obviamente, el sistema clásico no sabe nada sobre ~!
+ V0 ,
(15.9)
15-5
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
y cuyas correspondientes ecuaciones de Hamilton son

1

pn (t) ,
 q̇n (t) =
m


ṗn (t) = −mω 2 qn (t) + λ [qn+1 (t) + qn−1 (t) − 2qn (t)] .
(15.10)
Para encontrar los modos normales, pasamos al espacio de momentos y proponemos
como ansatz una expansión en modos de Fourier de la forma4
X
i
−ikan
qn (t) +
pn (t) .
(15.11)
α(k, t) = A(k)
e
mΩ(k)
n
En esta expresión los coeficientes de la expansión tienen la misma forma que αn ,
con la sustitución ω → Ω(k), donde Ω(k) es el espectro de autofrecuencias; y A(k)
es un factor de normalización que ajustaremos de manera conveniente.
Nuestro objetivo es encontrar el valor de Ω(k) que hace que la ecuación de
movimiento para el modo normal tenga la forma correcta
α̇(k, t) = −i Ω(k) α(k, t) .
(15.12)
Para ello calculamos α̇(k, t):
α̇(k, t) = A(k)
X
e
−ikan
n
i
ṗn (t)
q̇n (t) +
mΩ(k)
= (ecuaciones de Hamilton)
X
= A(k)
e−ikan ×
n
1
i
2
×
pn (t) +
−mω qn (t) + λ (qn+1 (t) + qn−1 (t) − 2qn (t))
m
mΩ(k)
(
)
λ
λ
X
i(ω 2 + 2 m
)
im
1
−ikan
= A(k)
e
pn (t) −
qn (t) +
[qn+1 (t) + qn−1 (t)] .
m
Ω(k)
Ω(k)
n
(15.13)
Ahora bien:
X
e−ikna qn±1
n
=
n0 :=n+1
=
n:=n0
4
X
n0
±ika
e
0
e−ik(n ∓1)a qn0 = e±ika
X
X
n0
−ikna
e
qn ,
n
Nótese que xn = an son las posiciones de los átomos.
0
e−ikn a qn0
(15.14)
15-6
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
y por lo tanto
=2 cos ka
z
}|
{
ika
−ika
λ
2
X
)]
ω + m [2 − (e + e
−ikan 1
e
α̇(k, t) = A(k)
pn (t) − i
qn (t)
m
Ω(k)
n
(15.15)
−iA(k) ω 2 + 2λ
m (1 − cos ka)
×
=
Ω(k)
(
)
Ω(k)
X
m
e−ikna qn (t) + i
×
p (t) ,
2 + 2λ (1 − cos ka) n
ω
m
n
expresión que es trivialmente proporcional a α(k, t) si imponemos que el coeficiente
de pn sea igual a i[mΩ(k)]−1 , lo que ocurre para
Ω2 (k) = ω 2 +
2λ
(1 − cos ka)
m
(relación de dispersión).
(15.16)
α(k, t) = α(k, 0)e−iΩ(k)t ,
(15.17)
Con esta elección
α̇(k, t) = −iΩ(k)α(k, t)
⇒
como querı́amos. Obviamente, el resultado para λ = 0 está incluido de manera
trivial.
Si hubiéramos considerado la cadena finita periódica, la solución serı́a algo más
complicada, pero el resultado es el mismo a menos de términos de orden O(1/N ),
que se pueden despreciar si N es suficientemente grande. (Por ejemplo, (15.14) no
se cumple, ya que aparecen términos extra debidos al carácter finito de la cadena,
lo que modificará la relación de dispersión.) Recuérdese, además, que en ese caso
el número de ondas k no es continuo en [−π/a, π/a], sino que está cuantizado en
unidades de N2πa en ese mismo intervalo.
Normalización canónica del hamiltoniano
Los resultados que acabamos de obtener son independientes del valor de la normalización A(k). Para fijar A(k) imponemos que el hamiltoniano, escrito en términos
de los modos normales, tenga la forma
Z
H=
π/a
dk ~Ω(k)|α(k, t)|2 + V0 .
−π/a
(15.18)
15-7
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Para realizar el cálculo, empezamos por sustituir (15.11) en la integral de (15.18),
Z
Z
π/a
dk ~Ω(k)|α(k, t)|2 =
π/a
dk ~Ω(k)|A(k)|2 ×
−π/a
−π/a






X
i
1
ika(n−n0 )
×
e
qn qn0 +
[qn pn0 − qn0 pn ] + 2 2 pn pn0
{z
} m Ω (k)


mΩ(k) |


n,n0
=0 bajo la suma
Z
1
2~|β|2 π/a X ika(n−n0 ) pn pn0
2
dk
e
+ mΩ (k)qn qn0 ,
=
m
2m
2
−π/a
0
n,n
(15.19)
p
donde en el penúltimo paso hemos introducido el ansatz A(k) = β Ω(k), con β
una constante independiente de k. Ahora conmutamos las sumas sobre k y (n, n0 ) e
introducimos la fórmula explı́cita de la relación de dispersión (15.16); lo que queda
bajo la suma es
1
2
Z
π/a
0
dk eika(n−n )
−π/a
o
np p 0 h
i
n n
+ mω 2 + 2λ − λ(eika + e−ika ) qn qn0 .
m
(15.20)
2π
δm,n∓η ,
a
(15.21)
Usando
Z
π/a
dk eika(m−n±η) =
−π/a
η = 0, 1 ,
la integral se reduce a
o
πn
pn pn0 δnn0
+ (mω 2 + 2λ)δnn0 − λ(δn,n0 −1 + δn,n0 +1 ) qn qn0 ,
a
m
(15.22)
lo que permite eliminar la suma en n0 , y concluir, después de redefinir convenientemente los ı́ndices de suma,
1
1
4π~|β|2 X p2n
2 2
2
dk ~Ω(k)|α(k, t)| =
+ mω qn + λ(qn+1 − qn )
.
am
2m
2
2
−π/a
n
Z
π/a
2
(15.23)
Por lo tanto, basta elegir el valor adecuado de β para que el resultado reproduzca (15.9): a menos de una fase arbitraria, que fijamos a la unidad,
amΩ(k)
A(k) =
4π~
1
2
.
(15.24)
15-8
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En el caso de una cadena finita periódica, de nuevo, estos resultados son válidos
sólo a menos de correcciones O(1/N ). En ese caso la integral sobre k debe ser reemplazada por una suma sobre los N valores permitidos (suponemos por simplicidad
que N es par)
k=
2π
l, ,
Na
l = −N/2 + 1, . . . , N/2 ,
(15.25)
y despreciando los términos O(1/N ) se obtiene
mΩ(k)
A(k) =
2N ~
1
2
.
(15.26)
Relación inversa entre modos normales y variables canónicas
Una vez fijado A(k), es trivial invertir la relación (15.11) realizando la transformación
de Fourier inversa; para la cadena infinita
r
Z π/a
o
a~
dk n ikna
p
qn (t) =
e
α(k, t) + e−ikna α∗ (k, t) ,
4πm −π/a Ω(k)
r
Z
n
o
p
a~m π/a
pn (t) = −i
dk Ω(k) eikna α(k, t) − e−ikna α∗ (k, t) .
4π −π/a
(15.27)