Una introducción a la mecánica cuántica

Una introducción a
la mecánica cuántica
Luis Rincón
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias UNAM
XXI Semana de las Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
1 de marzo de 2013
Luis Rincón
Mecánica cuántica
El término cuántico
El término cuántico proviene del latı́n quanta, que significa
“qué tan grande” o “cuánto”, y se refiere al hecho de que algunas
cantidades fı́sicas fundamentales varı́an únicamente en cantidades
discretas y no de manera continua como uno podrı́a inicialmente
suponer. Por ejemplo, la medición de la energı́a de un átomo en
reposo arroja cantidades discretas de posibles valores. Otras
variables o mediciones que presentan esta cualidad se dice que
están cuantizadas.
Ası́, la mecánica cuántica se refiere a una teorı́a fı́sica creada para
modelar los fenómenos de la naturaleza a escala microscópica, en
donde el fenómeno de cuantización se presenta.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Antecedentes
Al final del siglo XIX se demostró a través de ciertos experimentos,
tanto a nivel macroscópico como a nivel molecular, que la fı́sica
clásica conducı́a a predicciones erróneas o por lo menos que no
podı́a explicar plenamente. Se encontró que la mecánica de
Newton y las teorı́a fı́sicas clásicas no eran adecuadas para
describir ciertos fenómenos de la naturaleza.
Durante la primera mitad del siglo XX se construyó una nueva
teorı́a, llamada mecánica cuántica, la cual describe con
sorprendente exactitud los fenómenos del mundo microscópico.
Esta teorı́a representó toda una revolución en el mundo de la fı́sica,
aún continúa en desarrollo, sus aplicaciones son numerosas y sus
usos con cada vez más cotidianos conforme el avance de la
tecnologı́a requiere de la manipulación controlada de objetos cada
vez más pequeños.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Experimento de Stern-Gerlach
Un haz de átomos, cuyo momento magnético es µ, atraviesan un
campo magnético B dirigido en la dirección z. Los átomos se
refractan al atravesar el campo magnético y llegan a una pantalla
S. Si se mide la refracción sobre esta pantalla se puede encontrar
la componente µz del momento magnético µ de los átomos.
z
µz
Átomos con
momento
magnético µ
S
B
Campo
magnético
Luis Rincón
x
Mecánica cuántica
Experimento de Stern-Gerlach
De acuerdo a la mecánica clásica todos los valores reales entre
−|µ| y |µ| son posibles para µz . De modo que todo un continuo de
valores en este intervalo debe observarse para µz . Si embargo esto
no sucede en los experimentos:
Sólo un conjunto finito de valores se observan para µz ,
igualmente espaciados entre −|µ| y |µ|.
Para cierto tipo de átomos, sólo hay dos posibles valores para µz ,
−|µ| y |µ|. Resulta que los electrones poseen momento angular,
conocido como spin, y que el momento magnético del átomo es
proporcional a su momento angular. Y para algunos átomos, el
momento angular es igual al spin del electrón en la órbita externa.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Experimento de Stern-Gerlach
Experimentalmente se ha encontrado que los valores del momento
angular son:
Sz
Sz
1
= + ~
2
1
= − ~
2
(spin arriba),
(spin abajo),
en donde h = 2π~ es la constante de Planck. De esta forma se dice
que el electrón es una partı́cula spin- 21 . Tomaremos éste como un
caso particular de interés. Denotaremos a estos dos valores como
|+iz
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y
|−iz .
Mecánica cuántica
Aparatos de Stern-Gerlach en serie
|+iz
Sz
|−iz
|+iz
Sz
|+iy
|+iz
Sz
|−iz
Sy
|−iy
Uno tenderı́a a pensar, en el segundo caso, que la mitad de los
átomos que ingresan en el segundo aparato tienen componentes
|+iz y |+iy , y la otra mitad |+iz y |−iy . Esto no es ası́.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Aparatos de Stern-Gerlach en serie
|+iy
|+iz
Sz
Sy
|−iz
|−iy
|+iz
Sz
|−iz
Observaciones inesperadas:
1. Las componentes |+iz y |−iz aparecen nuevamente del tercer
aparato!!! Sucede que el segundo aparato filtra el estado |+iy
y al hacerlo destruye la información del valor de Sz .
2. Si en el segundo aparato los átomos con valor |−iy no son
bloqueados, entonces sólo el componente |+iz sale del tecer
aparato.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Experimento de la doble ranura de Young
¿Es la luz un haz de partı́culas o una onda?
1. Newton: son partı́culas.
2. Maxwell: son ondas electromagnéticas.
3. Einstein: es un haz de partı́culas elementales llamadas fotones.
El experimento de la doble ranura de Young establece que para
tener una descripción completa del comportamiento experimental
de la luz se debe aceptar que ésta es tanto una haz de partı́culas
como una onda.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Experimento de la doble ranura de Young
Se emite un haz de luz y se hace pasar éste a través de dos ranuras
iluminando después una pantalla (placa fotográfica).
Si únicamente una de las ranuras se encuentra abierta entonces se
obtiene una intensidad sobre la pantalla con valor máximo a la
altura de la ranura y decayendo suavemente hacia los lados. Si
ambas ranuras se encuentran abiertas se obtienen franjas
alternantes de intensidades altas y bajas.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Experimento de la doble ranura de Young
Observaciones:
1. Si la intensidad de la luz se reduce de tal forma que la fuente
emite fotones uno por uno, entonces estos fotones se registran
en la pantalla de manera puntual. No se producen
interferencias pero la posición de estos puntos no son como
los predice la mecánica clásica sino que siguen un patrón
probabilı́stico dado por las interferencias que disminuyen pero
no desaparecen. (Comportamiento de partı́cula pero no clásica
sino probabilı́stica).
2. Si el tiempo de exposición de la placa fotográfica aumenta, se
registrarán cada vez mas fotones y la franjas de intensidades
altas y bajas aparecen nuevamente. (Comportamiento de
onda).
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Experimento de la doble ranura de Young
Observaciones:
3. Ası́, los conceptos de onda y partı́cula no son mutuamente
excluyentes sino ambos necesarios y coexisten formando el
concepto de dualidad onda-partı́cula.
4. Si se coloca un contador de fotones en cada una de las
ranuras de tal forma que se conozca la ranura a través de la
cual pasó un fotón, las interferencias se destruyen. Esto lleva a
abandonar el concepto de trayectoria y a aceptar que no se
puede conocer la evolución en el tiempo de una partı́cula a
pesar de conocer sus condiciones iniciales y su ley de
movimiento.
5. La naturaleza es intrı́nsecamente probabilı́stica.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Preliminares
Una manera rápida de presentar a la mecánica cuántica es a través
de sus postulados matemáticos. Estos axiomas podrı́an parecer no
naturales pero han resultado corresponder bastante bien con los
fenómenos fı́sicos que se quieren representar.
De manera clásica, el estado de un sistema a un tiempo t0
está determinado por la posición x(t0 ) y la velocidad ẋ(t0 ).
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Preliminares
Si tomamos estas posiciones y velocidades como condiciones
iniciales, entonces la evolución de este sistema está regido por las
leyes de Newton de la mecánica clásica. Estas leyes determinan el
estado del sistema en cualquier otro tiempo t:
1. Primera ley (ley de la inercia).
2. Segunda ley (ley de fuerza).
3. Tercera ley (ley de acción y reacción).
Para la mecánica cuántica se requiere un esquema matemático
diferente:
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Espacios de Hilbert
Sea H un espacio vectorial. Un producto interior definido sobre
este espacio es una función h·, ·i : H × H en un campo escalar K
tal que cumple
1. hx + y , zi = hx, zi + hy , zi
2. hαx, y i = αhx, y i
3. hx, y i = hy , xi
4. hx, xi ≥ 0
5. hx, xi = 0 ⇔ x = 0
De este producto interior puede definirse una norma en H de la
siguiente forma
p
kxk = hx, xi
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Espacios de Hilbert
Y también puede definirse una métrica sobre H de la siguiente
forma
p
d(x, y ) = kx − y k = hx − y , x − y i
Un espacio de Hilbert es entonces un espacio vectorial con un
producto interior definido y que es completo bajo la métrica dada
por el producto interior.
En un espacio de Hilbert se tiene el concepto de ortogonalidad: se
dice que dos vectores x y y son ortogonales si hx, y i = 0. Para
denotar el producto interior de dos vectores usaremos también la
notación hx|y i.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Ejemplos de espacios de Hilbert
1. Rn con producto interior el producto Euclideano
hx, y i = x1 y1 + · · · + xn yn .
2. L2 [a, b], el espacio de todas las funciones continuas x(t)
cuadrado integrables, definidas sobre [a, b] con valores
complejos. El producto interior es
hx, y i =
Z
b
x(t)y (t) dt.
a
3. Cn con producto interior
hx, y i = x1 y1 + · · · + xn yn
En particular, C2 .
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Mecánica cuántica
Postulado I de la mecánica cuántica
¥ El estado de un sistema cuántico está dado por un vector unitario |ψi en un espacio de Hilbert H . La evolución
en el tiempo del vector de estado |ψi está dada por la
ecuación de Schrödinger
i~
∂
|ψt i = H |ψt i
∂t
en donde H es un operador diferencial autoadjunto conocido como el Hamiltoniano del sistema, ~ = h/2π con h
la constante de Planck.
El uso del sı́mbolo |ψt i para denotar a un vector se debe a Dirac.
La norma al cuadrado de la función de onda |ψt i se interpreta
como una distribución de probabilidad.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Qubits: ejemplo de un sistema cuántico
Un qubit o bit cuántico (quantum bit) es un vector de norma
unitaria en el espacio de Hilbert C2 , es decir, es un vector de la
forma
µ ¶
α
|ψi =
β
en donde α, β ∈ C son tales que |α|2 + |β|2 = 1. Se pueden definir
los siguientes vectores, los cuales constituyen una base ortonormal
de C2 :
µ ¶
1
|0i =
0
µ ¶
0
|1i =
1
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Qubits
Un qubit puede escribirse entonces en la forma
µ ¶
α
= α|0i + β|1i.
|ψi =
β
En esta situación se dice que el vector |ψi se encuentra en un
estado de superposición de los estados base |0i y |1i, los dos
estados a un mismo tiempo. Esto contrasta con los valores 0 o 1
que un bit clásico puede tomar en cualquier momento.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Representación estándar de un qubit
Sin pérdida de generalidad (haciendo un cambio de fase) uno
puede considerar que el coeficiente α es real y positivo (excepto
para el vector base |1i), y por lo tanto un qubit puede también
representarse de la siguiente forma
|ψi = cos
θ
θ
|0i + e iφ sen |1i =
2
2
µ
cos 2θ
e iφ sen 2θ
¶
en donde 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ φ < 2π. Observe que
a) cuando θ = 0,
b) cuando θ = π,
|ψi = |0i.
|ψi = e iφ |1i.
Haciendo variar los ángulos θ y φ se obtiene el espacio en el que
vive un qubit:
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Otra representación del qubit
|ψi = cos 2θ |0i + e iφ sen 2θ |1i
Esfera de Bloch:
0≤θ≤π
0 ≤ φ < 2π
z
b
|0i
θ
φ
x
b
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y
|1i
Mecánica cuántica
Esfera de Bloch
Un punto sobre la esfera de Bloch tiene coordenadas (x, y , z) en
donde con x 2 + y 2 + z 2 = 1. Entonces, dados θ y φ,
x
= sin θ cos φ
y
= sin θ sin φ
z
= cos θ
Recı́procamente, dados x, y y z en R con x 2 + y 2 + z 2 = 1, se
puede demostrar que
r
1+z
x + iy
|ψi =
|1i
|0i + p
2
2(1 + z)
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Esfera de Bloch
z
θ
cos θ
si n
θ
si
φ
os φ n θ
c
θ
sin sin θ sin φ
x
Luis Rincón
Mecánica cuántica
y
Preliminares para el segundo postulado:
operadores lineales
Un operador en un espacio de Hilbert H es un mapeo
A : H → H el cual se dice que es lineal si cumple la identidad
A(ax + y ) = aAx + Ay .
En el caso de C2 , respecto de una cierta base de vectores para este
espacio, un operador lineal A tiene una representación matricial
µ
¶
a b
A=
.
c d
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Mecánica cuántica
Ejemplos de operadores lineales: Proyecciones
Sea |αi un vector unitario. La proyección Pα = |αihα| es el
operador
Pα |γi = |αihα| (|γi) = |αihα|γi = hα|γi |αi.
Observe que Pα efectivamente proyecta cualquier vector en la
dirección del vector |αi, es decir, se cumple que:
a) Pα |αi = |αihα|( |αi) = |αihα|αi = |αi.
b) Pα |γi = hα|γi |αi = 0, cuando hα|γi = 0.
c) Pα2 |γi = Pα (hα|γi |αi) = hα|γi Pα |αi = hα|γi |αi = Pα |γi.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Operadores de Pauli
Otros ejemplos de operadores lineales, en particular sobre el
espacio de Hilbert C2 , son los operadores de Pauli:
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1 0
0 1
0 −i
1 0
σ0 =
, σx =
, σy =
, σz =
0 1
1 0
i 0
0 −1
que cumplen las relaciones:
a) σx2 = σy2 = σz2 = I .
b) σx σy = iσz .
c) σy σz = iσx .
d) σz σx = iσy .
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Operador adjunto
Para cualquier operador lineal A sobre un espacio de Hilbert, existe
un único operador lineal A† sobre el mismo espacio, llamado el
operador adjunto de A tal que
hx|Ay i = hA† x|y i.
Este nuevo operador A† es tal que se cumplen las siguientes
identidades:
a) hAx|y i = hx|A† y i, es decir, A = (A† )† .
b) (A + B)† = A† + B † .
c) (AB)† = B † A†
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Operador autoadjunto
Un operador A es autoadjunto (o Hermitiano) si A† = A.
Propiedades:
1. Un operador autoadjunto tiene todos sus eigenvalores reales.
En efecto, si Ax = ax, entonces en particular,
⇒
hx|Axi = hA† x|xi
hx|Axi = hAx|xi
⇒
hx|axi = hax|xi
⇒
ā = a
⇒
āhx|xi = ahx|xi
Por ejemplo, los operadores de Pauli σx , σy y σz son
autoadjuntos.
2. Los eigenvectores de un operador autoadjunto forman un
conjunto ortonormal en el espacio de Hilbert.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Otro tipos de operadores
Operador inverso:
Si B es tal que AB = BA = I entonces B = A−1
Operador normal: AA† = A† A
Operador unitario: AA† = A† A = I , es decir, A† = A−1
Por ejemplo, los operadores de Pauli σx , σy y σz son autoadjuntos
y unitarios. Una caracterı́stica importante de los operadores
unitarios es que preservan el producto interior, es decir,
hAx|Ay i = hx|y i.
Por lo tanto estos operadores no cambian la norma de un vector.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Postulado II de la mecánica cuántica
¥ A cada observable A del sistema se le asocia un operador autoadjunto definido sobre H . Los únicos posibles
resultados de una medición de una observable A son sus
eigenvalores. Si A|xi = ax |xi, entonces la probabilidad de
que una medición de la observable tenga como resultado
el valor ax está dada por
P(A = ax ) = |hx|ψi|2 = |cx |2
P
en donde |ψi = x cx |xi, con |xi una base ortonormal de
eigenvectores del operador A.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Ejemplo: Operador σz
Por ejemplo, el operador σz es autoadjunto y tiene como
eigenvectores |0i y |1i, en efecto,
µ
¶µ ¶
µ ¶
1
1
1 0
σz |0i =
= (+1)
= (+1) |0i
0 −1
0
0
µ
µ ¶
¶µ ¶
0
0
1 0
= (−1) |1i
σz |1i =
= (−1)
0 −1
1
1
Si |ψi = cos 2θ |0i + e iφ sen 2θ |1i, como resultado de la medición y
según el postulado II, uno obtiene el valor +1 o −1 con
probabilidades
θ
= p0 ,
2
θ
= sen2
= p1 .
2
|h0|ψi|2 = cos2
|h1|ψi|2
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Postulado III de la mecánica cuántica
¥ Si el estado de un sistema es el vector |ψi y si se
realiza una medición de la observable A, obteniéndose el
valor (eigenvalor) a, entonces inmediatamente después de
la medición, el estado del sistema es
P |ψi
p a
hψ|Pa |ψi
en donde Pa es el operador proyección sobre el subespacio
correspondiente al eigenvalor a.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Ejemplo: un volado cuántico
Considere un qubit en el estado general
|ψi = α|0i + β|1i.
Una aplicación de la observable σz produce el resultado +1 o −1
con probabilidades
|h0|ψi|2 = |α|2 ,
|h1|ψi|2 = |β|2 ,
y colapsa al qubit a alguno de los estados base |0i o |1i.
Ası́, un volado cuántico equilibrado es una aplicación de σz de un
qubit en el estado
1
|ψi = √ (|0i + |1i).
2
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Mecánica cuántica
Valores esperados
Si el observable A tiene eigenvectores |xi con eigenvalores ax ,
como en el segundo postulado, entonces el valor esperado del
operador A es
X
hAi =
ax P(A = ax )
x
=
X
ax |hx|ψi|2
=
X
ax hx|ψi∗ hψ|xi
=
X
ax hψ|xihψ|xi
x
x
x
= hψ|
X
x
ax |xihx| |ψi
= hψ|A|ψi.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Medición del estado de un qubit
El estado de un qubit puede ser medido si es que se tiene a
disposición un número grande de qubits preparados idénticamente.
Usando los operadores de Pauli σx , σy y σz , para un qubit en el
estado |ψi = cos 2θ |0i + e iφ sen 2θ |1i se tiene los siguientes cálculos
(valores esperados)
µ
¶
0 1
hψ|σx |ψi = hψ|
|ψi = sen θ cos φ = x
1 0
µ
¶
0 −i
hψ|σy |ψi = hψ|
|ψi = sen θ sen φ = y
i 0
µ
¶
1 0
hψ|σz |ψi = hψ|
|ψi = cos θ = z
0 −1
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Medición del estado de un qubit
De lo anterior,
p0 − p1 = cos2
θ
θ
− sen2 = cos θ = z
2
2
Por lo tanto, la coordenada z es la diferencia de las probabilidades
de obtener +1 y −1 de una medición de σz , es decir,
z≈
N0 N1
−
N
N
en donde N es el número de sistemas idénticamente preparados en
el estado indicado.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Medición del estado de un qubit
La coordenada x se puede obtener de manera similar, aplicando
previamente una transformación unitaria. Defina
µ
¶
1
1 1
U1 = √
2 −1 1
y sea |ψ (1) i = U1 |ψi. Una medición de este estado a lo largo del eje
z (i.e. usando σz ), da los resultados +1 o −1 con probabilidades
(1)
p0
(1)
p1
:= |h0|ψ (1) i|2
:= |h1|ψ (1) i|2
Después de algunos cálculos se encuentra que
(1)
(1)
p0 − p1 = cos φ sen θ = x
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Medición del estado de un qubit
La coordenada y se puede obtener de la misma manera. Se define
¶
µ
1
1 −i
U2 = √
2 −i 1
y sea |ψ (2) i = U2 |ψi. Nuevamente una medición de este estado a
lo largo del eje z (i.e. usando σz ), da los resultados +1 o −1 con
probabilidades
(2)
p0
(2)
p1
:= |h0|ψ (2) i|2
:= |h1|ψ (2) i|2
Después de algunos cálculos se encuentra que
(2)
(2)
p0 − p1 = sen φ sen θ = y
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Bibliografı́a
Temas interesantes de estudio:
1. Principio de incertidumbre de Heisenberg.
2. Sistemas compuestos y entrelazamiento.
3. La paradoja EPR y las desigualdades de Bell.
4. Computación cuántica.
5. Criptografı́a.
Luis Rincón
Mecánica cuántica
Bibliografı́a
[1] A. Peres.
Quantum theory: concepts and methods.
Kluwer Academic, 1993.
[2] G. Benenti, G. Casali, G. Strini.
Principles of quantum computation and information.
Volúmenes 1 y 2. World Scientific, 2007.
Luis Rincón
Mecánica cuántica