1 Circuito LC de corriente alterna. E: Se aplica un voltaje de 10cos

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Circuito LC de corriente alterna.
E: Se aplica un voltaje de 10 cos 100t V durante =200 s a un circuito LC formado por un capacitor
de 0:1 F y un inductor de 0:001 H e inmediatamente después se suspende. Determine la carga
y la corriente sobre el circuito en todo tiempo t suponiendo que originalmente el capacitor se
encontraba descargado y no circulaba corriente sobre el circuito.
D: H La ED que describe la carga Q.t/ en el intervalo de tiempo 0 t L
es
200
d 2Q Q
d 2Q
Q
C
D
V
.t/
)
0:001
C
D 10 cos 100t;
dt 2
C
dt 2
0:1
que se puede expresar como:
d 2Q
C 104 Q D 104 cos 100t:
dt 2
La ecuación característica es r 2 C 104 D 0, que tiene las raíces r1 D 100i y r2 D
solución complementaria es
100i. La
Qc .t/ D c1 cos 100t C c2 sen 100t:
La fuente de voltaje tiene frecuencia angular igual a la de la solución complementaria, por lo
cual proponemos como solución particular:
Qp .t/ D At cos 100t C Bt sen 100t:
Derivando tenemos:
Qp0 .t/ D
100At sen 100t C A cos 100t C 100Bt cos 100t C B sen 100tI
Qp00.t/ D
104 At cos 100t
Sustituyendo en la ED
104 At cos 100t
200A sen 100t
104 Bt sen 100t C 200B cos 100t:
d 2Q
C 104 Q D 104 cos 100t, resulta:
2
dt
200A sen 100t
104 Bt sen 100t C 200B cos 100tC
C 104 At cos 100t C 104 Bt sen 100t D 200A sen 100t C 200B cos 100t D 104 cos 100t:
De donde obtenemos A D 0 & B D 50. Entonces, la solución particular es
Qp .t/ D 50t sen 100t:
Luego, la solución general de la ED lineal no homogénea es
Q.t/ D 50t sen 100t C c1 cos 100t C c2 sen 100t
y derivando la expresión anterior, resulta:
I.t/ D 50 sen 100t C 5000t cos 100t
5. canek.azc.uam.mx: 18/ 1/ 2011
100c1 sen 100t C 100c2 cos 100t:
2
Si ahora usamos las condiciones iniciales Q.0/ D 0 & I.0/ D 0, obtenemos c1 D 0 & c2 D 0.
Finalmente, la carga sobre el capacitor para 0 t es
200
Q.t/ D 50t sen 100t C
y la corriente que circula sobre el circuito está dada por:
I.t/ D 50 sen 100t C 5000t cos 100t A.
s se obtiene:
200
100
Q
D 50
sen
D CI
200
200
200
4
100
100
I
D 50 sen
C 5 000
sen
D 50 A:
200
200
200
200
En el tiempo t D
Éstas son las condiciones con las que se parte para resolver la ecuación a partir de este tiempo.
Cuando ya no se tiene fuente de voltaje la solución es sólo la parte complementaria. Es decir,
para t se tiene:
200
O
Q.t/
D c3 cos 100t C c4 sen 100t ) IO.t/ D
evaluando en t D
100c3 sen 100t C 100c4 cos 100tI
y considerando que Q D
& I D 0, resulta:
200
4
c4 D
4
&
c3 D
Por lo tanto, la carga y la corriente después de t D
1
:
2
están dadas por:
200
1
cos 100t C sen 100t CI
2
4
O
I .t/ D 50 sen 100t C 25 cos 100t A.
O
Q.t/
D