Matemáticas-I TRIGONOMETRÍA 1º.

Matemáticas-I
TRIGONOMETRÍA
1º.- Sabiendo que 90 º < x < 270 º y que cos x =
−4
, halla sen x y tg x.
5
Solución
a) ¿ sen x? ; de la fórmula fundamental sen 2 x + cos 2 x = 1 se obtiene sen 2 x = 1 - cos 2 x. =
=
9
3
de donde sen x = , solución positiva por tratarse de un ángulo del segundo
25
5
cuadrante.
3
−3
sen x
b) ¿ tg x? . Por definición tg x =
= 5 =
−4 4
cos x
5
2º.- si 180 º < x < 270 º y que tg x =
3 , halla sen y cos x.
Solución
a) ¿ cos x? De la fórmula fundamental sen 2 x + cos 2 x = 1, y dividiendo a los dos miembros
por cos 2 x, obtenemos tg 2 x + 1 =
−1
1
1
; ⇒ 3+1=
⇒ cos x =
, valor negativo
2
2
2
cos x
cos x
por tratarse de un ángulo del tercer cuadrante.
b) ¿ sen x? Con el valor hallado anteriormente tg x =
sen x
⇒
cos x
3 =
− 3
sen x
⇒ sen x =
−1
2
2
3º.- Si queremos que una cinta transportadora de 30 m. eleve la carga hasta una altura de
15 m. ¿ qué ángulo se deberá inclinar la cinta ?
Solución
En el enunciado nos han dado como datos: la longitud de la
cinta BC ( hipotenusa )y el cateto opuesto AC ( altura con
respecto al suelo )
Sen B =
cateto opuesto
15
1
1
=
de donde B = arc sen
=
hipotenusa
30
2
2
⇒ B = 30 º
-1-
Matemáticas-I
4º.- Una persona de 1,82 m. de estatura proyecta una sombra de 66 cm. , y en ese
momento un árbol da una sombra de 2,5 m.:
a) ¿ Qué ángulo forman los rayos del sol con la
horizontal?
b) ¿ Cuál es la altura del árbol ?
Solución
a) Supongamos que el cateto AC representa la altura de la
persona ( 1,82 m). Su sombra vendrá representada por la
longitud del cateto AB ( 66 cm ). El ángulo B es el que determinan los rayos solares (
dirección BC ) con la horizontal BA
Tendremos que
tg B =
cateto opuesto
AC 1,82
= 2,7575 ⇒ B = arc tg 2,7575 =70º 4´
=
=
cateto contiguo AB 0,66
b) Ahora conocemos el cateto contiguo BA ( sombra proyectada por el árbol) y el ángulo B
que forman los rayos solares con la horizontal. Tengamos en cuenta que se considera que
los rayos solares son paralelos por esta razón, en un cierto instante el ángulo B será el
mismo.
tg B =
altura del árbol (h)
AC
h
=
⇒ tg 70º 4´ =
⇒ h = 2,7575 . 2,5 = 6,89 m
sombra proyectada
2,5
2,5
5º.- Calcula la longitud de los lados iguales y el área de un triángulo isósceles cuyo lado
desigual mide 30 cm. Y el ángulo opuesto al mismo 44 º.
Solución
Al trazar la altura AH, correspondiente al lado desigual,
obtenemos dos triángulos rectángulos iguales de los
que conocemos: el ángulo
A
= 22 º y el cateto opuesto
2
15 cm.
a) Longitud del lado AB: se trata de calcular la longitud
de la hipotenusa del triángulo rectángulo citado
sen 22 º =
15
15
= 40,04 cm.
⇒ AB =
hipotenusa
0,3746
-2-
Matemáticas-I
b) Para determinar el área
Conocemos BB´ = 30 cm y necesitamos calcular el valor de la altura sobre él (AH)
AH lo calcularemos utilizando la definición del tg
El área será Área =
A
BH
15
= 37,13 cm
=
⇒ AH =
2
AH
0,404
BB `. AH
= 30 . 37,13 = 556,95 cm2
2
Otra forma que tienes para determinar el área de un triángulo es:
∧
AB . AB`. sen A
Área =
2
6º.- El lado de un rombo mide 10 cm. Y el ángulo menor es de 60 º. Calcula la medida de
las diagonales del rombo y su área.
Solución
Si el ángulo menor es de 60 º, el ángulo mayor medirá 2α = 2. 180 – 2.60 = 240 ⇒ α = 120.
Recuerda que un rombo tiene sus cuatro ángulos iguales dos a dos y que la suma de sus
cuatro ángulos equivale a la medida de dos triángulos ( 2.180º)
Recuerda también que si trazas las dos diagonales de un rombo,
AC y BD, obtienes cuatro triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos
agudos tendrá por medidas 30º y 60º.
Consideremos el triángulo rectángulo AOB del que conocemos
los ángulos agudos  = 60 º y
∧
B = 30 º y dos piden calcular la longitud
de los catetos AO y OB.
Sen 60 =
3
OB
OB
=
=
⇒ OB = 5 . 3 diagonal BD = 10
AB
10
2
Sen 30 =
OA 1
OA
=
=
AB
10
2
El área del rombo es
3
⇒ OA = 5 diagonal AC = 10
10 3 .10
AC . BD
=
= 50
2
2
3
7º.- Expresa en función de una razón trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante:
sen 150 º ; tg 120 º ; tg 340 º ; cos 200 º ; sen 220 º
Solución
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Matemáticas-I
Sen 150 º = sen (180 º - 150 º ) = sen 30 º , ángulo del 2º cuadrante con uno del primero
Tg 120 º = - tg (180 º - 120 º ) = - tg 60 º , ángulo del 2º cuadrante con uno del primero
Tg 340 º = - tg ( 360 º - 340 º ) = - tg 20 º , ángulo del 4º cuadrante con uno del primero
Cos 200 º = - cos ( 200 º - 180 º ) = - cos 20 º, ángulo del 3º cuadrante con uno del primero
Sen 220 º = - sen (220 º - 180 º ) = - sen 40 º , ángulo del 3º cuadrante con uno del primero
8º.- De un triángulo rectángulo se sabe que su área es 480 cm2 y un cateto mide 48 cm.
Calcula las razones trigonométricas de sus ángulos.
Solución
El área de un triángulo rectángulo =
donde 480 =
∧
tg B =
cateto AB . cateto AC
2
de
AB . 48
2 . 480
= 20 cm
⇒ AB =
2
48
∧
∧
AC
48
= 2,4 ⇒ B = arc tg 2,4 = 67 º 23´ = cotg C
=
AB
20
∧
∧
Si hallamos el valor de la hipotenusa BC obtendremos fácilmente los valores sen B y cos B
BC =
2
2
48 + 20 = 52 cm. Y de aquí
∧
∧
Sen B = cos C =
48
= 0,9230
52
∧
∧
cos B = sen C =
20
= 0,3846
52
9º.- En una circunferencia de radio 8 cm. Trazamos una cuerda AB a 4 cm del centro.
∧
Halla el ángulo AOB siendo O el centro de la circunferencia.
Solución
Tenemos dos triángulos rectángulos OCA y OCB iguales porque el
triángulo OAB es isósceles
∧
∧
El ángulo AOB = 2 a . Calculemos
∧
Sen a =
∧
∧
AC
4
=
⇒ a = arc sen 0,5 = 30 º ⇒ AOB = 60 º
r
8
10º .- Halla el ángulo que forma la diagonal de la cara de un cubo y la diagonal
del cubo.Solución
Debemos encontrar el ángulo formado por los segmentos x (diagonal del
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Matemáticas-I
cubo) e y ( diagonal de una cara).
l
El valor de la diagonal de una cara es y =
El ángulo pedido es tg α =
l
l
=
=
y
l. 2
l2 +l2 = l
2
2
2
⇒ α = arc tg
2
2
= 45 º
11º .- En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 13 m y 17m
de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7m. ¿ Bajo qué ángulo se ve la
portería desde ese punto?
Solución
∧
Tenemos que calcular la medida de A , siendo AC = 13 m
AB = 17m y BC = 7m .
Aplicando el teorema del coseno:
∧
∧
a 2 = b 2 + c 2 – 2 . b . c . cos A ⇒ 7 2 = 13 2 + 17 2 – 2. 13 . 17 . cos A
∧
de donde cos A =
∧
49 − 169 − 289
= 0,925339
− 442
∧
A = arc cos 0,925339 ⇒ A = 55 º 31´
12º .- Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman un ángulo de
125º. El primero sale a las 11 horas de la mañana con
una velocidad de 18 nudos (33,3 km/h) y el segundo sale
a las 12 horas 30 minutos, con una velocidad de 24
nudos (44,4 km/h). Si el alcance de sus equipos de radio
es de 150 km, ¿ podrán ponerse en contacto a las 4 de la
tarde ?
Solución
Supongamos que los dos barcos parten del punto C y que, a las cuatro de la tarde, el primero de
ellos está situado en A y el segundo en B. Debemos calcular la longitud del lado AC y ver si
es inferior o igual a 150 km.
CA = b = 18 (nudos/hora) . 5 ( horas ) = 90 nudos recorridos
CB = a = 24 ( nudos/hora) . 3,5 ( horas ) = 84 nudos recorridos
Por el teorema del coseno: c 2 = 90 2 + 84 2 - 2 . 90 . 84 . cos 125 º = 15156 + 15120 = 30276
-5-
Matemáticas-I
c=
30276 = 174 nudos
Ahora debemos expresar esta distancia en km:
Si 18 nudos son 33,3 km ⇒ 1 nudo = 1,85 km
La distancia, en km, que separa ambos barcos es de AB = 174 . 1,85 = 321,9 km muy superior
al alcance de sus equipos de radio.
∧
14º.- En el triángulo de la figura AB = 24 m , Â = 60 º y B = 45 º . Calcula las medidas
de AC, BC y la altura sobre AB.
Solución
La altura h c , sobre AB, divide al triángulo ABC en dos triángulos
rectángulos que tienen a h c como cateto común.
∧
En el triángulo AC´C tenemos tg A =
∧
En el triángulo BC´C tenemos tg B =
hc
⇒ h c = m . tg 60
AC ′
hc
hc
h c = (24 – m ) . tg 45
BC ′ AC ′
Hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que por igualación
obtenemos
1,7321. m = ( 24 – m ). 1 ⇒
m = 13,86 m
de donde
n = 24 – 13,86 = 10,14
Valor de la altura h c = 13,86 . 1,7321 = 24 m.
Valor de AC = b =
24 2 + 13,86 2 = 27,71 m
Valor de BC = a =
24 2 + 10,14 2 = 26,05 m
14º.- Halla la altura de la torre QR, de pie inaccesible, y más bajo que el punto de observación
con los datos de la figura.
.
-6-