CAPÍTULO 1 1.1. Dados los vectores M= −10ax + 4ay − 8az y N

CAPÍTULO 1
1.1. Dados los vectores M= −10ax + 4ay − 8az y N = 8ax + 7ay − 2az , encuentre:
a) un vector unitario en la dirección de −M + 2N.
−M + 2N = 10ax − 4ay + 8az + 16ax + 14ay − 4az = (26, 10, 4)
De este modo
a=
(26, 10, 4)
= (0.92, 0.36, 0.14)
|(26, 10, 4)|
b) la magnitud de 5a x + N − 3M:
(5, 0, 0) + (8, 7, −2) − (−30, 12, −24) = (43, −5, 22), y |(43, −5, 22)| = 48.6 .
c) |M||2N|(M + N):
|(−10, 4, −8)||(16, 14, −4)|(−2, 11, −10) = (13.4)(21.6)(−2, 11, −10)
= (−580.5, 3193, −2902)
1.2. Dados los tres puntos, A(4, 3, 2), B(−2, 0, 5), y C(7, −2, 1):
a)Específicamente el vector A extendiéndose desde el origen al punto A.
A = (4, 3, 2) = 4ax + 3ay + 2az
b) Dado un vector unitario extendiéndose desde el origen al punto medio de la línea AB.
El vector desde el origen al punto medio lo proporciona
M = (1/2)(A + B) = (1/2)(4 − 2, 3 + 0, 2 + 5) = (1, 1.5, 3.5)
El vector unitario será
m=
(1, 1.5, 3.5)
= (0.25, 0.38, 0.89)
|(1, 1.5, 3.5)|
c) Calcule la longitud del perímetro del triángulo ABC:
Empiece con AB = (−6, −3, 3), BC = (9, −2, −4), CA = (3, −5, −1).
Entonces
|AB| + |BC| + |CA| = 7.35 + 10.05 + 5.91 = 23.32
1.3. El vector desde el origen al punto A lo da (6, −2, −4), y el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto
B es (2, −2, 1)/3. Si los puntos A y B están diez unidades separados, encuentre las coordenadas del punto
B.
Con A = (6, −2, −4) y B = 31 B(2, −2, 1), use el factor que |B − A| = 10, o
|(6 − 23 B)ax − (2 − 23 B)ay − (4 + 13 B)az | = 10
Expandiendo, obtenga
36 − 8B + 49 B 2 + 4 − 83 B + 49 B 2 + 16 + 83 B + 19 B 2 = 100
o B 2 − 8B − 44 = 0. Así B =
B=
8±
√
64−176
2
= 11.75 (tomando la opción positiva) y así
2
1
2
(11.75)ax − (11.75)ay + (11.75)az = 7.83ax − 7.83ay + 3.92az
3
3
3
1
1.4. dados los puntos A(8, −5, 4) y B(−2, 3, 2), encuentre:
a) la distancia desde A a B.
|B − A| = |(−10, 8, −2)| = 12.96
b) un vector unitario dirigido desde A hacia B. Este se encuentra a través de
aAB =
B−A
= (−0.77, 0.62, −0.15)
|B − A|
c) un vector unitario dirigido desde el origen al punto medio de la línea AB.
a0M =
(3, −1, 3)
(A + B)/2
= √
= (0.69, −0.23, 0.69)
|(A + B)/2|
19
d) las coordenadas del punto en la línea que une A a B en la que la línea interseca el plano z = 3.
Note el punto medio (3, −1, 3), que está determinado en el inciso c para tener la
coordenada z de 3. Este es el punto que estamos buscando.
1.5. Un campo vectorial está especificado como G = 24xya x + 12(x 2 + 2)ay + 18z2 az . Dados dos puntos, P (1, 2, −1) y
Q(−2, 1, 3), encuentre:
a) G en P : G (1, 2, −1) = (48, 36, 18)
b) un vector unitario en la dirección de G en Q: G(−2, 1, 3) = (−48, 72, 162), así
aG =
(−48, 72, 162)
= (−0.26, 0.39, 0.88)
|(−48, 72, 162)|
c) un vector unitario dirigido desde Q hacia P :
aQP =
(3, −1, 4)
P−Q
= √
= (0.59, 0.20, −0.78)
|P − Q|
26
d) la ecuación de la superficie en que |G| = 60: Escribimos 60 = |(24xy, 12(x 2 + 2), 18z2 )|, o
10 = |(4xy, 2x 2 + 4, 3z2 )|, así la ecuación es
100 = 16x 2 y 2 + 4x 4 + 16x 2 + 16 + 9z4
2
1.6. Para el campo G en el Problema 1.5, grafique Gx , Gy , Gz y |G| a lo largo de la línea y = 1, z = 1, para
2
2
0 ≤ x ≤ 2. Encontramos
√ G(x, 1, 1) = (24x, 12x + 24, 18), desde que Gx = 24x, Gy = 12x + 24,
4
2
Gz = 18, y |G| = 6 4x + 32x + 25. El trazo se muestra abajo.
1.7. Dado el campo vectorial E = 4zy 2 cos 2xa x + 2zy sen 2xay + y 2 sen 2xaz para la región |x|, |y|, y |z| menor
que 2, encuentre:
a) Las superficies en que Ey = 0. Con Ey = 2zy sen 2x = 0, las superficies son 1) el plano z = 0 , con
|x| < 2, |y| < 2; 2) el planoy = 0, con |x| < 2, |z| < 2; 3) el plano x = 0 , con |y| < 2, |z| < 2;
4)el planox = π/2 , con |y| < 2, |z| < 2.
b) la región en que E y = Ez : Esto ocurre cuando 2zy sen 2x = y 2 sen 2x, o en el plano 2z = y , con
|x| < 2, |y| < 2, |z| < 1.
c) la región en que E = 0: Tendremos E x = Ey = Ez = 0, o zy 2 cos 2x = zy sen 2x =
y 2 sen 2x = 0. Esta condición se halla en el plano y = 0
, con |x| < 2, |z| < 2.
1.8. Dos campos vectoriales son F = −10ax + 20x(y − 1)ay y G = 2x 2 yax − 4ay + zaz . Para el puntoP (2, 3, −4),
encuentre:
a) |F|: F en (2, 3, −4) = (−10, 80, 0), así |F| = 80.6.
b) |G|: G en (2, 3, −4) = (24, −4, −4), así |G| = 24.7.
c) un vector unitario en la dirección de F − G: F − G = (−10, 80, 0) − (24, −4, −4) = (−34, 84, 4). Así
a=
F−G
(−34, 84, 4)
=
= (−0.37, 0.92, 0.04)
|F − G|
90.7
d) un vector unitario en la dirección de F + G: F + G = (−10, 80, 0) + (24, −4, −4) = (14, 76, −4). Así
a=
F+G
(14, 76, −4)
=
= (0.18, 0.98, −0.05)
|F + G|
77.4
3
1.9. Un campo está dado como
G=
(x 2
25
(xax + yay )
+ y2)
Encuentre:
a) un vector unitario en la dirección de G en P (3, 4, −2): Se tiene G p = 25/(9 + 16) × (3, 4, 0) = 3ax + 4ay ,
y |G p | = 5. Así aG = (0.6, 0.8, 0) .
b) el ángulo entre G y ax en P : El ángulo se encuentra a través de aG · ax
(0.6, 0.8, 0) · (1, 0, 0) = 0.6. Así θ = 53◦ .
= cos θ . Así cos θ =
c) el valor de la siguiente integral doble en el plano y = 7:
0
0
4 2
0
4 2
0
G · ay dzdx
4
4 2
25
25
350
×
7
dzdx
=
dx
(xa
+
ya
)
·
a
dzdx
=
x
y
y
2 + 49
2 + 49
x2 + y2
x
x
0
0
0
1
−1 4
tan
− 0 = 26
= 350 ×
7
7
1.10. Use la definición del producto escalar para encontrar los ángulos interiores en Ay B del triángulo definido por
los tres puntos A(1, 3, −2), B(−2, 4, 5), y C(0, −2, 1):
a) Use R AB = √
(−3,√1, 7) y RAC = (−1, −5, 3) para formar RAB · RAC = |RAB ||RAC | cos θA . Obtenga
3 + 5 + 21 = 59 35 cos θ A . Encuentre θA = 65.3◦ .
b) Use R BA = √
(3, −1,
√ −7) y RBC = (2, −6, −4)para formar RBA · RBC = |RBA ||RBC | cos θB . Obtenga
6 + 6 + 28 = 59 56 cos θB . Encuentre θB = 45.9◦ .
1.11. Dados los puntos M(0.1, −0.2, −0.1), N(−0.2, 0.1, 0.3), y P (0.4, 0, 0.1), encuentre :
a) el vector R MN : RMN = (−0.2, 0.1, 0.3) − (0.1, −0.2, −0.1) = (−0.3, 0.3, 0.4).
b) el producto escalar RMN · RMP : RMP = (0.4, 0, 0.1) − (0.1, −0.2, −0.1) = (0.3, 0.2, 0.2). RMN ·
RMP = (−0.3, 0.3, 0.4) · (0.3, 0.2, 0.2) = −0.09 + 0.06 + 0.08 = 0.05.
c) la proyección escalar de R MN en RMP :
RMN · aRMP = (−0.3, 0.3, 0.4) · √
(0.3, 0.2, 0.2)
0.05
=√
= 0.12
0.09 + 0.04 + 0.04
0.17
d) el ángulo entre R MN y RMP :
−1
θM = cos
RMN · RMP
|RMN ||RMP |
−1
= cos
4
0.05
√
√
0.34 0.17
= 78◦
1.12. Dados los puntosA(10, 12, −6), B(16, 8, −2), C(8, 1, −4), y D(−2, −5, 8), determine:
a) proyección vectorial de R AB + RBC en RAD : RAB + RBC = RAC = (8, 1, 4) − (10, 12, −6) =
(−2, −11, 10) Entonces R AD = (−2, −5, 8) − (10, 12, −6) = (−12, −17, 14). Así la proyección
será:
(−12, −17, 14) (−12, −17, 14)
(RAC · aRAD )aRAD = (−2, −11, 10) ·
= (−6.7, −9.5, 7.8)
√
√
629
629
b) proyección vectorial de R AB + RBC en RDC : RDC = (8, −1, 4) − (−2, −5, 8) = (10, 6, −4). La
proyección es:
(10, 6, −4) (10, 6, −4)
(RAC · aRDC )aRDC = (−2, −11, 10) · √
= (−8.3, −5.0, 3.3)
√
152
152
c) el ángulo entre RDA y RDC : Use RDA = −RAD = (12, 17, −14) y RDC = (10, 6, −4).
El ángulo se encuentra a través del producto escalar de los vectores unitarios asociados, o:
(12, 17, −14) · (10, 6, −4)
θD = cos−1 (aRDA · aRDC ) = cos−1
= 26◦
√
√
629 152
1.13. a) Encuentre la componente vectorial de F = (10, −6, 5) que es paralela a G = (0.1, 0.2, 0.3):
F||G =
F·G
(10, −6, 5) · (0.1, 0.2, 0.3)
(0.1, 0.2, 0.3) = (0.93, 1.86, 2.79)
G=
2
|G|
0.01 + 0.04 + 0.09
b) Encuentre la componente vectorial de F que es perpendicular a G:
FpG = F − F||G = (10, −6, 5) − (0.93, 1.86, 2.79) = (9.07, −7.86, 2.21)
c) Encuentre la componente vectorial de G que es perpendicular a F:
GpF = G − G||F = G −
G·F
1.3
F = (0.1, 0.2, 0.3) −
(10, −6, 5) = (0.02, 0.25, 0.26)
2
|F|
100 + 36 + 25
√
1.14. Los√cuatro vértices
√ de un tetraedro regular están localizados en O(0, 0, 0), A(0, 1, 0), B(0.5 3, 0.5, 0), y
C( 3/6, 0.5, 2/3).
a) Encuentre un vector unitario perpendicular (externo) a la superficie ABC: Primero encuentre
√
√
√
RBA × RBC = [(0, 1, 0) − (0.5 3, 0.5, 0)] × [( 3/6, 0.5, 2/3) − (0.5 3, 0.5, 0)]
√
√
= (−0.5 3, 0.5, 0) × (− 3/3, 0, 2/3) = (0.41, 0.71, 0.29)
El vector unitario requerido será entonces:
RBA × RBC
= (0.47, 0.82, 0.33)
|RBA × RBC |
b) Encuentre el área de la superficie ABC:
Área =
1
|RBA × RBC | = 0.43
2
5
1.15. Tres vectores extendiéndose desde el origen están dados como r1 = (7, 3, −2), r2 = (−2, 7, −3), y r3 = (0, 2, 3).
Encuentre:
a) un vector unitario perpendicular a r1 y r2 :
ap12 =
(5, 25, 55)
r1 × r2
=
= (0.08, 0.41, 0.91)
|r1 × r2 |
60.6
b) un vector unitario perpendicular a los vectores r 1 − r2 y r2 − r3 : r1 − r2 = (9, −4, 1) y r2 − r3 =
(−2, 5, −6). Así r 1 − r2 × r2 − r3 = (19, 52, 32). Entonces
ap =
(19, 52, 32)
(19, 52, 32)
=
= (0.30, 0.81, 0.50)
|(19, 52, 32)|
63.95
c) el área del triángulo definida por r 1 y r2 :
Área =
1
|r1 × r2 | = 30.3
2
d) el área del triángulo definida por lasr puntas de los vectores r1 , r2 , y r3 :
Área =
1
1
|(r2 − r1 ) × (r2 − r3 )| = |(−9, 4, −1) × (−2, 5, −6)| = 32.0
2
2
1.16. Describa las superficies definidas por las ecuaciones :
a) r · ax = 2, donde r = (x, y, z):
Este será el plano x = 2 .
b) |r × ax | = 2: r × ax = (0, z, −y), y |r × ax | =
z2 + y 2 = 2. Esta es la ecuación de un cilindro,
centrado en el eje x , y de radio 2.
1.17. El puntoA(−4, 2, 5) y los dos vectores, R AM = (20, 18, −10) y RAN = (−10, 8, 15), definen un triángulo.
a) Encuentre un vector unitario perpendicular al triángulo: Use
ap =
(350, −200, 340)
RAM × RAN
=
= (0.664, −0.379, 0.645)
|RAM × RAN |
527.35
El vector en la dirección opuesta a este uno es también una respuesta válida.
b) Encuentre un vector unitario en el plano del triángulo y perpendicular a R AN :
aAN =
(−10, 8, 15)
= (−0.507, 0.406, 0.761)
√
389
Entonces
apAN = ap × aAN = (0.664, −0.379, 0.645) × (−0.507, 0.406, 0.761) = (−0.550, −0.832, 0.077)
El vector en la dirección opuesta a este uno es también una respuesta válida.
c) Halle un vector unitario en el plano del triángulo que biseque el ángulo interior en A: Un vector A no unitario
en la dirección requerida es (1/2)(a AM + aAN ), donde
aAM =
(20, 18, −10)
= (0.697, 0.627, −0.348)
|(20, 18, −10)|
6
1.17c. (continuación) Ahora
1
1
(aAM + aAN ) = [(0.697, 0.627, −0.348) + (−0.507, 0.406, 0.761)] = (0.095, 0.516, 0.207)
2
2
Finalmente,
abis =
(0.095, 0.516, 0.207)
= (0.168, 0.915, 0.367)
|(0.095, 0.516, 0.207)|
1.18. Dados los puntosA(ρ = 5, φ = 70◦ , z = −3) y B(ρ = 2, φ = −30◦ , z = 1), encuentre:
a) el vector unitario en coordenadas cartesianas en A hacia B: A(5 cos 70◦ , 5 sen 70◦ , −3) = A(1.71, 4.70, −3), En
la misma manera, B(1.73, −1, 1). Así RAB = (1.73, −1, 1) − (1.71, 4.70, −3) = (0.02, −5.70, 4) y
por lo tanto
(0.02, −5.70, 4)
aAB =
= (0.003, −0.82, 0.57)
|(0.02, −5.70, 4)|
b) un vector en coordenadas cilíndricas en A dirigido hacia B: aAB · aρ = 0.003 cos 70◦ − 0.82 sen 70◦ =
−0.77. aAB · aφ = −0.003 sen 70◦ − 0.82 cos 70◦ = −0.28. Así
aAB = −0.77aρ − 0.28aφ + 0.57az
.
c) un vector en coordenadas cilíndricas en B dirigido hacia A:
Use aBA = (−0, 003, 0.82, −0.57). Entonces aBA · aρ = −0.003 cos(−30◦ ) + 0.82 sen(−30◦ ) = −0.43, y
aBA · aφ = 0.003 sen(−30◦ ) + 0.82 cos(−30◦ ) = 0.71. Finalmente,
aBA = −0.43aρ + 0.71aφ − 0.57az
1.19 a) Exprese el campo D = (x 2 + y 2 )−1 (xa x + yay ) en componentes cilíndricas y variables cilíndricas:
Se tiene x = ρ cos φ, y = ρ sen φ, y x 2 + y 2 = ρ 2 . Por lo tanto
D=
Entonces
Dρ = D · aρ =
1
(cos φax + sen φay )
ρ
1 2
1
1
cos φ(ax · aρ ) + sen φ(ay · aρ ) =
cos φ + sen2 φ =
ρ
ρ
ρ
y
Dφ = D · aφ =
1
1
cos φ(ax · aφ ) + sen φ(ay · aφ ) = [cos φ(− sen φ) + sen φ cos φ] = 0
ρ
ρ
Por lo tanto
D=
7
1
aρ
ρ
1.19b. Evalúe D en el punto donde ρ = 2, φ = 0.2π, y z = 5, expresando el resultado en coordenadas cilíndricas
y cartesianas: En el punto dado, y en coordenadas cilíndricas, D = 0.5a ρ . Para expresar este en
cartesianas, usamos
D = 0.5(aρ · ax )ax + 0.5(aρ · ay )ay = 0.5 cos 36◦ ax + 0.5 sen 36◦ ay = 0.41ax + 0.29ay
1.20. Exprese en componentes cartesianas:
a) el vector en A(ρ = 4, φ = 40◦ , z = −2) que se extiende a B(ρ = 5, φ = −110◦ , z = 2): Tenemos
A(4 cos 40◦ , 4 sen 40◦ , −2) = A(3.06, 2.57, −2), y B(5 cos(−110◦ ), 5 sen(−110◦ ), 2) =
B(−1.71, −4.70, 2) en cartesianas. Así R AB = (−4.77, −7.30, 4).
b) un vector unitario en B dirigido haciaA: Se tiene R BA = (4.77, 7.30, −4), y así
aBA =
(4.77, 7.30, −4)
= (0.50, 0.76, −0.42)
|(4.77, 7.30, −4)|
c) un vector unitario en B dirigido hacia e l origen: Se
(1.71, 4.70, −2). Así
a=
tiene rB = (−1.71, −4.70, 2), y así −r =
B
(1.71, 4.70, −2)
= (0.32, 0.87, −0.37)
|(1.71, 4.70, −2)|
1.21. Exprese en componentes cilíndricas:
a) el vector de C(3, 2, −7) a D(−1, −4, 2):
C(3, 2, −7) → C(ρ = 3.61, φ = 33.7◦ , z = −7) y
D(−1, −4, 2) → D(ρ = 4.12, φ = −104.0◦ , z = 2).
Ahora RCD = (−4, −6, 9) y Rρ = RCD · aρ = −4 cos(33.7) − 6 sen(33.7) = −6.66. Entonces
Rφ = RCD · aφ = 4 sen(33.7) − 6 cos(33.7) = −2.77. Así RCD = −6.66aρ − 2.77aφ + 9az
b) un vector unitario en D dirigido hacia C:
RCD = (4, 6, −9) y Rρ = RDC · aρ = 4 cos(−104.0) + 6 sen(−104.0) = −6.79. Entonces Rφ =
RDC · aφ = 4[− sen(−104.0)] + 6 cos(−104.0) = 2.43. Así RDC = −6.79aρ + 2.43aφ − 9az
Así a DC = −0.59aρ + 0.21aφ − 0.78az
c) un vector unitario en D dirigido hacia el origen. Empieza con r D = (−1, −4, 2), y así el vector hacia
el origen será −rD = (1, 4, −2) . Así, en cartesiana el vector uniario es a = (0.22, 0.87, −0.44).
Convertido a cilíndricas:
aρ = (0.22, 0.87, −0.44) · aρ = 0.22 cos(−104.0) + 0.87 sen(−104.0) = −0.90, y
aφ = (0.22, 0.87, −0.44) · aφ = 0.22[− sen(−104.0)] + 0.87 cos(−104.0) = 0, así que finalmente,
a = −0.90aρ − 0.44az .
1.22. Un campo está dado en coordenadas cilíndricas como
40
F=
+ 3(cos φ + sen φ) aρ + 3(cos φ − sen φ)aφ − 2az
ρ2 + 1
donde la magnitud de F se encuentra para ser:
√
|F| = F · F =
1/2
1600
240
(cos φ + sen φ) + 22
+ 2
(ρ 2 + 1)2
ρ +1
8
Grafique |F|:
a) contra φ con ρ = 3: en este caso anterior se simplifica a
|F(ρ = 3)| = |F a| = [38 + 24(cos φ + sen φ)]1/2
b) contra ρ con φ = 0, en que :
1600
240
|F(φ = 0)| = |F b| =
+ 22
+ 2
2
2
(ρ + 1)
ρ +1
1/2
c) contra ρ con φ = 45◦ , en que
|F(φ = 45◦ )| = |F c| =
9
1/2
√
1600
240 2
+ 22
+ 2
(ρ 2 + 1)2
ρ +1
1.23. Las superficies ρ = 3, ρ = 5, φ = 100◦ , φ = 130◦ , z = 3, y z = 4.5 definen una superficie englobada.
a) Encuentre el volumen englobado:
4.5 130◦ 5
ρ dρ dφ dz = 6.28
Vol =
100◦
3
3
NOTA: Los límites en la integración φ deben convertirse a radianes (como se hizo aquí, pero sin mostrarlo).
b) Encuentre el área total de la superficie englobada:
:
130◦ 5
Área = 2
ρ dρ dφ +
+
3
4.5 100◦
130◦
100◦
3
5 dφ dz + 2
4.5 130◦
100◦
3
4.5 5
3 dφ dz
dρ dz = 20.7
3
3
c) Encuentre la longitud total de los doce bordes de las superficies :
◦
30◦
30
× 2π × 3 +
× 2π × 5 = 22.4
Longitud=4 × 1.5 + 4 × 2 + 2 ×
360◦
360◦
d) Encuentre la longitud de la línea recta más larga que queda completamente dentro del volumen: Esto será entre
los puntos A(ρ = 3, φ = 100◦ , z = 3) y B(ρ = 5, φ = 130◦ , z = 4.5). Realizando las
transformaciones del punto a coordenadas cartesianas, estas se vuelven A(x = −0.52, y = 2.95, z = 3) y B(x=
−3.21, y = 3.83, z = 4.5). Tomando A y B como vectores dirigidos desde el origen, la longitud requerida
es
Longitud =|B − A| = |(−2.69, 0.88, 1.5)| = 3.21
1.24. El punto P (−3, 4, 5), expresa el vector que se extiende de P a Q(2, 0, −1) en:
a) coordenadas rectangulares .
Así |R P Q =
√
RP Q = Q − P = 5ax − 4ay − 6az
25 + 16 + 36 = 8.8
b) coordenadas cilíndricas. En P , ρ = 5, φ = tan−1 (4/ − 3) = −53.1◦ , y z = 5. Ahora,
RP Q · aρ = (5ax − 4ay − 6az ) · aρ = 5 cos φ − 4 sen φ = 6.20
RP Q · aφ = (5ax − 4ay − 6az ) · aφ = −5 sen φ − 4 cos φ = 1.60
Así
y |R
P Q|
=
√
RP Q = 6.20aρ + 1.60aφ − 6az
6.202 + 1.602 + 62 = 8.8
√
√
c) coordenadas esféricas. En P , r = 9 + 16 + 25 = 50 = 7.07, θ = cos−1 (5/7.07) = 45◦ , y
φ = tan−1 (4/ − 3) = −53.1◦ .
RP Q · ar = (5ax − 4ay − 6az ) · ar = 5 sen θ cos φ − 4 sen θ sen φ − 6 cos θ = 0.14
RP Q · aθ = (5ax − 4ay − 6az ) · aθ = 5 cos θ cos φ − 4 cos θ sen φ − (−6) sen θ = 8.62
RP Q · aφ = (5ax − 4ay − 6az ) · aφ = −5 sen φ − 4 cos φ = 1.60
10
1.24. (continuación)
Así
y |R
P Q|
=
√
RP Q = 0.14ar + 8.62aθ + 1.60aφ
0.142 + 8.622 + 1.602 = 8.8
d) Muestre que cada uno de estos vectores tiene la misma magnitud. Cada uno, como el mostrado anteriormente.
1.25. Dado un punto P (r = 0.8, θ = 30◦ , φ = 45◦ ), y
sen φ
1
aφ
E = 2 cos φ ar +
r
sen θ
.
a) Halle E en P : E = 1.10a ρ + 2.21a
φ
√
2
2
b) Halle |E| en P : |E| = 1.10 + 2.21 = 2.47.
c) Encuentre un vector unitario en la dirección de E en P :
aE =
E
= 0.45ar + 0.89aφ
|E|
1.26. a) Determine una expresión para a y en coordenadas esféricas en P (r = 4, θ = 0.2π, φ = 0.8π ): Use
ay · ar = sen θ sen φ = 0.35, ay · aθ = cos θ sen φ = 0.48, y ay · aφ = cos φ = −0.81 para obtener
ay = 0.35ar + 0.48aθ − 0.81aφ
b) Exprese a r en componentes cartesianas en P : Encuentre x = r sen θ cos φ = −1.90, y = r sen θ sen φ = 1.38,
y z = r cos θ = −3.24. Entonces use a r · ax = sen θ cos φ = −0.48, ar · ay = sen θ sen φ = 0.35, y
ar · az = cos θ = 0.81 para obtener
ar = −0.48ax + 0.35ay + 0.81az
1.27. Las superficies r = 2 y 4, θ = 30◦ y 50◦ , y φ = 20◦ y 60◦ identifique una superficie determinada.
a) Encuentre el volumen englobado: Este será
60◦ 50◦ 4
r 2 sen θdrdθdφ = 2.91
Vol =
20◦
30◦
2
donde los grados se convirtieron a radianes.
b) Encuentre el área total de la superficie englobada:
4
60◦ 50◦
2
2
(4 + 2 ) sen θdθdφ +
Área =
20◦
30◦
2
+2
60◦
r(sen 30◦ + sen 50◦ )drdφ
20◦
50◦ 4
30◦
rdrdθ = 12.61
2
c) Encuentre la longitud total de los doce bordes de la superficie:
50◦
60◦
4
(4 + 2)dθ +
(4 sen 50◦ + 4 sen 30◦ + 2 sen 50◦ + 2 sen 30◦ )dφ
Longitud = 4 dr + 2
2
30◦
20◦
= 17.49
11
1.27. (continuación)
d) Encuentre la longitud de la línea recta más larga que queda completamente dentro de la superficie: Esta será de
A(r = 2, θ = 50◦ , φ = 20◦ ) a B(r = 4, θ = 30◦ , φ = 60◦ ) o
A(x = 2 sen 50◦ cos 20◦ , y = 2 sen 50◦ sen 20◦ , z = 2 cos 50◦ )
para
B(x = 4 sen 30◦ cos 60◦ , y = 4 sen 30◦ sen 60◦ , z = 4 cos 30◦ )
o finalmente A(1.44, 0.52, 1.29) a B(1.00, 1.73, 3.46). Así B − A = (−0.44, 1.21, 2.18) y
Longitud= |B − A| = 2.53
1.28. a) Determine las componentes cartesianas del vector de A(r = 5, θ = 110◦ , φ = 200◦ ) a B(r =
7, θ = 30◦ , φ = 70◦ ): Primero transformamos los puntos a cartesianas: x A = 5 sen 110◦ cos 200◦ = −4.42,
yA = 5 sen 110◦ sen 200◦ = −1.61, y zA = 5 cos 110◦ = −1.71; xB = 7 sen 30◦ cos 70◦ = 1.20,
yB = 7 sen 30◦ sen 70◦ = 3.29, y zB = 7 cos 30◦ = 6.06. Ahora
RAB = B − A = 5.62ax + 4.90ay + 7.77az
b) Encuentre las componentes esféricas del vector en P (2, −3, 4) extendiendo a√Q(−3, 2, 5): Primero , R P Q =
√
Q − P = (−5, 5, 1). Entonces en P , r = 4 + 9 + 16 = 5.39, θ =cos−1 (4/ 29) = 42.0◦ , y φ =
tan−1 (−3/2) = −56.3◦ . Ahora
RP Q · ar = −5 sen(42◦ ) cos(−56.3◦ ) + 5 sen(42◦ ) sen(−56.3◦ ) + 1 cos(42◦ ) = −3.90
RP Q · aθ = −5 cos(42◦ ) cos(−56.3◦ ) + 5 cos(42◦ ) sen(−56.3◦ ) − 1 sen(42◦ ) = −5.82
RP Q · aφ = −(−5) sen(−56.3◦ ) + 5 cos(−56.3◦ ) = −1.39
Así finalmente,
RP Q = −3.90ar − 5.82aθ − 1.39aφ
c) Si D =5ar − 3aθ + 4aφ , encuentre D · aρ en M(1, 2, 3): Primero convierta√ aρ a coordenadas cartesianas
−1
◦
en el punto
Use a√
ρ = (aρ · ax )ax + (aρ · ay )ay . En A(1, 2, 3), ρ = 5, φ = tan (2) = 63.4 ,
√ especificado.−1
r = 14, y θ = cos (3/ 14) = 36.7◦ . A s í a ρ = cos(63.4◦ )ax + sen(63.4◦ )ay = 0.45ax + 0.89ay .
Entonces
(5ar − 3aθ + 4aφ ) · (0.45ax + 0.89ay ) =
5(0.45) sen θ cos φ + 5(0.89) sen θ sen φ − 3(0.45) cos θ cos φ
− 3(0.89) cos θ sen φ + 4(0.45)(− sen φ) + 4(0.89) cos φ = 0.59
1.29. Exprese el vector unitario a x en componentes esféricas en el punto:
a) r = 2, θ = 1 rad, φ = 0.8 rad: Use
ax = (ax · ar )ar + (ax · aθ )aθ + (ax · aφ )aφ =
sen(1) cos(0.8)ar + cos(1) cos(0.8)aθ + (− sen(0.8))aφ = 0.59ar + 0.38aθ − 0.72aφ
12
1.29 (continuación) Exprese el vector unitario a x en componentes esféricas en el punto:
b) x = 3, y = 2, z = √
−1: Primero , transforme el punto a coordenadas esféricas .
−1
θ = cos (−1/ 14) = 105.5◦ , y φ = tan−1 (2/3) = 33.7◦ . Entonces
Tiene r =
√
14,
ax = sen(105.5◦ ) cos(33.7◦ )ar + cos(105.5◦ ) cos(33.7◦ )aθ + (− sen(33.7◦ ))aφ
= 0.80ar − 0.22aθ − 0.55aφ
c) ρ = 2.5,
√ φ = 0.7 rad,−1z = 1.5: Nuevamente,
√convierta el punto a coordenadas esféricas. r =
8.5, θ = cos (z/r) = cos−1 (1.5/ 8.5) = 59.0◦ , y φ = 0.7 rad = 40.1◦ . Ahora
ρ 2 + z2 =
ax = sen(59◦ ) cos(40.1◦ )ar + cos(59◦ ) cos(40.1◦ )aθ + (− sen(40.1◦ ))aφ
= 0.66ar + 0.39aθ − 0.64aφ
1.30. Dado A(r = 20, θ = 30◦ , φ = 45◦ ) y B(r = 30, θ = 115◦ , φ = 160◦ ), encuentre:
a) |RAB |: Primero convierta A y B a cartesianas: Se tiene xA = 20 sen(30◦ ) cos(45◦ ) = 7.07, y
20 sen(30◦ ) sen(45◦ ) = 7.07, y z A = 20 cos(30◦ ) = 17.3. xB = 30 sen(115◦ ) cos(160◦ ) = −25.6,
yB = 30 sen(115◦ ) sen(160◦ ) = 9.3, y zB = 30 cos(115◦ ) = −12.7. Ahora RAB = RB − RA =
(−32.6, 2.2, −30.0), y así |R AB | = 44.4.
A
=
b) |R AC |, dado C(r = 20, θ = 90◦ , φ = 45◦ ). Nuevamente, convirtiendo C a cartesianas, obtenga xC =
20 sen(90◦ ) cos(45◦ ) = 14.14, yC = 20 sen(90◦ ) sen(45◦ ) = 14.14, y zC = 20 cos(90◦ ) = 0. Así
RAC = RC − RA = (7.07, 7.07, −17.3), y |RAC | = 20.0 .
c) la distancia de A a Cen una gran trayectoria circular: Note que A y C comparten igualmente r y coordenadas φ ;
así, moverse de Aa C implica únicamente un cambio en θ de 60◦ . La longitud de arco requerida es entonces
2π
distancia = 20 × 60
= 20.9
360
13