= 180 grados radianes

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Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Curso 2011-2012
Asignatura: Cálculo I
Trigonometría
Medida de ángulos
Unidad
Como unidad del tamaño de un ángulo se utiliza el radián, más natural y con más
sentido geométrico que el grado. Recordemos que un ángulo mide  radianes si 
es la razón entre el arco de una circunferencia correspondiente al ángulo medido y
el radio de esa circunferencia.
Por ser un cociente entre dos longitudes, el radián no tiene dimensión. De la definición obtenemos la relación entre radianes y grados: grados radianes
=

180
Sentido
Trabajando en el plano, se tomará por defecto como origen de ángulos el eje OX positivo. Para representar gráficamente un ángulo de  radianes debemos tener en cuenta su signo: situando una de las aristas del ángulo en este semieje, para situar la otra se seguirá el criterio •
•
avanzar a partir del semieje OX positivo en sentido antihorario (sentido
positivo) si el signo de  es positivo
avanzar a partir del semieje OX positivo en sentido horario (sentido
negativo) si el signo de  es negativo
Figura 1.- Sentido
Prof. Elena Álvarez
Pág.1
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Trigonometría
Las funciones seno y coseno
Las razones seno y coseno, cuya definición se recuerda a continuación, dan lugar a funciones y = sen x , y = cos x definidas en todo el eje real, 2 ‐periódicas. Prof. Elena Álvarez
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Trigonometría
Figura 2: Función sen(x)
Figura 3: Función cos(x)
En las figuras 2 y 3 puede comprobarse que en [0,  / 2] , el seno es una función
estrictamente creciente, el coseno es estrictamente decreciente en [0,  / 2] y
ambas toman valores únicamente entre 1 y 1 .
Razones fundamentales
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0
seno
0
coseno
1




6
4
3
2
3
2
1
1
2
3
2
2
2
2
2
0
1
2
Identidades trigonométricas
La identidad trigonométrica fundamental es sen 2 x  cos 2x = 1
consecuencia del Teorema de Pitágoras. Se listan a continuación las relaciones para el seno y coseno de la suma y las del ángulo doble que se deducen de ellas: cos( x  y ) = cos x cos y  sen x sen y sen ( x  y ) = sen x cos y  cos xsen y Para el seno y coseno de la diferencia basta tener en cuenta que sen (  x) =  sen x , cos( x ) = cos x
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1  cos 2 x
cos 2 x = cos x  sen x
2
1
cos
2x 
sen 2 x = 2 sen x cos x
sen 2 x =
2
2
cos x =
2
2
La función tangente
La definición de tangente se recuerda en la figura 4, se relaciona con el seno y el coseno por la expresión tg  =
sen 
cos 
tg  =
sen 
cos  Figura 4. Tangente
La función tangente es  ‐periódica y no está definida en ninguno de los puntos de la forma  / 2  k para k entero. No está acotada y de hecho puede hacerse arbitrariamente grande (resp. pequeña) a la izquierda (resp. derecha) de  / 2 . Ver representación gráfica en la figura 5. Prof. Elena Álvarez
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Figura 5: Gráfica de la función tangente
De la relación con el seno y el coseno se deducen las siguientes identidades tg (  x ) = tg x tg ( x  y ) =
tg x tg y
1 tg xtg y
Funciones circulares inversas
arcsen  x   y
Dominio =
 1,1 ;



2
 y

2
, sen  y   x
  
Imagen =   ,  ; es impar; no es periódica; es monótona
 2 2
estrictamente creciente; está acotada (inferiormente por 

2

2
y superiormente por
); es inyectiva; no es suprayectiva.
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Figura 6: Gráficas de las funciones seno y arcoseno
arccos  x   y
Dominio =
 1,1 ;
Imagen =

0,   ;
0  y   , cos  y   x
no es ni par ni impar; no es periódica; es
monótona estrictamente decreciente; está acotada (inferiormente
superiormente por  ); es inyectiva; no es suprayectiva.
Figura 7: Gráficas de las funciones coseno y arcocoseno
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Pág.7
por
0 y
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arc tg  x   y



2
 y

2
, tg  y   x
  
,  ; es impar; no es periódica; es monótona
 2 2
Dominio =  ; Imagen =  
estrictamente creciente; está acotada (inferiormente por 

2

2
y superiormente por
); es inyectiva; no es suprayectiva.
Figura 8: Gráficas de las funciones tangente y arcotangente
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Pág.8