LONGITUD DE ARCO. CURVATURA.

LONGITUD DE ARCO. CURVATURA.
12. Hallar la longitud del camino descrito por el móvil con la ecuación que se da y
durante el intervalo especificado:
→
(a) −
σ (t) = (et cos t, et sen t), 0 ≤ t ≤ 2.
−
(b) →
σ (t) = (t, 3t2 , 6t3 ), 0 ≤ t ≤ 2.
→
(c) −
σ (t) = (a cos wt, a sen wt, bwt), t0 ≤ t ≤ t1 .
→
(d) −
σ (t) = (|t|, |t − 1/2|) en el intervalo [−1, 1].
−
(e) →
σ (t) = (2t, t2 , ln t) entre (2, 1, 0) y (4, 4, ln 2).
Solución
Z
t1
En todos los casos aplicaremos la fórmula de la longitud de arco ` =
|σ 0 (t)| dt, donde
t0
σ(t) es el vector de posición de la trayectoria y t0 , t1 son los extremos de la misma.
→
−
→
−
→
(a)√Si −
σ (t) = (et cos t, et sen t), entonces σ 0 (t) = (et (cos t−sen t), et (sen t+cos t)) y | σ 0 (t)| =
et 2. Ası́ pues,
Z 2 √
√
`=
et 2 dt = 2(e2 − 1).
0
→
−
−
→
−
(b) Ahora, →
σ (t) = (t, 3t2 , 6t3 ), de donde σ 0 (t) = (1, 6t, 18t2 ) y | σ 0 (t)| = 1 + 18t2 . Entonces,
Z 2
`=
(1 + 18t2 ) dt = 50.
0
→
−
→
(c) A partir de la ecuación −
σ (t) = (a cos wt, a sen wt, bwt), deducimos que σ 0 (t) = (−aw sen wt, aw cos wt, bw)
√
→0
−
y | σ (t)| = w a2 + b2 . Entonces,
Z t1 p
p
`=
w a2 + b2 dt = w(t1 − t0 ) a2 + b2 .
t0
(d) Como la trayectoria no es suave, la descomponemos en tres tramos:
σ1 (t) = (−t, −t + 1/2), t ∈ [−1, 0],
σ2 (t) = (t, −t + 1/2), t ∈ [0, 1/2],
σ1 (t) = (t, t − 1/2), t ∈ [1/2, 1].
Como se trata de tres segmentos de recta, su longitud se obtiene directamente calculando
la distancia entre sus extremos:
` = d((1, 3/2), (0, 1/2)) + d((0, 1/2), (1/2, 0)) + d((1/2, 0), (1, 1/2))
√
√
√
√
=
2 + 2/2 + 2/2 = 2 2.
1
→
−
→
−
→
(e) Como −
σ (t) = (2t, t2 , ln t), entonces σ 0 (t) = (2, 2t, 1/t) y | σ 0 (t)| = 2t + 1/t. Teniendo en
cuenta que (2, 1, 0) = σ(1) y (4, 4, ln 2) = σ(2), resulta:
Z 2
(2t + 1/t) dt = 3 + ln 2.
`=
1
13. Hallar la curvatura de:
(a) La elipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 en los vértices.
(b) La hipérbola x2 − 4y 2 = 9 en (5, 2).
(c) La parábola x2 = 4cy (c > 0), en el vértice.
Solución
→
A partir de la parametrización −
σ (t) de la trayectoria, la curvatura se calcula por la fórmula
0
00
|σ (t) × σ (t)|
.
κ=
|σ 0 (t)|3
(a) Parametrizamos la elipse mediante la función σ(t) = (a cos t, b sen t), con 0 ≤ t ≤ 2π.
Tenemos ası́ que:
p
σ 0 (t) = (−a sen t, b cos t) =⇒ |σ 0 (t)| = a2 sen2 t + b2 cos2 t,
σ 00 (t) = (−a cos t, −b sen t) =⇒ σ 0 (t) × σ 00 (t) = (0, 0, ab) =⇒ |σ 0 (t) × σ 00 (t)| = ab.
Como el vértice (a, 0) corresponde a σ(0), su curvatura viene dada por la fórmula κ(0) =
ab/b3 = a/b2 (el mismo valor se obtiene para el vértice (−a, 0)).
Análogamente, como (0, b) = σ(π/2), entonces κ(π/2) = ab/a3 = b/a2 (que también es el
valor de la curvatura en el punto (0, −b).
x2
y2
(b) Escribimos la ecuación de la hipérbola como
−
= 1, la cual se parametriza
9
9/4
3
mediante la función σ(t) = 3 ch t, sh t . Ası́ pues,
2
r
3
9
0
0
σ (t) =
3 sh t, ch t =⇒ |σ (t)| = 9 sh2 t + ch2 t,
2
4
3
00
0
00
σ (t) =
3 ch t, sh t =⇒ σ (t) × σ (t) = (0, 0, −9/2) =⇒ |σ 0 (t) × σ 00 (t)| = 9/2.
2
En este caso, el punto (5, 2) corresponde a σ(t0 ), de donde ch t0 = 5/3 y sh t0 = 4/3. Por
36
9/2
tanto, la curvatura es κ(t0 ) = p
= √ .
3
89 89
(16 + 25/4)
t2 (c) Parametrizamos la parábola por la función σ(t) = t,
. Entonces, como σ 0 (t) =
4c
t 1
1
1,
y σ 00 (t) = 0,
, la curvatura en el vértice (0, 0) = σ(0) es κ(0) = .
2c
2c
2c
2
14. Contestar verdadero o falso a las siguientes proposiciones:
−
→
→
−
→
−
→
−
(a) lı́m f (t) = L si y sólo si lı́m | f (t) − L | = 0.
t→t0
t→t0
− − 0
→
→
−
→
(b) ( f × →
g ) (t) = (−
g × f )0 (t).
(c) Si el vector velocidad es constante, la curva es plana.
(d) Si la velocidad es constante, la curva es plana.
(e) Si el vector aceleración es constante, la curva es plana.
(f) Si el vector velocidad es perpendicular al vector aceleración, la curva es plana.
Solución
(a) La proposición es verdadera debido a la propia definición de lı́mite de una función
vectorial.
(b) La proposición es falsa pues
→ →0
−
(f ×−
g ) (t)
→ →
−
→
→ −
−
(f 0 × −
g )(t) + ( f × g 0 )(t)
→
−
→ −
−
→
→
−
→
→
= −(−
g × f 0 )(t) − ( g 0 × f )(t) = −(−
g × f )0 (t).
=
→
−
→
→
→
→
(c) Si −
v (t) = −
a , entonces −
σ (t) = −
a t + b . Esto corresponde a una recta, la cual está contenida evidentemente en un plano.
(d) Esta proposición es falsa, como lo demuestra el caso de la hélice, que tiene velocidad
constante, pero no es una curva plana. (ver problema ).
−
→
→
−
→ →
−
→ →
−
→
→
→
(e) Si σ 00 (t) = −
a , entonces σ 0 (t) = −
a t+ b y −
σ (t) = −
a t2 /2 + b t + −
c . Por tanto, el vector
→0
−
−
→
→ −
−
→
00
σ (t) × σ (t) = b × a es constante. Como dicho vector es perpendicular al plano osculador
de la curva, deducimos que todos los planos osculadores son paralelos.
Por otra parte, el plano osculador pasa por el punto
→
−
−
→
→ →
−
→ −
−
→ →
→ →
−
→ →
−
t2 −
−
→
→
→
σ (t) · [ σ 0 (t) × σ 00 (t)] =
·→
a ·( b ×−
a)+t· b ·( b ×−
a)+−
c ·( b ×−
a)=−
c ·( b ×−
a ),
2
que tampoco depende del valor de t. De este modo, todos los planos osculadores pasan por
el mismo punto.
En definitiva, toda la curva está contenida en su plano osculador (en realidad se trata de
una parábola).
→
−
−
→
→
−
→
−
(f) Si σ 0 (t) · σ 00 (t) = 0, entonces | σ 0 (t)| = k , de modo que estamos en la situación del
apartado (d). Por tanto, la proposición es falsa.
3