Función Longitud de Arco

Función Longitud de Arco
Rt
Si al extremo final de la curva L(t) =
kf 0 (t)kdt se deja variable, entonces el lı́mite superior de la
a
integral depende del parámetro t, y se tiene que la longitud de arco de una curva es función de la variable
Rt
escalar t o sea L(t) = kf 0 (t)kdt entonces L(t) define un nuevo parámetro para c al que se denomina
a
parámetro de longitud de arco. Es decir si tenemos una curva c = f (t) y f¯(t) es una reparametrización
de c tal que la rapidez con que f¯(t) recorre a C es constante igual a 1 es decir kf (t)k = 1 ∀ t ∈ I, por lo
tanto
L f¯(t) =
Z
b
kf 0 (t)kdt =
Z
b
1dt = b − a
a
a
por lo que f¯ sera una reparametrización tal que la longitud de la curva que describe es igual al tiempo
que tarda en recorrerla.
Ejemplo: Sea f (t) = (r cos t, r sin t). Obtengamos la reparametrizacion por la longitud de arco.
t
Z
Z tq
Z t
r2 (cos2 (t) + sin2 t)dt =
rdt = rt
kf 0 (t)kdt =
s = L(t) =
0
0
0
Entonces s = rt, por lo tanto rs = t.
Entonces el camino f¯(s) = f ( rs ) = (r cos( rs ), r sin( rs )) es la reparametrización por la longitud de
arco.
Observe que kf¯0 (s)k = k − r sin( rs ) 1r , r cos( rs ) 1r k = k − sin( rs ), cos( rs )k = 1 ∀ s ∈ I, como tenia que
ocurrir.
Ejemplo: Reparametrice la hélice r(t) = cos tî + sin tĵ + tk̂ con respecto a la longitud de arco.
Solución.
t
Z
kr2 (t)kdt =
s = s(t) =
Z tp
Z t√
√
cos2 t + sin2 t + 1dt =
2 dt = 2 t
0
⇒
s=
√
0
0
2t
s
√ =t
2
Por lo tanto
y t esta en función de s.
Por lo tanto la parametrización requerida es
r̄(t) =
cos
s
√
2
, sin
s
√
2
s
,√
2
y
0
kr̄ (s)k =
s
− sin
s
√
2
1
√
2
1
2
2 2
1
s
1
+ √ cos √
+ √
=
2
2
2
s √
1
s
1
s
+ sin2 √
+
cos2 √
= 1 =1
2
2
2
2
como tenia que ser.
Ejemplo: Obtenga la reparametrización de la catenaria f (t) = (t, cosh(t))
Solución. Tenemos que:
q
f 0 (t) = (1, sinh(t)) por lo tanto kf 0 (t)k = 1 + sinh2 (t) de la identidad cosh2 (t) − sinh2 (t) = 1
tenemos que:
q
q
kf 0 (t)k = 1 + sinh2 (t) = cosh2 (t) = cosh(t)
Z
⇒s=
t
kf 0 (t)kdt =
Z
0
Por lo tanto
s = sinh(t)
t
cosh(t) = sinh(t) − sinh(0) = sinh(t)
0
y
arcsin h(s) = t
{z
}
|
∗
Recordemos que si s = sinh(t), entonces:
s=
et − e−t
⇒ 2s = et − e−t ⇒ 2set = e2t − 1 ⇒ e2t − 2set − 1 = 0
2
y resolviendo esta última como una ecuación cuadrática de 2do grado en et tenemos que:
√
p
p
2s 4s2 + 4
= s + s2 + 1 ⇒ es = s + s2 + 1
e =
2
p
p
2
Por lo tanto s = ln s + s + 1 ⇒ t = ln s + s2 + 1
t
Por lo tanto la reparametrización por longitud de arco es:
p
p
f¯(s) = ln s + s2 + 1 , cosh ln s + s2 + 1
y
kf −1 (s)k =


p
1
2s
1
2s


√
√
1+ √
, sinh ln s + s2 + 1 
1+ √
=
2+1
2+1
2+1 s + s2 + 1
2
s
s
+
s
2
s
|
{z
}
∗
2
"√
#
#
"√ 2
1
s2 + 1 + s
s +1 +s 1
√
√
√
√
, sinh(arcsin(s))
=
2
2
2
s + s2 + 1
s +1
s+ s +1
s +1
r
r
√
s
1
s2 + 1
s2
√ 1
s2 + 1 , √s2 + 1 = s2 + 1 + s2 + 1 = s2 + 1 = 1 = 1
Vector tangente unitario, Normal principal
y plano osculador
Dada una curva f (t), el vector unitario tangente T es otra función vectorial asociada a la curva, y
está definida por:
T (t) =
f 0 (t)
kf 0 (t)k
siempre que kf 0 (t)k =
6 0.
Observese que:
0
f (t) 1
0
kT (t)k = kf 0 (t)k = kf 0 (t)k kf (t)k = 1
T es de magnitud constante, por lo tanto T · T 0 = 0. Si la dirección es lineal T 0 = 0.
Si T 0 6= 0 el vector unitario que tiene la misma dirección que T 0 se llama Normal principal a la curva
y se designa por N (t). Asi pues N (t) es una nueva función vectorial asociada a la curva y esta dada por
la ecuación:
N (t) =
T 0 (t)
kT 0 (t)k
kT 0 (t)k =
6 0
siempre que
Cuando los dos vectores unitarios T y N están trazados por el punto de la curva f (t), determinan un
plano llamado osculador de la curva.
El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva
es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva.
Ejemplo: Consideremos el camino f : R → R3 dado por:
f (s) =
cos
s
√
2
, sin
s
√
2
s
,√
2
el cual es dos veces diferenciable parametrizado por longitud de arco√y que describe una hélice
circular en R3 . Obtenga la ecuación del plano osculador en el punto f ( 2 π) = (0, 1, π).
Solución. Tenemos que:
f 0 (s)
T (s) = 0
=
kf (s)k
1
− √ sin
2
3
s
√
2
1
, √ cos
2
s
√
2
1
,√
2
√
y T ( 2 π) = (0, − √12 , √12 ), por otro lado:
T 0 (s)
N (s) =
=
kT 0 (s)k
s
1
1
1
s
1
√
√
√
√
√
√
cos
,−
sin
, 0 (2) =
−
2
2
2
2
2
2
s
s
= − cos √ , , − sin √
,0
2
2
√
√
√
y N ( 2 π) = (1, 0, 0). Ahora realizamos T ( 2 π) x N ( 2 π) =
î
−1
√
√s
sin
2
= 2
− cos √s
2
ĵ
√1
2
cos
− sin
√s
2
√s
2
k̂ 1
s
−1
s
1
√1 2 =
√
√
√
√
√
sin
,
cos
,
2
2
2
2
2
0 √
al evaluar en 2 π nos queda (0, √12 , √12 ). Por lo tanto la ecuación del plano osculador en
P = (0, 1, π) es:
1
1
(x − 0, y − 1, z − π) · 0, √ , √
2
2
=0
1
1
⇒ √ (y − 1) + √ (z − π) = 0
2
2
⇒y+z =π−1
Un tercer vector definido mediante B = T xN recibe el nombre de Vectror binomial. Los tres vectores
unitarios T, N y B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha
llamado Triedo de Frenet.
El plano generado por T y N se denomina plano osculador. El plano generado por N y B se llama
plano normal, mientras que el plano generado por T y B se llama plano rectificador.
Ejercicio: Obtenga las ecuaciones del plano normal y del plano rectificador del ejercicio anterior y en el
mismo punto.
√
−1 √1
Solución. Para el plano normal tenemos P = (0, 1, π) y T ( 2 π) = (0, √
, 2 ) por lo tanto la
2
ecuación es:
1
1
ó
−y+z =π−1
(x − 0)0 − √ (y − 1) + √ (z − π) = 0
2
2
√
Para el plano rectificador tenemos P = (0, 1, π) y N ( 2 π) = (1, 0, 0), por lo tanto la ecuación
es:
1(x − 0) + 0(y − 1) + 0(z − π) = 0
4
ó
x=0
−1 √1
, 2 ).
La recta Tangente es (x, y, z) = (0, 1, π) + t(0, √
2
La recta Normal es (x, y, z) = (0, 1, π) + t(1, 0, 0).
La recta Binormal es (x, y, z) = (0, 1, π) + t(0, √12 , √12 ).
En Resumen:
La ecuación del plano Normal es ........... (q − f (s)) · T (s) = 0
La ecuación del plano Rectificador es ..... (q − f (s)) · N (s) = 0
La ecuación del plano Osculador es ........ (q − f (s)) · B(s) = 0
La ecuación de la recta Tangente es ....... q = f (s) + tT (s)
La ecuación de la recta Normal es ......... q = f (s) + tN (s)
La ecuación de la recta Binormal es ....... q = f (s) + tB(s)
En una recta, el vector unitario tangente T no cambia su dirección y por tanto T 0 = 0. Si la curva no
es una linea recta, la derivada T 0 mide la tendencia de la tangente a cambiar su diracción. El coeficiente de
variación o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denomina vector curvatura
de la curva. Se designa por dT /ds donde s representa la longitud de arco.
La regla de la cadena y la fórmula s0 (t) = kf 0 (t)k permite relacionar el vector curvatura dT /ds con la
derivada T 0 respecto al tiempo mediante la ecuación:
dT dt
1
1
dT
=
= T 0 ds = T 0 0
ds
dt ds
kf
(t)k
dt
y puesto que T 0 (t) = kT 0 (t)kN (t), obtenemos:
dT
1
= 0
kT 0 kN (t)
ds
kf (t)k
que dice que el vector curvatura tiene la misma dirección que la normal principal N (t). El factor de
escala que multiplica a N (t) es un número no negativo llamado curvatura de la curva en t, y se designa
por k(t).
Asi la curvatura de k(t) definida como la longitud del vector curvatura esta dado por la fórmula
siguiente:
k(t) =
kT 0 (t)k
kf 0 (t)k
5
Ejemplo: Curvatura de una circunferencia. Para un cı́rculo de radio a dado por la ecuación r(t) =
(a cos t, a sin t) tenemos:
r0 (t) = (−a sin t, a cos t)
y
T (t) = (− sin t, cos t)
y
T 0 (t)(− cos t, − sin t)
Por lo tanto kT 0 (t)k = 1, por lo tanto k(t) = a1 .
Esto prueba que una circunferencia tiene curvatura constante y el reciproco de la curvatura es el
radio de la circunferencia cuando k(t) 6= 0, su inverso se denomina radio de curvatura y se designa
por ρ.
Teorema.- Dada una función vectorial f (t), designamos por n(t) la rapidez en el instante t u(t) =
kf 0 (t)k. Entonces el vector aceleración a es una combinación lineal de T y T 0 dada por la fórmula
a(t) = u0 (t)T (t) + u(t)T 0 (t). Si T 0 (t) 6= 0, también tenemos a(t) = u0 (t)T (t) + u(t)kT 0 (t)kN (t).
Demostración: La fórmula del vector tangente unitario nos da:
f 0 (t)
f 0 (t)
=
=T
0
kf (t)k
u(t)
Por lo tanto f 0 (t) = T · u(t), derivando esto obtenemos:
f 00 (t) = T 0 u(t) + u0 (t)T (t) = kT 0 kN (t)u(t) + u0 (t)T (t)
Teorema.- Dada una función vectorial f (t) con vector velocidad v(t), rapidez u(t) = kf 0 (t)k, aceleración
a(t) y curvatura k(t).
Tenemos a(t) = u0 (t)T 0 + k(t)kf 0 (t)k2 N (t).
Demostración: Como
k(t) =
kT 0 (t)k
kf 0 (t)k
⇒ kT 0 (t)k = k(t)kf 0 (t)k
y de
T 0 (t)
= N (t)
kT 0 (t)k
tenemos que
T 0 (t) = kT 0 (t)kN (t) = k(t)kf 0 (t)kN (t)
y de la ecuación a(t) = u0 (t)T (t) + u(t)T 0 (t) se tiene que a(t) = u0 (t)T (t) + u2 (t)k(t)N (t).
Tomando a(t) = u0 (t)T (t) + k(t)u2 (t)N (t) y v(t) = u(t)T (t).
Efectuamos
a(t) x v(t) = u0 (t)T (t) + k(t)u2 (t)N (t) x u(t)T (t)
= u0 (t)T (t) x u(t)T (t) + k(t)u2 (t)N (t) x u(t)T (t)
6
= u0 (t)u(t)T (t) x T (t) + k(t)u3 (t)N (t) x T (t)
|
{z
}
0
⇒ a(t) x v(t) = k(t)u3 (t)N (t) x T (t)
y por lo tanto
ka(t) x v(t)k = kk(t)k ku3 (t)k kN (t)k kT (t)k k sin
π
2
k
ka(t) v(t)k = k(t)u3 (t)
Por lo tanto
k(t) =
ka(t) x v(t)k
u3 (t)
Definición.- El radio de curvatura es ρ = k1 el reciproco de la curvatura, el cı́rculo de curvatura o circulo
osculador en un punto P sobre una curva plana donde k 6= 0 es el circulo en el plano de la curva
que:
i)
ii)
iii)
iv)
Es tangente a la curva en P.
Tiene la misma curvaturaque la curva en P.
Se encuentra hacia el lado concavo o interior de la curva.
El radio de la curvatura de la curva P es el radio del cı́rculo de curvatura o cı́rculo osculador.
Asi el centro del cı́rculo osculador (llamado centro de curvatura) debe estar en:
c(t) = f (t) +
1
N (t)
k(t)
Para el caso especial de una curva plana con ecuación y
y escribir r(x) = xî + f (x)ĵ entonces r0 (x) = î + f 0 (x)ĵ y
î
ĵ
0
00
r (x) x r (x) = 1 f 0 (x)
0 f 00 (x)
7
= f (x) podemos escoger x como el parámetro
r00 (x) = f 00 (x)ĵ y al efectuar:
k̂ 0 = f 00 (x)k̂
0 Por lo tanto kr0 (x) x r00 (x)k = kf 00 (x)k.
Por otro lado kf 0 (x)k =
p
1 + [f 0 (x)]2 . Por lo tanto, para una curva plana
kf 00 (x)k
k(x) = p
1 + [f 0 (x)]2
3/2
Ejemplo: Determine los vectores T y N , la curvatura k y el centro de la curvatura de la parábola y = x2
en el punto (1, 1)
Solución. Si la parábola esta parametrizada por x = t y por y =√
t2 , entonces su vector de posición
es f (t) = (t, t2 ), por lo tanto f 0 (t) = (1, 2t) ⇒ kf 0 (t)k =
tanto:
(1, 2t)
T (t) = √
1 + 4t2
T (1) =
1
2
√ ,√
5
5
1 + 4t2 , y f 00 (t) = (0, 2), por lo
N (t) =
−2 1
√ ,√
5
5
perpendicular a T ,
kf 00 (t)k
k = p
1 + [f 0 (t)]2
3 = √
2
1 + 4t2
3
√
5 5
⇒ ρ=
2
2
k(1) = √
5 5
Por lo tanto el centro de la curvatura es
c(t) = f (1, 1) +
1
2
√
5 5
−2 1
√ ,√
5
5
=
7
−4,
2
Y la ecuación del cı́rculo osculador a la parábola es, por tanto:
7
(x + 4) + y −
2
2
2
=
√ !2
125
5 5
=
2
4
Ejemplo: Calcule la curvatura k de la hélice x(t) = a cos(wt), y(t = a sin(wt)), z(t) = bt
Solución. Tenemos que:
f 0 (t) = (−wa sin(wt), aw cos(wt), b) ⇒ kf 0 (t)k =
p
a2 w2 + b2
Por lo tanto
T = (−aw sin(wt), aw cos(wt), b) √
1
a2 w2 + b2
Por lo tanto
k=
kT 0 k
1
= k − aw2 cos(wt), −aw2 sin(wt), 0k √
=
2
kf 0 k
a w 2 + b2
8
=
q
(aw2 )2 (cos2 (wt) + sin2 (wt)) √
1
a2 w2
+
b2
=√
aw2
+ b2
a2 w2
En resumen:
B̂ = T̂ x N̂
N̂ = B̂ x T̂
T̂ = N̂ x B̂
y por tanto
−B̂ = N̂ x T̂
−N̂ = T̂ x B̂
−T̂ = B̂ x N̂
Dado que B(s) = T (s) x N (s) se tiene que B 0 (s) = T 0 (s) x N (s) + T (s) x N 0 (s)
{z
}
|
∗
* Este sumando es igual a cero ya que T 0 (s) = f 00 (s) es un vector en la dirección de N (s) y por tanto
son colineales por lo que su producto cruz es cero, por lo tanto B 0 (s) = T (s) x N 0 (s).
Ahora como B 0 (s) es un vector ortogonal a T (s) podemos concluir que B 0 (s) es un vector en el
plano osculador.
Por lo que si B 0 (s) es un vector paralelo a N (s), entonces existe un escalar z(s) tal que B 0 (s) =
z(s)N (s).
Por otro lado N 0 (s) es ortogonal a N (s). Por lo tanto se puede escribir como N 0 (s)µ(s)T (s) +
z(s)B(s).
9