Chapter 1 Cálculo integral

Chapter 1
Cálculo integral
1. Verificar que La función de Dirichlet.

 0 si x ∈ Q
f (x) =

1 si x ∈ R \ Q
no es integrable Riemann.
2. Determinar si la función
f (x) =


sin2 (x)


si x ∈ [−1, 0]


x


cos x






 ln x
si x ∈ [0, 2]
si x ∈ [2, 3]
es integrable de Riemann.
3. Determinar la integral
Z
1
f (x) dx
0
siendo

1 si 0 ≤ x < 13 ,





2 si 13 ≤ x < 23 ,
f (x) =





3 si 23 ≤ x < 1.
1
2
CHAPTER 1. CÁLCULO INTEGRAL
4. Consideremos la función
f (x) =
Determinar

 1 si 0 ≤ x ≤ 1,

2 si 1 < x ≤ 2.
F (x) =
Z
x
f (s) ds
0
para todo x ∈ [0, 2].
5. Calcular
Z

x + 1 si −1 ≤ x < 0,





1
si x = 0
f (x) =
2




 2
x
si 0 < x ≤ 1
6. Evaluar
Z
1
−1
7. Calcular:
(a) lim Z
x−→0
x−→0
f (x) dx
−1
siendo
(b) lim
1
Z
x
.
x
0
1
dt
1+t2
x2
t2 dt
0
.
4
8. Hallar F 0 (x) siendo
(a) F (x) =
(b) F (x) =
Z
Z
x+1
t3 dt.
0
x2 +1
t2 dt.
−1
|3x + 1| dx.
3
9. Calcular la integral
Z
b
sin xdx
0
utilizando la regla de Barrow.
10. Estudiar, sin resolver la integral, los máximos mínimos, crecimiento y
decrecimiento de F (x) para x ≥ 0 en R, que está definida por
Z x
F (x) =
sin t4 dt.
0
INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Z
(1 +
√
√
x)(1 + x − x)dx.
Z
(x2 + 1)(x2 − 2)x
Z
x+2
dx.
x+1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
−2
3
dx.
√
√
( a − x)4
√
dx.
ax
2x − 7
dx.
x2 + 9
9x2
2x + 3
dx.
− 12x + 18
sin2 axdx
sin2 x cos3 xdx
cos(6x + 7) cos(2x − 5)dx.
4
CHAPTER 1. CÁLCULO INTEGRAL
10.
11.
Z
Z
sin 3x cos 5xdx.
x5 − x4 + 2x3 − 7x2 + x − 6
dx.
(x − 1)7
INTEGRALES RESOLUBLES POR PARTES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
√
x 1 + xdx.
x2 ln xdx.
x2 sin xdx.
sin(ln x)dx.
x3 e2x dx.
1
arcsin dx.
x
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
1.
2.
3.
4.
5.
Z
Z
Z
Z
Z
e
√
3x
2
x3
dx.
e4x
dx.
e4x + 1
tan x1
dx.
x2
csc dx.
sin 2x
√
dx.
3
5 + sin2 x
5
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
1
cos
dx.
x3
x2
x3 cos(2x4 + 1)dx
32x sin(1 + 32x )dx.
1
√
√ dx.
x cos2 x
ex
1
dx.
cos2 e−x
1
dx.
x sin (1 + ln x)
2
x2
√
dx.
1 − x6
1
√
dx.
4 − x2
1
√
dx.
−4x − x2
1
√
dx.
20 + 8x − x2
x2
1
dx.
+9
1
dx.
+9
4x2
ex
dx.
e2x + 6ex + 10
1
1
√
dx efectuando el cambio de variable x = .
t
x2 4 + x2
√
sin xdx efectuando el cambio de variable t2 = x.
6
CHAPTER 1. CÁLCULO INTEGRAL
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
√
dx efectuando el cambio de variable x = 2 cos t.
x2 4 − x2
(ex − 2)ex
dx efectuando el cambio de variable ex = t.
ex + 1
√
x5 1 − x3 dx efectuando el cambio de variable 1 − x3 = t.
ln 2x
dx efectuando el cambio de variable ln 2x = t.
x ln 4x
e2x
√ x
dx efectuando el cambio de variable ex + 1 = t2 .
e +1
xearcsin x
√
dx efectuando el cambio de variable arcsin x = t.
1 − x2
1
1
x3 + x2
1+x
1
3
1
dx efectuando el cambio de variable x 6 = t.
INTEGRALES RACIONALES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
x3
x+1
dx.
+ x2 − 6x
x2 + 3x − 4
dx.
x2 − 2x − 8
3x + 5
dx.
(x + 1)(x − 1)2
4x2 − 5x + 2
dx.
(4x2 − 1)(5x − 2)
x4 − x3 − x − 1
dx.
x3 − x2
1
dx.
x(1 + x)2
7
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
5x2 + 6x + 9
dx.
(x − 3)2 (x + 1)2
1
dx.
(x2 − 2x + 2)2
12
(x +
1)2 (x2
(x +
1)(x2
+ 1)2
dx.
1
+ x + 1)2
x3 − 17
dx.
(x2 − 4x + 5)2
(x4
1
dx.
− 1)2
dx.