Guía de Ejercicios de Equilibrio General

Guía de Equilibrio General
Ejercicio extraído de Mas-Colell, Whinston y Green, con algunas modificaciones
1- Considere una economía “caja de Edgeworth” en que dos consumidores tienen
preferencias con no saciedad local. Sea xli ( p ) la demanda del consumidor i del bien l y
sea los precios p = ( p1 , p2 ) .
a) Demuestre que p1 (∑ i x1i ( p ) − w1 ) + p2 (∑ i x2i ( p ) − w2 ) = 0 para todo p.
b) Argumente la ley de Walras para este ejemplo, cuando los precios son
estrictamente positivos.
Ejercicio extraído de Mas-Colell, Whinston y Green, con algunas modificaciones
2- Considere una economía “caja de Edgeworth” (o sea, dos consumidores y dos bienes)
en el que cada consumidor tiene funciones de utilidad Cobb-Duoglas
α 1−α
u1 ( x11 , x12 ) = x11
x21 y u1 ( x12 , x12 ) = x12β x122− β , donde α , β ∈ (0,1) . Las dotaciones del
consumidor i son wi = ( w1i , w2i ) >> 0 para todo i. Encuentre:
a) Las funciones de demanda del consumidor 1 y 2.
b) Las funciones de exceso de demanda de los dos mercados.
c) Encuentre el equilibrio competitivo. Interprete cada ecuación.
d) ¿Cómo cambia el equilibrio con un cambio diferencial en w11 ?
e) Considere el caso particular donde w1 = (1, 0) y w2 = (0,1) . Calcule la
asignación óptima y que se verifica la condición de consistencia agregada.
Interprete cada ecuación y sea consistente con la interpretación en el punto
c).
Ejercicio extraído de Mas-Colell, Whinston y Green, con algunas modificaciones
3- Considere una economía “caja de Edgeworth” (o sea, dos consumidores y dos bienes)
en el que cada consumidor tiene funciones de utilidad
1
1
u1 ( x11 , x21 ) = x11 − x21−1/ 8 y u2 ( x12 , x22 ) = − x12 −1/ 8 + x22
8
8
Las dotaciones del consumidor i son w1 = (2, r ) y w2 = (r , 2) , donde r = 28 / 9 − 21/ 9 .
a) Calcula las funciones de demanda.
b) Verifique que los precios de equilibrio son 1, ½ y 2 (Donde el precio relativo
puede ser p1 / p2 o p2 / p1 , que en este caso, dada la simetría es lo mismo).
Ejercicio extraído de Mas-Colell, Whinston y Green, con algunas modificaciones
4- Compute los equilibrios de la siguiente economía “caja de Edgeworth”
⎛ −2 ⎛ 12 ⎞3 −2 ⎞
u1 ( x11 , x21 ) = ⎜ x11 + ⎜ ⎟ x21 ⎟
⎜
⎟
⎝ 37 ⎠
⎝
⎠
⎛ ⎛ 12 ⎞3 −2
⎞
u2 ( x12 , x22 ) = ⎜ ⎜ ⎟ x12 + x22 −2 ⎟
⎜ ⎝ 37 ⎠
⎟
⎝
⎠
−1/ 2
y w1 = (1, 0)
−1/ 2
y w2 = (0,1)
Ejercicio extraído de Mas-Colell, Whinston y Green, con algunas modificaciones
5- ¿Se acuerda de la diferencia entre eficiencia débil y fuerte en el sentido de Pareto?
Demuestre que si las preferencias son continuas y fuertemente monótonas, entonces las
dos nociones de eficiencia son equivalente para cualquier solución interior. Asuma que
el conjunto de consumo es X i = \ L+ ∀i . Si se mantienen continuidad y estricta
monotonicidad de las preferencias ¿Puede pasar que no se demanden todas las
dotaciones de la economía si la asignación es eficiente o débil en el sentido de Pareto?
Justifique.
Problema extraído de “lecciones de microeconomía” (Villar)
6- Discutir las siguientes afirmaciones:
a) Si en una economía de intercambio todos los consumidores poseen
idénticas dotaciones de recursos ( wi = wk para todo i, k=1, 2, …, m),
entonces no se producirá intercambio alguno.
b) Si en una economía de intercambio todos los consumidores poseen
idénticas funciones de utilidad ( ui = uk para todo i, k=1, 2, …, m),
entonces no se producirá intercambio alguno.
c) En una economía de intercambio no se producirá intercambio alguno si
y solo si tanto las dotaciones de recursos como las funciones de utilidad
de todos los consumidores son idénticas.
Problema extraído de “lecciones de microeconomía” (Villar)
7- Consideremos una economía de intercambio puro con dos mercancías, cuyas
cantidades denotamos por xli , donde xli es la demanda de l del individuo i. Existen m1
consumidores del tipo 1, y m2 consumidores del tipo 2, cuyas preferencias vienen
descritas por las siguientes funciones de utilidad:
1
1
Tipo 1:
log x11 + log x21 xl1 > 0 ∀l
2
3
Tipo 2:
2x12 + x22
xl 2 ≥ 0 ∀l
Las dotaciones iniciales de bienes son: una unidad de cada bien para los
consumidores de tipo A, y 12 unidades de cada bien para los del tipo B. Determinar el
equilibrio competitivo de esta economía cuando ma = mb . ¿Puede dar una indicación de
cómo cambia el equilibrio al variar ma ?
Problema extraído de “lecciones de microeconomía” (Villar)
8- Considere una economía de intercambio puro con dos consumidores, i=1,2, y dos
bienes, l=1,2. Los datos de la economía son los siguientes:
Consumidor 1: X 1 = ℜ 2+ , u1 ( x1 ) = x11.x21 , w1 = ( 0,1)
Consumidor 2: X 2 = ℜ 2++ , u2 ( x2 ) = min { x12 , x22 } , w2 = (1, 0 )
Calcule el equilibrio competitivo de esta economía.
Problema extraído de “lecciones de microeconomía” (Villar)
9- Considere una economía de intercambio puro con tres individuos i=1,2,3 y tres
bienes l=1,2,3. Los datos de esta economía son los siguientes:
X i = ℜ3+ , para i=1,2,3.
Consumidor 1: u1 ( x1 ) = min { x11 , x21} , w1 = ( k , 0, 0 )
Consumidor 2: u2 ( x2 ) = min { x22 , x32 } , w2 = ( 0, k , 0 )
Consumidor 3: u3 ( x3 ) = min { x13 , x33 } , w3 = ( 0, 0, k )
Suponiendo que k>0, calcule el equilibrio de esta economía.
Problema extraído de “lecciones de microeconomía” (Villar)
10- Sea E = { X i , ui , wi }i =1 , donde es X i , ui y wi es el conjunto de consumo, las
preferencias y las dotaciones del individuo i, una economía de intercambio en la que
existe una autoridad que tiene la capacidad de establecer impuestos y repartir los
ingresos obtenidos en forma de subvenciones. Supongamos que dicha autoridad
establece el siguiente sistema de impuestos y subvenciones: (1) Cada consumidor debe
pagar como impuesto una fracción α ∈ ( 0,1) de su riqueza (es decir, el i-ésimo
m
consumidor paga unos impuestos ti ( p ) = α . p.w ). (2) cada consumidor recibe una
fracción de la recaudación que es igual para todos (es decir, el i-ésimo consumidor
1 m
recibe una subvención σ i ( p ) = ∑ i =1α . p.w ). Definamos un equilibrio competitivo
m
m
con impuestos y subvenciones como un vector de precios p y una asignación { xi *}î =1 tal
que:
(a) Para todo i, xi * , maximiza la utilidad ui sobre el conjunto
{x ∈ ℜ
i
: p *.xi ≤ p *.w − ti ( p ) + σ i ( p *)}
l
+
m
(b)
m
∑w = ∑x *
i
i =1
m
(c)
i =1
i
∑ t ( p) = ∑
i =1
i
m
i =1
σ i ( p)
(i) Probar que existe un equilibrio con impuestos y subvenciones.
(ii) ¿Puede considerar que este sistema impositivo hace más igualitaria la distribución
de la riqueza?
Extraído de la guía de la universidad Torcuato Di Tella
11- Considere una economía de intercambio de dos bienes. El agente uno tiene una
función de utilidad u1 ( x11 , x21 ) = x112 + x212 y su dotación es w1 = (1, 0) . El agente 2 tiene
una función de utilidad u2 ( x12 , x22 ) = x121/ 3 x22 2 / 3 y su dotación inicial es w2 = (0,1) .
(a)Obtenga la demanda de ambos agente (cuidado, a la hora de sacar la demanda
del agente 1)
(b)¿Existe algún equilibrio competitivo en esta economía? Si su respuesta es
afirmativa obtenga al menos uno. Si es negativa, explique por qué. Grafique la caja de
Edgeworth para esta economía.
(c)¿Es válido suponer el primer teorema del bienestar en esta economía?¿Y el
segundo?
(d) Supongamos que en lugar de dos esta economía cuenta con seis agentes, tres
de los cuales son idénticos y tiene las preferencias y la dotación inicial especificadas
arriba para el agente uno; Los tres agentes restantes son idénticos y tienen las
preferencias y la dotación inicial especificadas arriba para el agente dos. ¿Existe un
equilibrio competitivo en esta economía? Grafique la caja de Edgeworth con las
demandas promedio de cada tipo de agente. Explique su respuesta en relación con el
teorema de existencia de equilibrio general en economías de intercambio.
Ejercicio extraído de “Advances microeconomic Theory”, de Jehn y Reny
12- Una economía de intercambio tiene dos consumidor con funciones de gasto
1/ 3
e1 ( p, u ) = ⎡⎣3(1,5)2 p12 p2eu ⎤⎦
1/ 3
e2 ( p, u ) = ⎡⎣3(1,5) 2 p1 p22eu ⎤⎦
Sus dotaciones iniciales son w1 = (10, 0) y w2 = (0,10) . Encuentre el equilibrio
competitivo.
Respuestas:
x11 ( p ) = α
2. a-
p1w11 + p2 w21
p w + p2 w21
, x21 ( p ) = (1 − α ) 1 11
p1
p2
p1w12 + p2 w22
p w + p2 w22
, x22 ( p ) = (1 − β ) 1 12
p1
p2
p w + p2 w21
p w + p2 w22
+ β 1 12
− w11 − w12
z1 ( p ) = α 1 11
p1
p1
x12 ( p ) = β
b-
z2 ( p ) = (1 − α )
c- p1 = 1, p2 * =
p1w11 + p2 w21
p w + p2 w22
+ (1 − β ) 1 12
− w21 − w22
p2
p2
(1 − α ) w11 + (1 − ) w12
α w21 + β w22
x11 ( p*) = α ( w11 + p2 * w21 ) , x21 ( p*) = (1 − α )
w11 + p2 * w21
p2 *
x12 ( p*) = β ( w12 + p2 * w22 ) , x22 ( p*) = (1 − β )
d-
(1 − α ) > 0
dp2 *
=
dw11 α w21 + β w22
w12 + p2 * w22
p2 *
⎛
(1 − α ) w ⎞ > 0, dx21 ( p*) = (1 − α ) ⎡1 − 1 − α w (1 − α ) ⎤ ≤ 0
dx11 ( p*)
= α ⎜1 +
) 11
⎢ (
⎥
21 ⎟
dw11
dw21
p2 * ⎣
α w21 + β w22 ⎦ ≥
⎝ α w21 + β w22
⎠
(1 − α ) w > 0, dx22 ( p*) = − 1 − β w ⎛ 1 ⎞ (1 − α ) < 0
dx12 ( p*)
=β
(
) 12 ⎜ ⎟
dw11
dw11
α w21 + β w22 22
⎝ p2 * ⎠ α w21 + β w22
(1 − α )
e- p1 = 1, p2 * =
2
β
x11 ( p*) = α , x21 ( p*) = β
x12 ( p*) = 1 − α , x22 ( p*) = (1 − β )
z1 ( p*) = α + (1 − α ) − 1 = 0
z2 ( p*) = β + (1 − β ) − 1 = 0
8
3. a-
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞9
⎛p ⎞
x11 ( p) = 2 + r ⎜ 2 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ , x21 ( p) = ⎜ 2 ⎟
⎝ p1 ⎠ ⎝ p1 ⎠
⎝ p1 ⎠
−
1
9
−
1
9
⎛p ⎞
⎛p ⎞ ⎛p ⎞
x12 ( p) = ⎜ 2 ⎟ , x22 ( p ) = 2 + r ⎜ 2 ⎟ − ⎜ 2 ⎟
⎝ p1 ⎠
⎝ p1 ⎠ ⎝ p1 ⎠
b- La condición de equilibrio en el mercado 2 es
⎛ p2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ p1 ⎠
−
1
9
8
9
8
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞9
+ 2+ r⎜ 2 ⎟−⎜ 2 ⎟ = 2+ r
⎝ p1 ⎠ ⎝ p1 ⎠
4. ax11 ( p ) =
x12 ( p ) =
1
12 ⎛ p ⎞
1+ ⎜ 2 ⎟
37 ⎝ p1 ⎠
p2
p1
2
3
, x21 ( p ) =
1
1
p2 37 ⎛ p2 ⎞ 3
+ ⎜ ⎟
p1 12 ⎝ p1 ⎠
2
37 ⎛ p ⎞ 3
1+ ⎜ 2 ⎟
12 ⎝ p1 ⎠
Si p = p2 / p1
1
p
3
3
+
= 1 ⇔ p* = 1, ( 3 / 4 ) , ( 4 / 3)
2
2
12
37
1+ ( p)3 1+ ( p)3
37
12
{
}
6- a-Falso.
b- Falso.
c- Verdadero.
⎡ ⎡ p ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ 2 / 3⎤ ⎡ 9 /10 ⎤ ⎡121/10 ⎤ ⎤
x2 ] = ⎢ ⎢ x ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢ 12 ⎥ ⎥ = ⎢ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥⎥
⎣⎢ ⎣ ps ⎦ ⎣ x21 ⎦ ⎣ s22 ⎦ ⎦⎥ ⎣ ⎣ 1/ 3 ⎦ ⎣18 /10 ⎦ ⎣ 59 / 5 ⎦ ⎦
⎡ ⎡ p ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ ⎤ ⎡ ⎡1⎤ ⎡1/ 2 ⎤ ⎡1/ 2 ⎤ ⎤
8- ⎡⎣ P x1 x2 ⎤⎦ = ⎢ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢ 12 ⎥ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥
⎣⎢ ⎣ p2 ⎦ ⎣ x21 ⎦ ⎣ x22 ⎦ ⎦⎥ ⎣ ⎣1⎦ ⎣1/ 2 ⎦ ⎣1/ 2 ⎦ ⎦
⎡ ⎡ p1 ⎤ ⎡ x11 ⎤ ⎡ x12 ⎤ ⎡ x13 ⎤ ⎤ ⎡ ⎡1⎤ ⎡ k / 2 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢
10- ⎣⎡ P x1 x2 x3 ⎦⎤ = ⎢ ⎢⎢ p2 ⎥⎥ ⎢ x21 ⎥ ⎢ x22 ⎥ ⎢ x23 ⎥ ⎥ = ⎢ ⎢⎢1⎥⎥ ⎢⎢ k / 2 ⎥⎥ ⎢⎢ k / 2 ⎥⎥
⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ ⎣ p3 ⎦ ⎣ x31 ⎦ ⎣ x32 ⎦ ⎣ x33 ⎦ ⎦ ⎣ ⎣1⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ k / 2 ⎦
11-
7- [ P
x1
⎡ k / 2⎤ ⎤
⎢ 0 ⎥⎥
⎢
⎥⎥
⎢⎣ k / 2⎥⎦ ⎥⎦
⎧ p1
⎪(0, ) si p1 > p2
a- ( x11 ( p), x21 ( p)) = ⎨ p2
⎪(1, 0) si p < p
⎩
1
2
p 2
( x11 ( p ), x21 ( p )) = ( 2 , )
3 p1 3
b- No existe ningún equilibrio competitivo en esta economía
c- El primer teorema es válido, pero el segundo no.
d- Existe equilibrio, y es
p
1 2
1 2
1 2
( 2 x11 x12 x13 x12 x22 x23 ) = (1 (1, 0) (1, 0) (0,1) ( , ) ( , ) ( , ))
p1
3 3
3 3
3 3
12- ⎡⎣ P
x1
⎡⎡ p ⎤
x2 ⎤⎦ = ⎢ ⎢ 2 ⎥
⎢⎣ ⎣ p2 ⎦
⎡ x11 ⎤ ⎡ x12 ⎤ ⎤ ⎡ ⎡1⎤ ⎡ 20 / 3⎤ ⎡10 / 3 ⎤ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ = ⎢⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥⎥
⎣ x21 ⎦ ⎣ x22 ⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎣1⎦ ⎣10 / 3 ⎦ ⎣ 20 / 3⎦ ⎦