Ejemplos de planteamientos de Programación Lineal

Investigación de Operaciones
Ejemplos de planteamientos de Programación Lineal
1. Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos para $40
000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3 500 horashombre de mano de obra durante los meses de invierno y 4 000 horashombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas
horas-hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un
campo vecino por $5 la hora durante los meses de invierno y por $6 la hora
en el verano.
Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha: soya,
maíz y avena y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas
ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca
requerirá un desembolso de $1 200 y cada gallina costará $9.
Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras
50 horas-hombre durante el verano; cada una producirá un ingreso anual
neto de $1 000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina
son: nada de terreno, 0.6 horas-hombre durante el invierno, 0.3 horashombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 300 gallinas en el
gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las
estimaciones de las horas-hombre y el ingreso por acre plantado con cada
tipo de cosecha se indican en la tabla.
La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de
cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso
neto. Formule el modelo de PL para este problema.
Horas-hombre en invierno
Horas-hombre en verano
Ingreso neto anual ($)/acre
Soya
20
50
600
Maíz
35
75
900
Avena
10
40
450
Tomado de “Introducción a la Investigación de Operaciones”
Hillier/Lieberman
Quinta Edición, Mc Graw Hill
Cap. 3, Problemas del final del capítulo.
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Diana Cobos
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Investigación de Operaciones
Sol. Problema 2
Sean
= acres destinados a soya
= acres destinados a maíz
= acres destinados a avena
= número de vacas
= número de gallinas
= exceso de horas-hombre en el invierno
= exceso de horas-hombre en verano
Luego entonces la función objetivo puede expresarse como:
Sujeta a:
acres
inversión
h-h invierno
h-h verano
vacas
gallinas
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Diana Cobos
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Investigación de Operaciones
Ejemplos de planteamientos de Programación Lineal
2. Cierta compañía tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de
producción. Las tres pueden fabricar un determinado producto y la gerencia
ha decidido usar parte de la capacidad adicional para esto. El producto puede
hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico, que darán una ganancia
neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de
mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada
una, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate.
La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso
impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo
producto. Se cuenta con 13 000, 12 000 y 5 000 ft 2 de espacio en las plantas
1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este
producto. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20,
15 y 12 ft2 respectivamente.
Los pronósticos de mercado indican que se puede vender 900, 1 200 y 750
unidades diarias, correspondientes a los tamaños grande, mediano y chico.
Con el fin de mantener una carga uniforme de trabajo entre las plantas y para
conservar alguna flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción
adicional que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad
adicional con que cuentan.
El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en
cada planta para maximizar la ganancia.
Formule el modelo de PL para este problema.
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Diana Cobos
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Investigación de Operaciones
Solución
Plantas
1
2
3
Capacidad
unid/día
700
900
450
Espacio
ft2
13,000
12,000
5,000
Producto Grande Mediano Chico
420
360
300
Ganancia
900
1 200
750
Demanda
Sean
= unidades de tamaño i producidas por la planta j i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3
La función objetivo es
Max X0 = 420 (X31 + X32 + X33) + 360 (X21+ X22 + X23) + 300 (X11 + X12 + X13)
Restricciones de mercado son:
Grande
Mediano
Chico
X31 + X32 + X33
X21 + X22 + X23
X11 + X12 + X13
900
1 200
750
Capacidad de producción
Planta 1
Planta
Planta
X31 + X21 + X11
2X32 + X22 + X12
3X33 + X23 + X13
750
900
450
Espacio
Planta 1
Planta 2
Planta 3
20 X31 + 15 X21 + 12 X11
20 X32 + 15 X22 + 12 X12
20 X33 + 15 X23 + 12 X13
13 000
12 000
5 000
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Diana Cobos
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Investigación de Operaciones
La producción asignada a cada planta debe ser proporcional a su capacidad
Luego entonces el problema ya simplificado es:
Max X0 = 420 X31 + 420 X32 + 420 X33 +
360 X21 + 360 X22 + 360 X23 +
300 X11 + 300 X12 + 300 X13
Sujeta a:
Grande
Mediano
Chico
X31 + X32 + X33
X21 + X22 + X23
X11 + X12 + X13
900
1 200
750
Restricciones de mercado
Planta 1
Planta 2
Planta 3
X31 + X21 + X11
X32 + X22 + X12
X33 + X23 + X13
750
900
450
Capacidad productiva
Planta 1
Planta 2
Planta 3
20 X31 + 15 X21 + 12 X11
20 X32 + 15 X22 + 12 X12
20 X33 + 15 X23 + 12 X13
13 000
12 000
5 000
Espacio
750 X32 + 750 X22 + 750X12 - 900 X31 - 900 X21 - 900 X11 = 0
900 X33 + 900 X23 + 900 X13 - 450 X32 - 450 X22 - 450X12 = 0
i = 1, 2, 3
Proporcionalidad
en la capacidad
j = 1, 2, 3
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Investigación de Operaciones
Ejemplos de planteamientos de Programación Lineal
3. Un inversionista tiene oportunidad de invertir al principio de cada uno de los
próximos 5 años en 4 tipos diferentes de instrumentos de inversión: A, B, C
y D. Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año, retribuye $
1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión
inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye
$1.70, 3 años después. Las inversiones C y D estarán disponibles para
inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio
del año 2 da $1.90 al final del año 5. Cada dólar invertido en D al principio
del año 5 retribuye $1.30 al final de ese año.
El inversionista tiene $60 000 para iniciar y desea saber cuál plan de
inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada al principio del año 6.
Formule el modelo de programación lineal para este problema.
Tomado de: Introducción a la Investigación de Operaciones
Frederick S. Hillier / Gerald J. Lieberman
Quinta Edición
Mc Graw Hill
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Investigación de Operaciones
Sol. Problema 3
Solución al ejemplo del inversionista
A
B
C
D
1
-1
-1
2
-1
-1
3
-1
+0.4
-1
4
-1
+0.4
5
6
+0.4
+0.4
+0.7
+0.7
+0.7
+0.9
+0.3
-1
-1
Sean:
Ai = cantidad invertida en A en el año i (i =1, 2, 3, 4)
Bi = cantidad invertida en B en el año i (i =1, 2, 3)
C2 = cantidad invertida en C en el año 2.
D5 = cantidad invertida en D en el año 5.
Ri = cantidad no invertida en el año i (i = 1, 2, 3,4)
Entonces el problema queda expresado como:
Max X0 = 1.9C2 + 1.7B3 +1.4A4 +1.3D5
Sujeta a:
A1+ B1+ R1 = 60 000
A2+ B2+ C2+ R2 = R1
A3 +B3+ R3 = 1.4A1+ R2
A4+ R4 = 1.4A2+1.7B1+ R3
D5 = 1.4A3+1.7B2+ R4
A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, C2, D5, R1, R2, R3, R4
0
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Diana Cobos
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