Equilibrio General con incertidumbre

Tema 1: Equilibrio General con incertidumbre
1.
Introducción
Consideramos una economía en la que hay 2 consumidores y un bien. Hay 2 periodos,
y
t=1
(mañana).
Los agentes desconocen cuál será el estado concreto del mundo en
e = e1 , e2 .
p(e2 ) = 1 − π .
simplicar, supondremos que hay dos estados posibles,
cada uno de los estados son:
p(e1 ) = π,
t = 0 (hoy)
t = 1. Para
Las probabilidades de que ocurra
t=1
π
Agent 1
Agent 2
Agent 1
e1
w11
w21
x11
x21
e2
w12
w22
x12
x22
Agent 2
t=0
1− π
π
1− π
w11 + w21
= w1
= x11 + x21
w22
= w2
= x12 + x22
w12 +
Consideraremos que el único bien de la economía sólo puede consumirse en los estados en
decir, no hay consumo en
•
•
•
•
t = 0.)
Vamos a utilizar la siguiente notación:
xsi es la cantidad de bien que el agente i consume en el estado es .
wis son los recursos iniciales de bien que el agente i tiene en el estado
ws = w1s + w2s , s = 1, 2.
Las funciones de utilidad de los agentes son
ui (x1i , x2i ) = πui (x1i ) + (1 − π)ui (x2i ) i = 1, 2
es decir, los agentes maximizanla utilidad esperada.
1
es .
t=1
(es
2
TEMA 1: EQUILIBRIO GENERAL CON INCERTIDUMBRE
Esta situación se puede representar utilizando la caja de Edgeworth
x21
(w11 + w12, w21 + w22)
x22
x21
x11
x1
x1
1
2.
2
Eficiencia de Pareto
Vamos a calcular las asignaciones Pareto ecientes. Los óptimos de Pareto son soluciones del problema
max πu1 (x11 ) + (1 − π)u1 (x21 )
sujeto a
πu2 (x12 ) + (1 − π)u2 (x22 ) ≥ ū
x11 + x12 = w1
x21 + x22 = w2
El Lagrangiano es
L = πu1 (x11 )+(1−π)u1 (x21 )+λ ū − πu2 (x12 ) − (1 − π)u2 (x22 ) +µ1 w1 − x11 − x12 +µ2 w2 − x21 − x22
Las condiciones de primer orden son
∂L
∂x11
∂L
∂x12
∂L
∂x21
∂L
∂x22
: πu01 (x11 ) = µ1
: λπu02 (x12 ) = µ1
: (1 − π)u01 (x21 ) = µ2
: λ(1 − π)u02 (x22 ) = µ2
Tema 1: Equilibrio General con incertidumbre
3
de donde obtenemos que
πu01 (x11 ) = λπu02 (x12 )
(1 − π)u01 (x21 ) = λ(1 − π)u02 (x22 )
Observamos que la relación marginal de sustitución para el agente
i = 1, 2
es
πu0i (x1i )
(1 − π)u0i (x2i )
Simplicando las ecuaciones anteriores obtenemos
(2.1)
u01 (x11 ) = λu02 (x12 )
(2.2)
u01 (x21 ) = λu02 (x22 )
y dividiendo las dos ecuaciones anteriores (o, equivalentemente, igualando las relaciones marginales
de sustitución de los agentes), obtenemos
(2.3)
u01 (x11 )
u02 (x12 )
=
u01 (x21 )
u02 (x22 )
que junto con las condiciones de factibilidad,
x11 + x12 = w1
x21 + x22 = w2
determinan las asignaciones Pareto ecientes.
Ejemplo 1. Supongamos que
u1 (x) =
u2 (x) =
√
√
x, w11 = 0, w12 = 1
x, w21 = 1 = w22
π = 1/4
4
TEMA 1: EQUILIBRIO GENERAL CON INCERTIDUMBRE
Recursos iniciales
Agente 1
π = 1/4
1− π = 3 / 4
w11 = 0
Agente 2
w21 = 1
w12 = 1
w22 = 1
x
u1(x) =
u2(x) =
x
Las condiciones de Pareto Optimalidad
u02 (x12 )
u01 (x11 )
=
u01 (x21 )
u02 (x22 )
son
x21
x22
= 1
x11
x2
que junto con la condición de factibilidad
x11 + x12 = 1
x21 + x22 = 2
determinan las asignaciones Pareto ecientes. Tomando
x = x11
y = x21
tenemos
x12 = 1 − x11 = 1 − x
x22 = 2 − x21 = 2 − y
y sustituyendo en la condición de primer orden obtenemos,
2−y
y
=
x
1−x
es decir
x = y/2
y todas las asignaciones Pareto ecientes son de la forma
x11 = y/2 x12 = 1 − y/2
x21 = y
x22 = 2 − y
0≤y≤2
En la caja de Edgeworth, vemos que todas las asignaciones Pareto ecientes están en la línea recta
x11 =
x21
2
Tema 1: Equilibrio General con incertidumbre
5
x21
(1,2)
x11
2.1. Un agente neutral al riesgo y el otro averso al riesgo. Supongamos ahora que
•
el agente 1 es estrictamente averso al riesgo:
u001 < 0.
(De forma equivalente ,
u01
es estricta-
mente decreciente.)
•
el agente 2 es neutral al riesgo:
u02
es constante.
En este caso,
u02 (x12 )
=1
u02 (x22 )
por lo que la condición de primer orden de Pareto optimalidad 2.3 es
u01 (x11 )
=1
u01 (x21 )
es decir,
u01 (x11 ) = u01 (x21 )
y como
u01
es estrictamente decreciente, obtenemos que la condición de primer orden de Pareto
optimalidad es
x11 = x21
Es decir, el agente 1 se asegura completamente.
Ejemplo 2. En el ejemplo 1, supongamos el agente 2 es neutral al riesgo. Es decir,
u1 (x) =
√
x, w11 = 0, w12 = 1
u2 (x) = x, w21 = 1 = w22
π = 1/4
6
TEMA 1: EQUILIBRIO GENERAL CON INCERTIDUMBRE
Recursos iniciales
Agente 1
π = 1/4
1− π = 3 / 4
w11 = 0
Agente 2
w21 = 1
w12 = 1
w22 = 1
u1(x) =
x
u2(x) = x
Entonces, las asignaciones Pareto ecientes son
x21
(1,2)
1
x11
1
3.
Economías de intercambio
t = 0, el `subastador
Walrasiano anuncio los precios ps que tendrá el bien en cada uno de los estados s = 1, 2 que pueden
ocurrir en t = 1. Estos precios se pagan en t = 0.
Introduzcamos ahora precios para el bien en cada uno de los estados. Es decir, en
Tema 1: Equilibrio General con incertidumbre
7
t= 1
t= 0
π
p1
p2
1− π
El modelo es el siguiente
•
•
En
t=0
si ocurre el estado
•
•
•
•
p1 , p2 .
ps permite
subastador Walrasiano anuncia los precios
En cada estado de la naturaleza
s = 1, 2,
el precio
es en t = 1.
i = 1, 2 puede
comprar una unidad del bien
1
2
1
comprar la cesta (xi , xi ) en t = 0 al precio p1 xi +
1
Esta cesta le permite al consumir i consumir xi unidades del bien si ocurre el estado
2
xi unidades del bien si ocurre el estado e2 .
1
2
La cesta (xi , xi ) es un plan de consumo contingente.
Estos precios se pagan en t = 0.
Es decir, el agente
La renta del agente
i = 1, 2
en
t=0
p2 x2i .
e1 y
es
p1 wi1 + p2 wi2
•
Por lo tanto, en
t=0
el agente
i = 1, 2
elige la cesta que maximiza su utilidad sujeto a la
restricción presupuestaria,
max πui (x1i ) + (1 − π)ui (x2i )
(3.1)
sujeto a
•
•
1
La solución de este problema de optimización determina la demanda de cada agente: xi (p),
x2i (p).
Los precios de equilibrio (p1 , p2 ) son aquellos que vacían el mercado en cada uno de los estados
x11 (p) + x12 (p) = w11 + w21
x21 (p) + x22 (p) = w12 + w22
(3.2)
Supongamos ahora que el agente
su consumo futuro (en
es
es
p1 x1i + p2 x2i = p1 wi1 + p2 wi2
ps ,
t = 1)
i = 1, 2
elige (en
t = 0,
antes de saber el estado de la naturaleza)
a través de su función de demanda: Si el precio del bien en el estado
entonces, la demanda del agente
i
es la solución del siguiente problema de optimización
Observación 3. La condición de primer orden del problema 3.1 es
RMS
=
p1
p2
8
TEMA 1: EQUILIBRIO GENERAL CON INCERTIDUMBRE
es decir,
πu0i (x1i )
p1
=
0
2
(1 − π)ui (xi )
p2
i = 1, 2
En particular, las relaciones marginales de sustitución coinciden para los dos agentes, por lo que los
1
equilibrios competitivos son óptimos de Pareto . Los precios de equilibrio
(p1 , p2 ) son aquellos
precios para los que las demandas agregadas de los agentes son iguales a los recursos agregados estado
a estado.
Ejemplo 4. Vamos a calcular el equilibrio en el ejemplo 1. La economía está descrita por los datos
siguientes,
u1 (x) =
u2 (x) =
√
√
x, w11 = 0, w12 = 1
x, w21 = 1 = w22
π = 1/4
Recursos iniciales
Agente 1
π = 1/4
1− π = 3 / 4
w11 = 0
Agente 2
w21 = 1
w12 = 1
w22 = 1
u1(x) =
Llamemos
x
u2(x) =
p = (p1 , p2 ) a los precios de equilibrio.
x
Ya hemos visto que la condición de Pareto eciencia
es
x21 = 2x11
Por otra parte, las condiciones de primer orden,
πu0i (x1i )
p1
=
0
2
(1 − π)ui (xi )
p2
para el agente 1, implican que
p1
1
=
p2
3
s
i = 1, 2
√
x21
2
=
1
x1
3
(En la segunda igualdad hemos usado la condición de Pareto eciencia,
podemos tomar los precios de equilibrio
p1 =
1En
√
2,
x21 = 2x11 ).
Vemos que
p2 = 3
realidad habría que explicar bajo qué condiciones en las preferencias y los recursos iniciales se verica esto.
Por ejemplo, estamos suponiendo que las condiciones de primer orden determinan las funciones de demanda de los
agentes.
Tema 1: Equilibrio General con incertidumbre
9
La restricción presupuestaria del agente 1 es
p1 x11 + p2 x21 = p2
y como las asignaciones de equilibrio son Pareto ecientes, tenemos que
p2 = p1 x11 + 2p2 x11 = (p1 + 2p2 )x11
por lo que
x11 =
3
p2
=√
,
p1 + 2p2
2+6
x21 = √
6
2+6
y la demanda del agente 2 es
3
,
x12 = 1 − √
2+6
x22 = 2 − √
6
2+6
3.1. Un agente neutral al riesgo y el otro averso al riesgo.
Observación 5. Volviendo al modelo general, si además, uno de los agentes, por ejemplo el agente 2,
es neutral al riesgo, entonces
u02 (x12 )
=1
u02 (x22 )
por lo que los precios de equilibrio deben vericar
p1
π
=
1−π
p2
Y si además, el agente 1 es estrictamente averso al riesgo, por la observación anterior, en el
equilibrio también debe ocurrir que
x11 = x21
Ejemplo 6. En el ejemplo 1, supongamos ahora que
u1 (x) =
√
x, w11 = 0, w12 = 1
u2 (x) = x, w21 = 1 = w22
π = 1/4
Es decir, el agente 2 es neutral al riesgo.
10
TEMA 1: EQUILIBRIO GENERAL CON INCERTIDUMBRE
Recursos iniciales
Agente 1
π = 1/4
1− π = 3 / 4
w11 = 0
Agente 2
w21 = 1
w12 = 1
w22 = 1
x
u1(x) =
u2(x) = x
Entonces, los precios de equilibrio son
1
p1 = ,
4
p2 =
3
4
la demanda del agente 1 verica
x11 = x21 = x
y la restricción presupuestaria
p1 x11 + p2 x21 = p1 w11 + p2 w12
es
3
3
1
x+ x=
4
4
4
de donde la asignación de equilibrio es
x11 = x21 =
3
4
Para el agente 1
y
1
x12 = ,
4
x22 =
5
4
Para el agente 2
3.2. Interpretación. Una manera de interpretar el ejemplo 6 es en términos de intercambio. En
el estado
e2
el agente 1 transere la cantidad
w12 − x21 = 1 −
3
1
=
4
4
(= x22 − w22 )
al agente 2, a cambio de recibir
x11 − w11 =
del agente 2, en el estado
e1 .
3
4
(= w21 − x12 )
Tema 1: Equilibrio General con incertidumbre
Recursos iniciales
π
1− π
Consumo
Agente 1
Agente 2
3/4 W 1=1
2
W11 = 0
W12 = 1
1/4
Agente 1
W22 = 1
4.
11
Agente 2
x11 = 3 / 4
x21 = 1 / 4
x12 = 3 / 4
x22 = 5 / 4
Mercados de seguros
Otra posible interpretación de la asignación del ejemplo 6 es en términos de seguros. El agente 1
0
posee unos recursos de w1 = 1 en t = 0. Y con probabilidad
π=
puede sufrir una pérdida de
D
1
4
unidades de sus recursos. Es decir, sus posibilidades son
que ocurre con probabilidad π = 1/4, el agente 1 sufre un accidente y pierde
w11 = w10 − D = 0.
(2) En el estado e2 , que ocurre con probabilidad π = 3/4, el agente 1 no sufre ningún accidente
2
0
y conserva sus recursos, por lo que w1 = w1 = 1.
(1) En el estado
D=1
Grácamente,
e1 ,
unidades por lo que
12
TEMA 1: EQUILIBRIO GENERAL CON INCERTIDUMBRE
Agente 1
π
Agente 2
π
w20
1− π
w20
w10 - D
w20
w10
w10
1− π
w10 - D -qα + α
π
w10 – q α
π
w20 + q α
w10 – q α
1− π
1− π
w20 + qα - α
w20 + qα
Supongamos ahora que el agente 2, que es neutral al riesgo, representa a una empresa de seguros.
0
Inicialmente, también posee una unidad w2 = 1 del bien en t = 0 y no está sujeto a riesgo, es decir
2
1
tanto en el estado e1 como en el estado e2 conserva sus recursos: w2 = 1 = w2 .
El agente 2 ofrece al agente 1 la posibilidad de asegurar
α
unidades monetarias a un precio,
q
por
unidad asegurada. Desde el punto de vista del agente 1,
•
el agente 1 compra α unidades del seguro y paga la cantidad qα al agente 2. Se
w10 − qα = 1 − qα.
Si ocurre el estado e1 (con probabilidad π = 1/4) el agente 1 sufre un accidente y pierde
En
t=0
queda con
•
D=1
•
unidades de sus recursos. El agente 2 le paga la cantidad α acordada. Los recursos
1
0
del agente 1 son x1 = w1 − qα − D + α = α − 1.
Si ocurre el estado e2 (con probabilidad π = 3/4) el agente 1 no sufre ningún accidente,
conserva sus recursos y no recibe ninguna compensación del agente 2. Los recursos del agente 1
2
0
son x1 = w1 − qα = 1 − qα.
Supongamos además que el mercado de seguros es perfectamente competitivo.
el benecio esperado de las empresas de seguros es
seguros (el agente 2), si el agente 1 compra
•
•
•
En
t=0
recibe
qα
Si ocurre el estado
α
0.
unidades del seguro, su situación es la siguiente,
unidades del agente 1 y posee por tanto
e1
Esto signica que
Desde el punto de vista de las empresas de
(con probabilidad
w20 + qα = 1 + qα.
π = 1/4) el agente 1 sufre un accidente, pierde D = 1
unidades de sus recursos y el agente 2 le paga la cantidad α acordada. Los recursos del
1
0
agente 2 son w2 = w2 + qα − α = 1 + qα − α.
Si ocurre el estado e2 (con probabilidad π = 3/4) el agente 1 no sufre ningún accidente,
conserva sus recursos y no recibe ninguna compensación del agente 2. Los recursos del agente 2
2
0
son w2 = w2 + qα = 1 + qα.
La condición de que los benecios esperados de la empresa aseguradora son
0
es la siguiente,
w20 = π(w20 + qα − α) + (1 − π)(w20 + qα) = w20 + qα − πα
Tema 1: Equilibrio General con incertidumbre
13
es decir, el precio competitivo por unidad asegurada es
q=π
Este precio se dice que es el precio actuarialmente justo.
Dado el precio
q=π
el agente 1 elige la cantidad de seguro
α
que maximiza su utilidad esperada,
πu1 (w10 − qα − D + α) + (1 − π)u1 (w10 − qα)
La condición de primer orden es
π(1 − q)u01 (w10 − qα − D + α) = (1 − π)qu01 (w10 − qα)
y como
q=π
esta condición implica que
u01 (w10 − qα − D + α) = u01 (w10 − qα)
y teniendo en cuenta que
u01
es decreciente (ya que el agente 1 es averso al riesgo), esto implica que
w10 − qα − D + α = w10 − qα
de donde
α=D=1
es decir, el agente se asegura completamente.
El consumo del agente es
14
TEMA 1: EQUILIBRIO GENERAL CON INCERTIDUMBRE
π
w10 – π D
w10 – π D
w10 – π D
1− π
Observamos que VE
= w10 − πD
es el consumo esperado del agente cuando no compra ningún seguro.
Es decir, la utilidad obtenida por el agente, en el caso de competencia perfecta, entre las empresas
u(VE).
e
Por otra parte, la cantidad pagada por el agente a la compañía de seguros es p = πD . LLamando
I e a la cantidad de seguro comprada por el agente, vemos que la póliza en el equilibrio competitivo
e e
es (p , I ) = (πD, D).
es
Sustituyendo los valores
α = D = 1,
vemos que en
t = 0,
q=π=
1
4
el agente 2 le cobra la cantidad
1
4
al agente 1, a cambio de asegurarle la cantidad perdida. En cualquiera de los estados el agente 1
recibe
1−
1
3
= = VE
4
4
mientras que el agente 2 recibe
1
4
en
t=0
y, en el estado
e1
paga el seguro al agente 1 con lo que recibe
1+
mientras que en el estado
e2
1
1
−1=
4
4
no tiene que pagar nada al agente 1 y se queda con
1+
5.
1
5
=
4
4
Monopolio perfectamente discriminador
The model is the as follows.
•
•
2 is a monopolist. He knows the utility function of agent 1.
1
2
At t = 0, agent 2 proposes the feasible `contract' (x1 , x1 ) to agent 1.
agent 1 the previous contingent consumption plan.
• In above contract, agent 2 consumes the rest of the resources
Agent
(x12 , x22 ) = (w11 + w21 , w12 + w22 ) − (x11 , x21 )
That is, he proposes
Tema 1: Equilibrio General con incertidumbre
•
If, at
t = 0,
agent
1
accepts the contract, then consumption at
15
t=1
is the one described by
the above contract.
•
If, at
t = 0, agent 1
(wi1 , wi2 ).
rejects the contract, then at
t = 1
each agent consumes his initial
endowments
Un monopolista (el agente 2) conoce la función de utilidad del agente 1 y, en el modelo anterior, elige
los precios
(p1 , p2 )
de forma que el agente 1 elige su consumo a través de la función de demanda.
Podemos considerar que el agente 2 maximiza su función de utilidad, sujeto a que el agente 1 obtiene,
al menos, la utilidad de reservar de consumir sus recursos iniciales, es decir,
max
sujeto a
πu2 (x12 ) + (1 − π)u2 (x22 )
πu1 (x11 ) + (1 − π)u1 (x21 ) ≥ πu1 (w11 ) + (1 − π)u1 (w12 )
Este es formalmente el problema de calcular un óptimo de Pareto con
ū = πu1 (w11 ) + (1 − π)u1 (w12 )
por lo que la condición de óptimo es, de nuevo,
u02 (x12 )
u01 (x11 )
=
u01 (x21 )
u02 (x22 )
Ejemplo 7. Supongamos que en el ejemplo 1, el agente 2 es un monopolista perfectamente discrim-
inador.
u1 (x) =
u2 (x) =
√
√
x, w11 = 0, w12 = 1
x, w21 = 1 = w22
π = 1/4
16
TEMA 1: EQUILIBRIO GENERAL CON INCERTIDUMBRE
Recursos iniciales
Agente 1
π = 1/4
1− π = 3 / 4
w11 = 0
Agente 2
w21 = 1
w12 = 1
w22 = 1
u1(x) =
x
u2(x) =
x
Entonces la utilidad del agente 1 es su utilidad de reserva. Es decir,
u¯1 =
1√
3√
3
0+
1=
4
4
4
Por otra parte, esto utilidad se alcanza para una asignación de la forma
x11
x21
=
2
Es decir,
3
1
=
4
4
q
q
q
q
3
1
3
x11 +
x21 =
x11 +
2x11
4
4
4
Es decir,
q √ 1
3 = x1 1 + 3 2
de donde
x11 =
9
√ 2
1+3 2
Tema 1: Equilibrio General con incertidumbre
x21
17
Economía competitiva
(1,2)
Recursos
iniciales
Equilibrio competitivo
1
p1x12 + p2x22 = c
x11
1
El agente 2 es un monopolio
5.1. Un agente neutral al riesgo y el otro averso al riesgo. Supongamos que el agente 2 es
neutral al riesgo. Suppose now that agent 2 is risk neutral. Supongamos además que este agente es
una compañía de seguros que se comporta como un monopolio y que el agente 1 compra un seguro
con el agente 2.
Denimos el equivalent cierto
EC
del agente 1 como el nivel de consumo que deja a este agente
indiferente entre aceptar la lotería consumir
u1 (EC) =
EC.
πu1 (w10
Es decir,
− πD) + (1 − π)u1 (w10 )
Y la prima de riesgo es
PR = VE − EC
La cantidad que el agente 1 paga al monopolista es
w10 − EC = VE +pe − EC = pe + PR
Por lo tanto, la póliza de seguro que el agente 1 compra del monopolista es
(pm , I m ) = (pe + PR, D)
Ejemplo 8. Supongamos que en el ejemplo 1, el agente 2 es un monopolista perfectamente discrim-
inador que, además es neutral al riesgo.
u1 (x) =
√
x, w11 = 0, w12 = 1
u2 (x) = x, w21 = 1 = w22
π = 1/4
18
TEMA 1: EQUILIBRIO GENERAL CON INCERTIDUMBRE
Recursos iniciales
Agente 1
π = 1/4
1− π = 3 / 4
w11 = 0
Agente 2
w21 = 1
w12 = 1
w22 = 1
x
u1(x) =
u2(x) = x
Entonces la condición de Pareto eciencia requiere que
x11 = x21
La utilidad de reserva del agente 1 es
1
3
=
4
4
q
q
q
3
1
1
x1 +
x1 = x11
4
de donde obtenemos que
x11 = EC =
9
16
y
x21 =
7
16
x22 =
23
16
Tema 1: Equilibrio General con incertidumbre
x21
19
Economía: El agente 2 es neutral al riesgo
(1,2)
recursos
iniciales
Seguro actuarialmente justo
1
p1 = 1 / 4
p2 = 3 / 4
p1x12 + p2x22 = c
EC VE
x11
1
Monopolio perfectamente
discriminador
p1
6.
x11 + p2
x21 = c
Contratos de trabajo
El ejemplo 8 lo podemos interpretar de la manera siguiente. En el ejemplo 8 podemos considerar que
el agente 2 (el principal) tiene 1 unidad del bien y contrata al agente 1 para hacer un trabajo. En el
estado
e1 ,
el trabajador no es eciente y produce
el trabajador es eciente y produce
El principal ofrece un salario
1
0
unidades del bien mientras que, en el estado
e2 ,
unidad del bien.
w
al trabajador en una oferta de lo tomas o lo dejas. El trabajador
R
acepta si su utilidad está por encima de su utilidad de reserva u1 = 3/4 y lo rechaza si está por
debajo.
R
El principal paga al agente 1 la cantidad mínima que le compense su utilidad de reserva, u1 = 3/4.
Como la función de utilidad del agente 1 sobre cantidades monetarias es
R
sea u1 = 3/4, su salario debe de ser
2
w=
3
4
=
√
x,
para que su utilidad
9
16
y en estas circunstancias el agente 1 (el trabajador) acepta la oferta del principal.
Por otra parte, el agente 2, en cada estado recibe
recursos
+
producción del trabajador
−
salario
20
TEMA 1: EQUILIBRIO GENERAL CON INCERTIDUMBRE
por lo que, en el estado
e1
recibe
1−
y en el estado
e2
9
7
=
16
16
recibe
1+1−
9
23
=
16
16