Divisibilidad. Capítulo 1.Nuevo formato.fm - Mosaicos

Divisibilidad.
Números en columnas
¿Cuál es el resto?
a) Se escriben los números
en tres columnas:
0
1
2
Encuentra en qué columna se ubican los números:
24; 141; 814; 1721;
10001.
3
4
5
6
7
8
…
…
…
b) Se escriben los nú-
0
a) Indica una regla que te permita determinar el resto de una división entre 2, 3, 5 y 10
sin efectuar la división.
b) Determina los restos de dividir los números 4871, 7221 y 10327 entre 2, 3, 5 y 10.
1
2
3
4
meros en cinco colum5 6 7 8 9
nas:
… … … … …
Encuentra en qué columna se ubican los
números: 45; 87; 110; 508; 1041.
c) El primer día del mes es lunes.
¿Cuál es el 29º día del mes?
d) El primer día del año es martes.
c) Encuentra dos números mayores que
1200 cuyo resto de la división entre 9 sea 7.
d) Si restas los números hallados anteriormente, el resultado ¿es múltiplo de 9? Verifica.
e) Encuentra dos números cuya diferencia
sea múltiplo de 5. ¿Cuál es el resto de la división de ambos números entre 5? Explica el
resultado.
¿Cuál es el 305º día del año?
Con la planilla de cálculo:
Nos proponemos descubrir algunas particularidades de los restos de la división entera.
En la planilla de cálculo dispones de la función RESIDUO que te permite obtener el resto de la división
entera de un número entero n por b.
Sintaxis: RESIDUO(número;núm_divisor)
número: es el número que desea dividir y cuyo residuo o resto se desea obtener.
núm_divisor es el número por el cual se desea dividir el número.
a) Ingresa en una hoja de cálculo en la columna A, los números de 1 a 30. Calcula en la columna B, los
restos de la división entera entre 3. ¿Qué observas?
b) Ingresa en las celdas E2 y F2 dos números naturales n y n’, luego completa las celdas como lo indica la
figura.
c) Calcula en las celdas E3 a L3 los restos de los números obtenidos en la segunda fila en la división entera
entre 3.
d) Modifica los números que ingresaste. ¿Qué observas? ¿Puedes enunciar alguna propiedad acerca de los
restos de la división entera entre 3 de una suma, de un producto, …?
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Divisibilidad.
1. Múltiplos y divisores.
1. Múltiplos de un número.
Definición: Un natural m es múltiplo de un natural b si existe un natural c tal que m = b×c.
Ejemplo: los múltiplos de 3 son todos los números de la forma 3 × c, para c∈N.
Observaciones:
• Todo natural es múltiplo de 1 • Cero tiene un único múltiplo: 0
• Cero es múltiplo de todo natural b
·
Notación: Para indicar que m es múltiplo de b se escribe: m = b .
2. Divisores de un número.
Definición: Un natural b, no nulo, divide a un natural a si existe un natural c tal que a = b×c.
Notación: Para indicar que b divide a a, o es divisor de a, se escribe: b | a.
Ejemplo: 3 divide a 54 porque 54 = 3 × 18. Antotamos: 3 | 54
3. Propiedades de los divisores.
En la tabla siguiente se enumeran algunas propiedades de los divisores de un número.
1. Todo número natural no nulo es divisor de sí
mismo. (propiedad Idéntica)
2. Si b divide a a, y si a ≠ 0 entonces b ≤ a.
3. Si a divide a b y b divide a a entonces a = b.
(propiedad Antisimétrica)
4. Si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c.
(propiedad Transitiva).
5. Si a divide a b y a c entonces a divide a:
b + c ; b – c (si b > c);
y a cualquier combinación lineal de b y c:
b×x + c×y con x y y naturales.
6. Si a divide a b, entonces a×c divide a b×c,
cualquiera que sea el natural c distinto de cero.
a) Para cada una de las 4 primeras propiedades, ilustra con un ejemplo e intenta dar una justificación de ellas.
b) Observa la utilización de la propiedad 5. en el siguiente ejemplo:
·
Demuestra por recurrencia que 10n− 3n = 7 , para todo número natural n.
• B.I. La propiedad es cierta para n = 0.
·
·
• P.I. Si 10 n− 3n= 7 , entonces 10 n+1 − 3n+1 = 3(10 n− 3n) + 7×10 n = 7 , puesto que es una
n
combinación lineal de coeficientes enteros de dos múltiplos de 7: 10 − 3n y 7.
·
• Conclusión: 10 n− 3n = 7 , para todo número natural n.
c) Completa: Si a divide a b, entonces b = a×…, entonces b×c = a×…… y por lo tanto b×c ……… a a×c.
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Divisibilidad.
Ejercicios
Múltiplos y Divisores
otro (es decir diferentes de sí mismo).
Verificar que 220 es amigo de 284.
1 . Completa las frases siguientes con las palabras múltiplo y o divisor:
250 es un … de 50,
21 es un … de 2100,
7 . Explica por qué 10! termina en 2 ceros.
0 es un … de 15,
1 es un … de 4, 37 es un … de 37.
2 . ¿Cuántos son los múltiplos de 13 comprendidos entre 1000 y 2000?
3 . Completa las tablas siguientes:
+
par
impar
par
impar
×
par
impar
par
impar
4 . Las dimensiones de un terreno rectángular en metros son números naturales.
1. ¿Cuáles pueden ser sus dimensiones sabiendo que su
superficie es de 300 m2?
2. Determina sus dimensiones sabiendo que el ancho es
múltiplo de 3 y que el largo es impar.
5 . ¿Quién soy?
Soy un múltiplo de 11 comprendido entre 100 y 150 que
tiene el menor número de divisores.
6 . Números amigos
Como los amigos, los números amigos van por pares:
cada uno es igual a la suma de los divisores estrictos del
¿En cuántos ceros termina 100!?
8 . Calcula la suma de los múltiplos de 33 comprendidos entre 500 y 5000.
9 . Si ab= 6 y a y b son números naturales, se puede
afirmar que a y b son divisores de 6. Los divisores de 6
son 1; 2; 3 y 6 y por lo tanto hay cuatro soluciones posibles:
a = 1 y b = 6; a = 6 y b = 1; a = 2 y b = 3; a = 3 y b = 2.
a) Determina el conjunto de divisores de 77.
b) Determina los pares (x;y) de naturales tales que:
(x+5)(y−3) = 77.
c) Determina los pares (x;y) de enteros tales que:
x > y (x+5)(y−3) = 77.
10. Determina los pares (x;y) de enteros tales que:
xy =−6.
4x2 − y2 = 20
x2 − y2 = 15
(2x−3)(3y+1) = −2
y2x + x2y = 12
(x−2)(y+3) = 14
11. ¿Cuáles son los posibles valores de n si se sabe que
n+15 es divisible entre n?
12. Demuestra que la suma de tres naturales consecutivos en múltiplo de 3.
Trabajo Personal:
Algoritmo de determinación de los divisores de un número utilizando una hoja de cálculo:
=SI(RESIDUO($A$3;B2)=0;B2;"no”)
Sintaxis: SI(prueba_lógica;valor_si_verdadero;valor_si_falso).
Prueba_lógica es cualquier valor o expresión que pueda evaluarse como VERDADERO o FALSO.
En este caso, VERDADERO implica que el resto de dividir A3 entre lo que figura en las celdas de la fila 2 es 0.
Valor_si_verdadero es el valor que se devuelve si el argumento prueba_lógica es VERDADERO, en este caso el divisor de A3.
Valor_si_falso es el valor que se devuelve si el argumento prueba_lógica es FALSO, en este caso, no.
Si se quiere utilizar el valor de una celda concreta sin que se readapte, hay que indicarlo escribiendo $ antes de la letra de columna
y antes del número de fila.
Utilizando una hoja de cálculo, determina los divisores de 220; de 97 y de 323.
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Divisibilidad.
2. La división entera o euclidiana.
1. La división entera en N.
Teorema
Sean a y b dos naturales, y b no nulo.
Entonces, existe un único par (q; r) de naturales tales que: a = b×q + r y 0 ≤ r < b.
Demostración.
Como b es natural no nulo, los múltiplos de b forman una sucesión estrictamente creciente.
Escribamos los múltiplos de b de 0 hasta (a + 1)b,
.
0
b
2b
……
qb
(q + 1)b
Como (a + 1)b > a, a es necesariamente: uno de los múltiplos escritos,
o está entre dos múltiplos consecutivos, es decir que a está en un intervalo [qb; (q + 1)b[.
……
(a + 1)b
b×q + r
qb
a
r
(q + 1)b
Y la distancia r de a a qb, que es igual a a − qb es inferior a la longitud b del intervalo, entonces:
a = b×q + r y 0 ≤ r < b.
La unicidad del par (q; r) resulta del hecho de que a pertenece a un único intervalo del tipo: [qb; (q + 1)b[.
Definición
Efectuar la división entera en N del natural a entre el natural b, b ≠ 0, es hallar el par
(q; r) de naturales tales que: a = b×q + r y 0 ≤ r < b.
En la práctica se utiliza este esquema de división.
a
b
r
q
Vocabulario.
Se dice que el natural q es el cociente de esa división, r el resto, b el divisor y a el dividendo.
Ejemplos:
• Si a = 114 y b = 8
• Si a = 18 y b = 6
• Si a = 35 y b = 53
114
8
18
6
35
53
2
14
0
3
35
0
como 114 = 8×14 + 2,
0 ≤ 2 < 8.
se tiene que q = 14 y r = 2
como 18 = 6×3 + 0,
0 ≤ 0 < 6.
se tiene que q = 3 y r = 0.
como 35 = 53×0 + 35,
0 ≤ 35 < 53.
se tiene que q = 0 y r = 35
Decir que b divide a a, es equivalente a decir que en la división entera de a entre b el resto es nulo.
Una consecuencia práctica importante.
• El resto es estrictamente inferior al divisor. En la división entera de a entre b, la condición 0 ≤ r < b es indispensable. Así, por ejemplo, la igualdad:
58 = 17×2 + 24
no traduce la división entera de 58 entre 17 porque 24 > 17.
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Divisibilidad.
De acuerdo a esto, por ejemplo, se escribir a todo natural n de una de las formas:
6×p, o 6×p + 1, o 6×p + 2, o 6×p + 3, o 6×p + 4 o 6×p + 5 siendo p un natural.
Es decir, si se fija un natural b no nulo, y si se dividen todos los naturales entre b, los restos obtenidos solo
pueden tomar los valores 0, 1, 2, …, b – 1. Así todo natural n puede escribirse en la forma:
n = b×q + r con r = 0, o 1, o 2, …, o b – 1.
3. Divisores comunes a dos naturales. MCD.
El objetivo de este parágrafo es la búsqueda de los divisores comunes a dos naturales a y b.
1. Notaciones. Definición.
1. Para todo natural a, anotaremos con D(a) al conjunto de los divisores de a.
Ejemplos:
D(6) = {1; 2; 3; 6}. D(15) = {1; 3; 5; 15}. D(19) = {1; 19}.
Si a no es nulo, D(a) solo contiene números naturales menores o iguales a a. El mayor elemento de D(a) es a.
Si a es nulo entonces D(a) = N*
2. Para todos los naturales a y b anotaremos con D(a; b) al conjunto de los divisores comunes a a y a b.
Así, D(a; b) = D(a)∩ D(b). Es claro que D(a; b) = D(b; a).
Ejemplos: D(6; 15) = D(6)∩ D(15) = {1; 3}; D(15; 19) = D(15)∩ D(19) = {1}.
Si a y b no son nulos simultáneamente, D(a; b) es un conjunto no vacío, siempre tiene como elemento al natural 1, y los números que contiene son todos menores o iguales a a o b. Entonces D(a; b) posee un elemento
máximo.
Definición: El mayor divisor común de dos naturales a y b no nulos simultáneamente se
llama Máximo Común Divisor de a y b.
Se anota MCD(a; b).
Ejemplos: MCD(6; 15) = 3; MCD(15; 19) = 1.MCD(0; 25) = 25
2. Resultados inmediatos
1. Cualquiera que sea el natural c, no nulo, D(c; 0) = D(c).
En efecto, todo natural divide a 0, entonces los divisores comunes a 0 y c son los divisores de c y como c es
el mayor elemento de D(c) también lo será de D(c; 0). El MCD(c; 0) = c.
2. Si b divide a a, entonces b es el MCD(a; b).
En efecto, en ese caso, todo divisor de b es un divisor de a; luego D(a; b) = D(b) y como b es el mayor
elemento de D(b) también lo será de D(a; b).
Ejemplo: D(6; 12) = {1; 2; 3; 6} = D(6); 6 es el MCD(6; 12).
3. Si a = b ≠ 0, entonces D(a; b) = D(a) = D(b).
En este caso MCD(a; b) = a = b.
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Divisibilidad.
Ejercicios
7 . Determina los números naturales que en la división
entera por 13 dan un cociente igual al doble del resto.
División entera.
1 . 1.Verifica que 197 719 = 341× 578 + 621.
2. Deduce, sin efectuar la división y sin utilizar la calculadora, el cociente y el resto de la división de 197 719 entre: a) 341 y b) 578.
2 . Se dividen siete naturales consecutivos entre 7,
¿cuáles son los restos obtenidos?
3 . Utilizando unicamente la tecla a b---c- de tu calcula-
dora, completa la tabla:
a
b
346
21
346
16
804
16
2345
709
q
r
8 . El dividendo de una división entera es menor que
5000. El cociente de esa división es 93 y el resto es 51.
Determina los valores posibles del dividendo y del divisor.
9 . n designa un número natural tal que n≥ 2. Determina
en función de n, el resto de la división entera de 4n−3 entre 2n+1.
10. n designa un número natural tal que n≥ 4. Determina en función de n, el resto de la división entera de 5n+21
entre n+3.
11. Sea n un númro natural y sean:
5 . En la división entera de dos números naturales el dividendo es 75 y el resto es 13. Da todos los valores posibles para el divisor y el cociente.
a = 9n + 4 y b = 2n – 1.
a) Con la ayuda de una
calculadora o una planilla de cálculo emite
una conjetura relativa
al MCD(a; b).
Intenta justificar tu
conjetura.
6 . En la división entera de 527 por un natural b, el cociente es 21. Da todos los valores posibles para el resto y
el divisor.
b) Idem para a = 35n + 57 y b = 45n + 76.
4 . Determina el conjunto de los números naturales
comprendidos entre 400 y 500 cuyo resto es 5 en la división entera entre 23.
Trabajo Personal:
Ejercicio 1.
1) Sean a = 168 y b = 204.
Encuentra D(a; b) y deduce el MCD(a; b).
2) Sea n un número natural y
a = n + 3 y b = 2n + 1.
a) Demuestra que si d divide a a y a b entonces,
d divide a 5.
b) Deduce los valores posibles del MCD(a; b).
Ejercicio 2.
a y b son dos números naturales, con a > b.
1) Demuestra que D(a; b) = D(a; a – b).
un algoritmo que te permita encontrar el
MCD(264; 168).
Ejercicio 3.
1) ¿Es posible que un número de resto 6 al dividirlo entre 15 y resto 5 al dividirlo entre 24?
Intenta justificar tu respuesta.
2) ¿Cuáles son todos los números naturales comprendidos entre 800 y 1000 que tienen resto 6 en
la división entre 15 y resto 18 en la división entre
24?
3) Determina un natural n de 4 cifras tal que los
restos de las divisiones de 21685 y 33509 entre n
sean respectivamente 37 y 53.
2) Aplicando varias veces ese resultado, deduce
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Divisibilidad.
4. Obtención del MCD. Algoritmo de Euclides.
Resulta del parágrafo anterior que se conoce el MCD(a; b) cuando: a = b ≠ 0, cuando a = 0 o b = 0, cuando
b divide a a. En la obtención del MCD(a; b) en general, se puede suponer que 0 < b < a y que b no divide a a.
1. Resultado preliminar. Lema de Euclides.
D(a; b) = D(b; r), siendo r el resto de la división entera entre a y b.
Si se parte de a = b×q + r , se puede decir que a es una combinación lineal de b y r y que por lo tanto, todo divisor común a b y a
r lo es un divisor de a.
99082 159
Si se parte de r = a – bq, y con el mismo argumento se deduce todo
divisor común a a y a b lo es un divisor de r.
En conclusión los divisores comunes a a y a b son los divisores comunes a b y a r, es decir: D(a; b) = D(b; r).
El resultado anterior es conocido con el nombre de Lema de Euclides.
25
623
D(99082; 159) = D(159; 25)
2. El algoritmo de Euclides.
Sean a y b dos números naturales tales que 0 < b < a
El algoritmo siguiente, llamado algoritmo de Euclides permite en un número finito de etapas
calcular el MCD(a; b).
(1.) Calcular el resto r de la división entera de a entre b.
(2.) Si r = 0, entonces MCD(a; b) = b.
(3.) Si r ≠ 0, reemplazar a por b y b por r y recomenzar a partir de (1.).
La búsqueda de D(a; b) se reduce a la de D(b; r) y lo interesante es que (b; r) es un par estrictamente menor
que
(a; b), en el sentido que b < a y r < b. Ahora, si r no es nulo, b no divide a a, se puede dividir b entre r obtener
un resto r1, y reemplazar (b; r) por (r; r1) y entonces: D(a; b) = D(b; r) = D(r; r1). Y así sucesivamente hasta
obtener un resto nulo.
En el proceso anterior, se llega a un resto nulo, porque los restos sucesivos, son números naturales r, r1, r2
… que decrecen estrictamente.
Se obtiene así una sucesión de igualdades:
Ahora, D(rn; 0) = D(rn).
D(a; b) = D(b; r) = D(r; r1) = D(r1; r2) = … = D(rn; 0).
Entonces D(a; b) = D(rn) y como rn es el máximo elemento de D(rn), rn es el máximo elemento de D(a; b),
y por lo tanto el MCD(a; b).
Ejemplo: a = 5664, b = 984.
Se divide a = 5664 entre b = 984:
5664 = 984 × 5 + 744.
Se divide b = 984 entre r = 744:
984 = 744 × 1 + 240.
Se divide r = 744 entre r1 = 240:
744 = 240 × 3 + 24.
Se divide r1 = 240 entre r2 = 24:
240 = 24 × 10 + 0.
El MCD de 5664 y 984 es 24.
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Disposición práctica: Para facilitar el cálculo
del MCD de dos números se utiliza el esquema siguiente:
q=5
q1 = 1
q2 = 3
q3 = 10
a = 5664 b = 984 r = 744 r1 = 240 r2 = 24
r = 744 r1 = 240 r2 = 24 r3 = 0
7
Divisibilidad.
3. Consecuencias del algoritmo de Euclides.
• Cuando b no divide a a, el MCD de a y b es el último resto no nulo obtenido por el algoritmo.
• El conjunto de los divisores comunes a dos naturales a y b, no nulos simultáneamente, es el
conjunto de los divisores de su MCD que llamaremos d, dicho de otra manera D(a; b) = D(d).
En efecto, se ha visto que D(a; b) = D(rn) y rn es el MCD(a; b).
5. Propiedades del MCD.
Teorema
Cualesquiera que sean los naturales a, b y k no nulos se tiene:
• MCD(ka; kb) = kMCD(a; b). (Propiedad multiplicativa)
• Si k divide a a y a b entonces MCD ⎛⎝ a--- ; b--- ⎞⎠ = 1--- MCD(a; b).
k k
k
Demostración.
• Sea d = MCD(a; b), entonces d divide a a y a b, y por lo tanto kd divide a ka y a kb, luego kd divide a
MCD(ka; kb).
Existe entonces un natural no nulo λ tal que λkd = MCD(ka; kb). Esto implica que λkd divide a ka y a kb, y
por lo tanto λd divide a a y a b. Entonces λd divide a d y debe ser λd ≤ d y por consiguiente λ= 1.
Se llega así a que kd = MCD(ka; kb) como queríamos demostrar.
• Supongamos que k divide a a y a b entonces se puede escribir:
a
a
b
a
1
kMCD ⎛⎝ --- ; b--- ⎞⎠ = MCD ⎛⎝ --- × k ;--- × k⎞⎠ = MCD(a; b), luego MCD ⎛⎝ --- ; b--- ⎞⎠ = --- MCD(a; b).
k k
k
k
k k
k
Números primos entre sí.
Los números a y b cuyo MCD es igual a 1 juegan un rol muy interesante.
Definición: Dos números naturales a y b se dicen primos entre sí cuando MCD(a; b) = 1.
O, lo que es lo mismo, cuando no tienen otros divisores comunes distintos de 1.
Ejemplo: 8 y 15 son primos entre sí.
El siguiente corolario de la propiedad multiplicativa del MCD recibe el nombre de:
Propiedad característica del MCD:
Sean a y b dos naturales no nulos simultáneamente y d un número natural no nulo.
d = MCD(a ; b) si y solamente si a=da’ y b=db’ con a’ y b’ primos entre sí.
Demostración.
a
d
a
1. Supongamos que d = MCD(a; b), entonces MCD ⎛⎝ --- ; b--- ⎞⎠ = --- entonces MCD ⎛⎝ --- ; b--- ⎞⎠ = MCD(a’; b’) = 1 y
d d
d
d d
a=da’ y b=db’.
a
d d
2. Si a=da’ y b=db’ y MCD(a’; b’) = 1 entonces MCD ⎛⎝ --- ; b--- ⎞⎠ = 1, aplicando la propiedad multiplicativa del
a b
d d
MCD se tiene que MCD ⎛⎝ d --- ;d --- ⎞⎠ = d×1 luego MCD(a; b) = d.
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Divisibilidad.
Ejercicios
Propiedades del MCD. Números primos entre sí.
MCD y Algoritmo de Euclides
1 . Determina los divisores comunes a los números a y
b.
a = 1 386 y b = 1 170.
a = 1 326 y b = 1 482.
a = 6292 y
b = 5 852.
2 . Si se divide 6381 y 3954 entre un mismo natural no
nulo n, se obtiene respectivamente 9 y 6 por restos.
¿Cuál es ese número n?
3 . Halla el máximo común divisor de los números
siguientes:
a) 1414 y 666;
d) 202 y 102.
b) 44350 y 20785; c) 2378 y 1769;
4 . a) Halla los naturales a tales que:
a < 336 y MCD(336; a) = 28.
b) Halla los naturales b tales que:
b < 225 y MCD(225; b) = 45.
5 . 1. a y b designan dos números naturales tales que
MCD(a; b) = 7 y los cocientes sucesivos del algoritmo de
Euclides son respectivamente 3; 1; 1 y 3. Determina a y b.
2. Idem si MCD(a; b) = 58 y los cocientes sucesivos del
algoritmo de Euclides son 2; 6; y 4.
6 . n designa un número natural no nulo.
1. Demuestra que los divisores comunes a n y a n+2 son
los divisores comunes a n y a 2.
2. Determina el MCD( n;n+2) según la paridad de n.
7 . n designa un número natural no nulo.
a = 7n2 + 4
y
b = n2 + 1
1. Demuestra que todo divisor común a a y b es un divisor
de 3.
2.a) Explica por qué si MCD(a; b) = 3, entonces existe un
natural k tal que n2 +1 =3k.
b) Demuestra que eso es imposible, analizando todos los
casos.
3. Deduce el MCD(a; b).
8 . Mentalmente encuentra el MCD(a;b) en los
siguientes casos:
a = 250 y b = 170.
a = 6×35 y b = 6×36.
a = 13×26 y b = 28×26.
9 . Encuentra el valor de a sabiendo que:
MCD(a; 18) =1 y 20 < a < 30.
10. Encuentra el valor de b sabiendo que:
MCD(630; b) =105 y 600 < b < 1100.
11. Determina los pares (x; y) de naturales soluciones
del sistema.
⎧ x + y = 144
⎨
⎩ MCD ( x ;y ) = 18
⎧ xy = 7776
⎨
⎩ MCD ( x ;y ) = 18
⎧ – x + y = 26
⎨
⎩ MCD ( x ;y ) = 13
⎧ x 2 – y 2 = 5440
⎨
⎩ MCD ( x ;y ) = 8
Ejercicio resuelto:
Halla todos los pares de números naturales (a; b) sabiendo que MCD(a; b) = 15 y ab = 1350.
Aplicando la propiedad característica del MCD, se
tiene que ab = (da’)(db’) = d 2a’b’.
Como ab = 1350 y d = 15, entonces, 1350 = 15
2a’b’y por lo tanto a’b’= 6.
Así que debemos hallar a′ y b′ primos entre sí, cuyo
producto sea 6.
Efectuamos la tabla:
En realidad encontramos cuatro
b
a′ b′ a
pares de valores para a y b, los
otros dos resultan de intercam1 6 15 90
biar los valores de a y b de la ta2 3 30 45 bla.
Los pares de números naturales (a; b) son:
(15; 90), (30; 45), (90; 15) y (45; 30).
Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010
9
Divisibilidad.
6. Teorema de Euclides y sus consecuencias.
1. Teorema de Euclides.
Sean a, b y c tres naturales no nulos.
Si a divide al producto bc y a es primo con b, entonces a divide a c.
El teorema de Euclides puede enunciarse diciendo que si un natural divide a un producto de dos factores y es
primo con uno de ellos entonces divide al otro.
Demostración.
En efecto, siendo a primo con b, se tiene MCD(a; b) = 1, entonces MCD(ac; bc) = c.
Ahora a divide a ac y por hipótesis también a bc entonces a divide al MCD(ac; bc) que es justamente c.
Corolario
Si un natural n es divisible por dos naturales a y b primos entre sí, entonces es divisible por
su producto.
Demostración
Por hipótesis se puede escribir n = ap y n = bq con p y q naturales. Entonces ap = bq por lo tanto b divide a
ap y es primo con a, debe dividir a p. Se tiene así que p = bp′, con p′ natural, entonces n = abp′ y se concluye
el teorema.
Este resultado se extiende fácilmente por recurrencia al caso de varios factores: si n es divisible por varios
números primos entre si dos a dos, entonces es divisible por su producto.
2. Aplicaciones:
• Si un número es divisible entre 3 y 8, es divisible entre 24 ya que MCD(3;8) =1.
Entonces para mostrar que un número es divisible entre 24, es suficiente probar que es divisible entre 3 y 8.
• Si un número es divisible entre 3, 5 y 8, entonces es divisible entre 3×5×8 = 120, porque 3, 5 y 8 son primos
entre si dos a dos.
Entonces para mostrar que un número es divisible entre 120, es suficiente probar que es divisible entre 3, 5
y 8.
• Resulta de la propiedad multiplicativa del MCD y del teorema de Euclides que si a y b son primos entre si,
entonces an y bp también lo son (n∈N y p∈N).
3. Fracciones irreducibles.
a
Consideremos fracciones --- de numerador a y denominador b naturales y b no nulo,
b
a
b
Definición: Se dice que la fracción ---- es irreducible si a y b son primos entre si.
Teorema
Toda fracción es igual a una fracción irreducible.
Demostración:
a
Consideremos una fracción --- cualquiera, y sea d el MCD de a y b, y sean a' = a--- y b' = b--- .
b
---- .
Entonces a′ y b′ son primos entre sí y a--- = a'
b
b'
30
------ = 30
------ y ------ es irreducible ya que MCD(60;14) = 2.
Ejemplo 60
7
14
7
Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010
d
d
10
Divisibilidad.
Ejercicios
9 . Efectúa las operaciones siguientes:
Teorema de Euclides.
7
3
------ – 4
--- + -----15 5 16
1 . ¿Cuál es el menor número natural que dividido por
21 o por 33 da resto 5?
2 . Utilizando el teorema de Euclides, determina dos
números naturales a y b primos entre sí, tales que:
26
--------- – 35
-----165 66
5
4
3
------ + ------ – -----21 27 14
------ de denominador
10. Determina una fracción igual a 44
99
36.
33a – 45b = 0.
3 . Utilizando el teorema de Euclides, determina dos
números naturales a y b cuyo MCD es 15, tales que:
11. Determina dos números naturales a y b tales que la
a
a
+ 21
----------------- = --- .
fracción --- sea irreductible y además a
b
b + 15
b
135a – 180b = 0.
4 . Demuestra que n(n+1)(n+2) es divisible entre 6.
12. Indica cuáles de las siguientes fracciones son irreductibles:
5 . Demuestra que n(n+1)(n+2)(n+3) es divisible entre
n ----------n+1
24.
6 . Demuestra que n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) es divisible
entre 120.
Fracciones irreductibles.
7 . Simplifica las fracciones:
1540
-----------330
252
--------156
1350
-----------1500
2448
-----------3528
n! -----------------( n + 1 )!
2n
+ 1-------------n+1
n----------------------( 2n + 1 )
n+1
13. n designa un número natural.
11n + 3
Demuestra que la fracción ------------------ es irreducible.
7n + 2
14. n designa un número natural mayor o igual a 7.
+ 7A = n----------n–6
a) Determina los números enteros α y β, independientes
βde n tales que para todo n ≥ 7, A = α + ----------.
n–6
8 . Simplifica las fracciones:
3675
-----------2450
n -------------2n + 1
2652
-----------1196
Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010
b) ¿Para qué valores de n, A es entero?
c) ¿Cuáles son los valores de n tales que A no es una
fracción irreducible?
11
Divisibilidad.
7. Mínimo común múltiplo de dos naturales.
1. Definición y notación.
Dos naturales a y b no nulos admiten un múltiplo común, también no nulo, que es su producto ab. Entonces
el conjunto de los múltiplos comunes no nulos no es vacío, y entre ellos hay uno que es el mínimo.
Definición: El menor múltiplo común, distinto de 0, de dos naturales a y b (no nulos)
se llama mínimo común múltiplo de a y b.
Se anota mcm(a; b).
2. Propiedades del mcm.
Relación entre el MCD y el mcm:
Si a y b son dos naturales no nulos, d = MCD(a; b) y m =mcm(a; b) entonces,
• m = ab
------ o md = ab.
d
Demostración:
ab
• Ante todo probemos que ------ es un natural y ese natural es un múltiplo común a a y b.
d
ab
a
b
------ , lo que prueba que ------ es un natural.
Sean a' = --- y b' = --- ( a′ y b′ primos entre si). Entonces a'b'd = ab
d
d
d
d
------ = ab' , y b′d = b entonces ab
------ = ba' , lo que prueba que ese natural es un múltiplo
Pero a′d = a entonces ab
d
d
común a a y b.
ab
d
• Probemos que todo múltiplo M de a y b, no nulo, se escribe k ------ , con k≥1.
Se puede escribir M = ap y M = bq con p y q naturales no nulos. Entonces ap = bq, lo que conduce luego de
simplificar a: a′p = b′q. Entonces b′ divide a a′p y es primo con a′, luego, teorema de Euclides mediante, se
tiene que b′ divide a p, y por lo tanto se puede escribir p = b′k con k natural no nulo.
ab
Entonces, M = b′ka, pero b' = b--- de donde M = k ------ .
d
d
ab
d
ab
El mínimo de éstos no nulo se obtiene para k = 1, es decir m = ------ o md = ab, como queríamos demostrar.
d
Resulta así que todos los múltiplos de a y b son de la forma k ------ .
Corolario importante:
• Todo múltiplo común a a y b es un múltiplo de m.
ab
ab
• Si todo múltiplo M de a y b, no nulo, se escribe k ------ , con k≥1 y m = ------ entonces, M es múltiplo de m.
d
d
Propiedad multiplicativa del mcm.
Si m es el mcm de a y b dos naturales no nulos, entonces para todo natural k, k > 0,
mcm(ak; bk) = km.
Demostración.
Sabemos que mcm(ak ; bk)×MCD(ak ; bk) = k2ab, de donde:
mcm(ak ; bk)×MCD(ak ; bk) = k2 mcm(a; b)×MCD(a; b).
Como MCD(ak; bk) = kMCD(a; b), simplificando: mcm(ak; bk) = kmcm(a; b) = km.
Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010
12
Divisibilidad.
Ejercicios
Mínimo común múltiplo.
1 . En cada caso, calcula el mcm de a y b.
a) a = 26, b = 12;
c) a = 12, b = 13;
b) a = 18, b = 15;
b) a = 26, b = 32.
2 . Se dispone de rectángulos de dimensiones 16 cm
por 14 cm.
¿Cuál es el área del menor cuadrado que se pueden formar con esos rectángulos?
3 . n es el menor natural tal que los restos de las divisiones euclidianas de n entre 18 y de n entre 24 son
ambos iguales a 5. ¿Cuál es ese natural n?
Determinar el MCD y el mcm.
4 . a = 256 y b = 5040.
a) Descompone a y b en producto de factores primos,
luego determina: MCD(a; b) y mcm(a; b).
b) Determina el MCD(a; b) con el algoritmo de Euclides. Deduce el mcm(a; b).
8 . n designa un natural no nulo.
a) Determina el MCD(n; n + 1).
b) Deduce el mcm(n; n + 1).
c) Determina dos naturales consecutivos cuyo mcm sea
9120.
9 . Se consideran los polinomios definidos sobre R
por:
A(x) = 10x3 + 60x2 + 110x + 60 y
B(x) = 6x2 + 18x + 12.
1. a) Calcula A(–1), A(–2).
b) Determina los reales a y b tales que, para todo real
x:
A(x) = (x + 1)(x + 2)(ax + b).
c) Factoriza B(x).
2. Se supone que n es un número natural.
a) Explica por qué MCD(5n + 15; 3) es igual a 1 o 3.
b) Demuestra que MCD(5n + 15; 3) = 3 si, y solamente
si, n es divisible entre 3.
c) Determina el MCD y el mcm de los naturales A(n) y
B(n) según que n sea múltiplo o no de 3.
Ejercicio resuelto:
5 . Halla el MCD(a; b) y el mcm(a; b) de:
a = 460 845 y b = 372645.
6 . a y b son dos números naturales no nulos.
Halla en cada caso los pares (a; b).
a) MCD(a; b) = 7,
mcm(a; b) = 84.
b) MCD(a; b) = 14,
mcm(a; b) = 420.
c) MCD(a; b) = 18,
mcm(a; b) = 90.
7.
x y y son dos números naturales no nulos.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
⎧ mcm ( x ;y ) = 60
;
⎩ xy = 180 ; x ≤ y
a) ⎨
⎧ mcm ( x ;y ) = 18
;
⎩ x + y = 15 ; x ≤ y
b) ⎨
10. Encuentra dos números naturales a y b tales
que la diferencia entre su MCD y su mcm sea 187.
Si d = MCD(a; b) y m = mcm(a; b) tenemos que:
m – d = 187.
Sabiendo que md = ab y que a= a’d, b=b’d con a’
y b’ primos entre sí, se obtiene m = da’b’ de donde
d(a’b’–1) = 187.
De este modo, d es un divisor de 187, es decir 1;
11; 17 o 187. Tomando d = 11, de a’b’–1 = 17 se
tiene que a’b’ = 18, con a’ y b’ primos entre sí.
Entre otras respuestas posibles puede ser a’ = 2 y
b’ = 9 y por lo tanto a = 22 y b = 99.
⎧ mcm ( x ;y ) = 12MCD ( x ;y )
⎧ MCD ( x ;y ) = x – y
c) ⎨
d) ⎨
.
x
+
y
=
105
;
x
≤
y
⎩ mcm ( x ;y ) = 72
⎩
Trabajo Personal:
Ejercicio 1:
1) Con la ayuda del algoritmo de Euclides, halla el
MCD(168; 324).
2) Deduce el mcm(168; 324).
3) Descomponiendo 168 y 324 en factores primos,
verifica que:
• el MCD es el producto de los factores primos
comunes a 168 y 324, cada uno afectado de su
menor exponente.
Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010
• el mcm es el producto de los factores primos
comunes y no comunes a 168 y 324, cada uno afectado de su mayor exponente.
Ejercicio 2:
Sean a y b dos números naturales con a < b.
Si d = MCD(a; b) y m = mcm(a; b), determina los
pares (a; b) tales que: 2m + 3d = 78.
13