1) La aproximación de fuente puntual. (Más tarde se puede

1) La aproximación de fuente puntual. (Más tarde se puede generalizar fácilmente a una
aproximación de multiples fuentes puntuales.)
2) La funcion Green, mejor dicho su derivada espacial Gip,q. Representa la “funcion de
transferrencia” del medio. Necesita el conocimiento de la posición del foco, la posición de
las estaciones y el modelo de la corteza terrestre. Se calcula mediante el metodo discreto
de numero de onda (discrete wavenumber, DW).
3) Mpq, el tensor momento sísmico, una descripción matemática de la fuente. Representa
un efecto integral de toda la fuente. (Se pueded escribir como la integral de la densidad
superficial de momento a lo largo del plano de falla.)
4) Es conveniente representar Mpq como una combinación lineal de los seis momentos
elementales M1, M2 ... M6. Recuerde la denotación de los coeficientes de la combinación,
los llamados “coeficientes a”. Sólo estos a (a1, a2 ... a6) son los principales parámetros que
se invierten a partir de formas de onda en ISOLA.
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5) Cada fuente elemental tiene su tensor simple y su patron de radiación especial (the
beachball). Cinco de ellos representan los tensores de cizalla pura de diferentes
orientaciones. El sexto tensor representa un cambio de volumen (explosión).
6) Si se conocen los coeficientes a, podemos calcular el tensor de momento. Luego, sus
propiedades se pueden determinar de forma rutinaria, tales como los valores y vectores
propios, strike, dip, rake, momento escalar, etc.
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7) El momento escalar Mo se calcula en ISOLA por medio de la norma euclidiana.
8) Si sabemos Mo se puede calcular la magnitud de momento Mw (según Hanks y
Kanamori). Mo aqui es en Nm.
La magnitud de momento Mw se encuentra cerca de Ms para Ms < 8 (Ms es la magnitud
de las ondas superficiales), pero, a diferencia de Ms, la magnitud Mw no se satura, es
decir, terremotos grandes tienen Mw >9. En las redes sísmicas locales se deben establecer
relaciones de magnitud local ML y Mw. Como regla general, ML = const1. Mw + const2,
donde const1 es cercano a 1.
9) Vamos a sustituir la expresión de Mpq (usando una combinación lineal de los momentos
elementales) en la ecuación de arriba. Reordenando los términos se puede introducir Mjpq
* Gip, q = Ej para cada de los seis momentos elementales Mjpq. Ej se llama el sismograma
elemental.
10) La definición adoptada de los sismogramas elementales E supone que la variación
temporal de cada momento elemental es la misma y conocida. Más a menudo se supone la
variación temporal del momento de tipo del paso? escalon? (Heaviside). Esto significa que
la tasa? derivada? de momento es la función delta (Dirac). ISOLA trabaja con la funcion
delta o, alternativamente, con un triángulo simétrico de la duración prescrita por el usuario.
11) Finalmente, el desplazamiento u (en cada estación y cada de componentes) es una
combinación lineal de seis sismogramas elementales E. Los coeficientes de esta
combinacion son los mismos coeficientes a, introducidos arriba.
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12) Como regla general, tenemos muchas estaciones (las formas de onda), cada uno en
tres componentes, y muchas muestras de tiempo para cada coponente. Por lo que el
número de "datos" es mucho mayor que el número de desconocidos "parámetros" (el 6
coeficinetes a). Formalmente, esta es un sobre-determinado problema lineal inverso. Se
puede characterizar a partir de la matriz, las columnas de la cual son los sismogramas
elementales E.
13) El sistema sobre-determinado (las ecuaciones más numerosos que los parametros
incógnitos) suele ser resuelto por el método de mínimos cuadrados. El papel fundamental
T
T
en este procedimiento es desempeñado por la matriz E E, donde E denota transpuesta
de E, por lo que ET E es una matriz cuadrada, 6x6, cuyas propiedades son esenciales para
toda la inversión. (ET E)-1 denota la matriz inversa. Si ET E está cerca de singular, la
inversión puede ser inestable.
14) La sobre-determinación es buena, porque los datos siempre contienen errores, por lo
que seis parámetros desconocidos no se puede determinar a partir de 6 puntos de datos,
es decir, a partir de 6 ecuaciones. Necesitamos mucho más ecuaciones, y normalmente los
tenemos.
15) Naturalmente, si tenemos muchas ecuaciones, pero todos ellos procedentes sólo de
muestras de tiempo en una sola estación, el problema podría ser aún formalmente sobredeterminado, pero físicamente sub-determinado. La solución no puede ser encontrada, el
sistema es inestable, su matriz ET E está cerca de singularidad. ISOLA hace possible
comprobar las propiedades del problema inverso, haciendo uso de la razón entre los
valores propios máximo y mínimo de la matriz ET E. Por supuesto, la situacion similar tiene
lugar si el número de estaciónes no es sólo uno, pero aún pequeño. [Por otro lado, no
tengan miedo, ISOLA no necesita muchas estaciones de una buena cobertura azimutal
para determinar correctamente strike, dip y rake.]
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16) La solución es matemáticamente equivalente a la minimización del cuadrado de la
diferencia entre los datos reales (u) y los datos sintéticos (a.E). Es por eso que a menudo
hablan también de la solución en la norma-L2. En principio este procedimiento es correcto
sólo para los datos que tienen errores con la distribucion estadistica de tipo normal (de
Gauss).
17) Si se resuelve el problema inverso mediante el método de LSQ nos encontramos con
sólo una única solución, es decir, el procedimiento proporciona la mejor minimización de la
diferencia residual (∆). En otras palabras, se obtienen un "pequeño" valor de ∆, aunque no
un valor cero. El valor de la diferencia residual ∆ sirve como una medida global de la
calidad del ajuste de los datos observados y sintéticos.
18) Otra de las medidas de uso frecuente es la llamada reducción de la varianza, VR, o
varred. ISOLA ofrece VR (pero contiene también algunas otras medidas de ajuste).
19) En otra parte de esta discusion vamos a demostrar que la raiz cuadrada de VR, es
equivalente a la correlación entre las formas de onda observadas y sintéticas.
20) Arriba se asumió una fuente puntual de una posición conocida. Ahora está claro que si
se define una red, o grilla, espacio-tiempo, podemos repetir el cálculo del tensor momento
para cada punto de la red. Estos son los llamados puntos (o fuentes) de prueba. Entonces,
podemos llevar a cabo la otra mimizacion - es decir, reducción al mínimo del valor de la
diferencia residual ∆ - que proporciona el ‘mejor’ punto de prueba y su tensor momento
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sísmico. Lo mismo se puede efectur para cada punto en la red temporal, lo que nos da el
tiempo optimal de la fuente.
En otras palabras, podemos decir que tensor momento final se obtiene mediante la
solución de tipo LSQ que se repite en la red espacio-temporal. Aplicación de la búsqueda
en la red es necesaria debido al hecho que la dependencia del tensor de momento
respecto a la posición y el tiempo de la fuente no es lineal. (Por lo tanto el método LSQ no
se puede utilizar para resolver la variación espacial y temporal.) Una formulación
equivalente es que resolvemos un problema lineal inversa para el tensor de momento por
el método de LSQ, mientras que el problema inverso no lineal para la posición de la fuente,
y su tiempo se resuelta por la búsqueda de la red.
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