Ejemplo: Tensores. Tensor de fuerzas superficiales sobre una

Ejemplo: Tensores. Tensor de fuerzas superficiales sobre una partícula fluida
1. Fuerzas de superficie
Las fuerzas superficiales que actúan sobre un Vf ( t ) , es decir, sobre su superficie, dependen
de la posición, del tiempo y de la orientación del elemento de superficie sobre la cual
actúan, es decir, del vector normal a dicho elemento de superficie.
Si se considera un punto fijo de un campo fluido. En un instante dado, pasará por

ese punto, una partícula fluida. En ese punto e instante de tiempo, una normal n1 a la
superficie de dicha partícula (para otro instante de tiempo en este mismo punto, o para
cualquier otro punto del campo fluido la normal puede ser distinta). Las fuerzas
superficiales dependen por tanto, en general, además de la posición y del tiempo, de la
orientación del elemento de superficie.


Fs   f s ds
   
f s  f s ( x, t , n )
s

Dependiendo de la orientación del elemento de superficie, la f s se puede
descomponer en una componente normal y otra tangencial. Considerando así un Vf ( t )

sumergido en otro fluido, este ejercerá sobre un elemento “ dS ” una fuerza f s que se
puede descomponer en un esfuerzo normal y otro tangencial,
n
fsn
fs
 

f s  f sn  f st
fst
Figura 1. Descomposición de las fuerzas superficiales.
Las fuerzas superficiales se pueden descomponer también, según un sistema de ejes
cartesianos “ xyz ”, por lo que se necesitan, en general, nueve componentes para poder
definir el estado de fuerzas en una superficie elemental “ dS ”. Dado que la fuerza

superficial y la superficie (definida por su vector normal n ) sobre la que actúa son
magnitudes vectoriales, el esfuerzo va a ser una magnitud “tensorial”.
2 Tensor de esfuerzos sobre una partícula fluida




Las fuerzas superficiales unitarias f s  f sx i  f sy j  f sz k actuarán sobre el área “ dS ”, que a




su vez viene representada por un vector unitario normal n  n x i  n y j  n z k .
Representando las proyecciones según el sistema de ejes “ xyz ” del elemento “ dS ” y las
componentes de las fuerzas superficiales según las tres direcciones, se pueden definir los
esfuerzos unitarios para cada superficie proyectada,
z
z
dAz
dFz
zz

zy
dFy
dFx
dFy
dFy
yy
xz
yx
y
dFx
dFz

yz
zx
dFz
y
xy
dAy
xx
dFx
dAx
x
x
a)
b)
Figura 2 a) Fuerzas sobre un elemento diferencial de superficie b) Esfuerzos superficiales.
Sobre el elemento de superficie “ dA x ” los esfuerzos son,
dFy
dFx
dFz
 xx 
 xy 
 xz 
dA x
dA x
dA x
sobre el elemento de superficie “ dA y ”,
 yx 
dFx
dA y
 yy 
dFy
dA y
 yz 
dFz
dA y
 zz 
dFz
dA z
y sobre el elemento de superficie “ dA z ” ,
 zx 
dFx
dA z
 zy 
dFy
dA z
Se puede expresar matricialmente de la forma,
 f sx    xx
 
 f sy     xy
f  
 sz   xz
 yx
 yy
 yz
 zx  n x 
 
 zy  n y 

 zz  n z 
de forma compacta,
 
fs   n

siendo,  , el tensor de esfuerzos superficiales para el elemento de superficie definido por la

normal n . El tensor de esfuerzos superficiales es simétrico, es decir,
 xy   yx
 xz  zx
 yz  zy
El tensor de esfuerzos superficiales se puede descomponer en otros dos, un tensor
de esfuerzos normales de compresión y un tensor de esfuerzos viscosos. Esto es posible
debido a que en un fluido en “reposo”, no puede haber esfuerzos cortantes (si los hubiera
dejaría de estar en reposo, por definición de fluido), de modo, que en este caso particular
de fluidos en reposo, el tensor de esfuerzos se reduce a,
0  n x 
 f sx    p 0
  
 
 f sy    0  p 0  n y 
f   0
0  p  n z 
 sz  
donde,  p representa el esfuerzo normal de compresión que soporta el volumen fluido. Se
puede por tanto escribir de forma general que el tensor de esfuerzos superficiales es suma
de un tensor de esfuerzos normales mas un tensor de esfuerzos viscosos,

 
 
 n  f s  pn  ' n

siendo, ' , el tensor de esfuerzos viscosos. Por lo tanto, dicho tensor se puede expresar de
la siguiente manera,
  p  xx
 yx
 zx 


    xy
 p  yy
 zy 


 yz
 p  zz 
  xz
los elementos del tensor son, para flujo laminar, incompresible y despreciando el
segundo coeficiente de viscosidad,
 u 
xx  2 
 x 
 v u 
 xy    
 x y 
 w u 
 xz  
 
 x z 
 v 
yy  2 
 y 
 v u 
 yx    
 x y 
 w v 
 yz  
 
 y z 
 w 
zz  2

 z 
 w u 
 zx  
 
 x z 
 w v 
 zy  
 
 y z 