Cap´ıtulo 6 Apéndice

Capı́tulo 6
Apéndice
6.1.
Principales ecuaciones de movimiento
En este anexo se exponen los principales desarrollos para poder obtener las ecuaciones del movimiento, en problemas de geometrı́a esbelta y coordenadas cilı́ndricas,
una descripción similar para flujos con una superficie libre se puede encontrar en[23].
Comenzaremos por centrarnos en el tensor de esfuerzos viscosos (τ � ). Para fluidos
incompresibles y Newtonianos este tensor queda:
τ � = 2µξ
Donde ξ es la parte simétrica del gradiente de la velocidad (es bien sabido que todo
tensor se puede descomponer en una parte simétrica y otra antisimétrica). En el
caso de coordenadas cilı́ndricas el gradiente de la velocidad queda:

∂vr
∂r



 1 ∂vr vθ

∇v =  r ∂θ − r



∂vr

∂z
∂vθ
∂r
1 ∂vθ vr
+
r ∂θ
r
∂vθ
∂z
83

∂vz
∂r 


1 ∂vz 

r ∂θ 


∂vz 

∂z
(6.1)
Obtenición de chorros estables en
electrospray bajo caudales mı́nimos
Eduardo Vioque Martı́nez
y
vr +
∂vr
dθ
∂θ
vθ +
∂vθ
dθ
∂θ
eθ
dθ(r + dr)
vr
rdθ
er
vθ
dθ
x
Figura 6.1: Differential element in polar coordinates.
De la expresión(6.1) podemos obtener el tensor ξ y obtener:


∂vr
1 ∂vr
∂ � vθ � ∂vr ∂vz
2
+r
+

∂r
r ∂θ
∂ r
∂z
∂r 




�
�
�
�
 1 ∂vr
1 ∂vθ vr
∂vθ 1 ∂vz 
∂ vθ


1
2
+r
+
+

ξ= 
r
∂θ
∂r
r
r
∂θ
r
∂z
r
∂θ

2





∂vr ∂vz
∂vz
∂vθ 1 ∂vz



+
+
2
∂z
∂r
∂z
r ∂θ
∂z
(6.2)
Nótese que en coordenadas cartesianas ξ se puede escribir como:
ξij =
∂vj
∂vi
+
∂xi ∂xj
Una vez definidos el tensor de esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades,
pasamos a estudiar las ecuaciones de Navier-Stokes. Aplicando conservación de masa
obtenemos:
∂vr ∂vz vr
+
+
=0
∂r
∂z
r
(6.3)
Por otro lado tomando conservación de cantidad de movimiento en la dirección axial
z, obtenemos:
ρ(
∂vz
∂p
∂ 2 vz ∂ 2 vz
∂ � vz �
∂vz
∂vz
)
+ vr
+ vz
)=−
+ µ( 2 +
+
∂t
∂r
∂z
∂z
∂r
∂z 2
∂r r
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(6.4)
Obtenición de chorros estables en
electrospray bajo caudales mı́nimos
Eduardo Vioque Martı́nez
Para cerrar la formulación del problema debemos añadir las condiciones de contorno, las cuales quedan:
γ 1
n · τ · n = − + �0 [En2 + (β − 1)Es2 ]
ζ
2
n · τ · t = �0 En Es
Donde ζ es el radio principal de curvatura del chorro, ya que en problemas tan
esbeltos el resto de radios de curvatura no tienen una importancia relevante, salvo
en situaciones donde el chorro se rompe en gotas. Obsérvese que en las condiciones
de contorno aparecen los esfuerzos debidos al tensor de tensiones de Maxwell, el cual
contiene los esfuerzos asociados a la presencia de un campo electrostático, aunque
se ha hecho una descripción del tensor de Maxwell en 6.2, un estudio en mayor
profundidad puede encontrase en [24, 12]. En las expresiones anteriores τ representa
el tensor de esfuerzos superficiales, es decir:
τ = −pI + τ �
Para continuar, desarrollamos la velocidad axial y la presión en serie de McLaurin alrededor de r = 0 y mantenemos únicamente los términos de menor orden
dependientes de r [23, 25], de esta forma la velocidad y la presión se pueden escribir
como sigue:
vz (z, r, t) = v0 (z, t) + v2 (z, t)r 2
p(z, r, t) = p0 (z, t) + p2 (z, t)r 2
Nótese que tanto v1 como p1 que corresponden a vz� (z, r, t) y p� (z, r, t) se anulan
en r = 0 como consecuencia de la simetrı́a del problema. Utilizando estas expresiones
en la ecuación(6.3) la velocidad en la dirección radial se puede escribir como:
r
r3
vr (z, r, t) = −v0� (z, t) − v2� (z, t)
2
4
Donde
�
se refiere a la derivada respecto a z. Si ahora insertamos las presiones y
velocidades obtenidas en la ecuación de cantidad de movimiento(6.4) obtenemos:
ρ(
∂v0
+ v0 v0� ) = −p�0 + µ(4v2 + v0�� )
∂t
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Obtenición de chorros estables en
electrospray bajo caudales mı́nimos
Eduardo Vioque Martı́nez
Para calcular v2 y p0 es posible usar las condiciones de contorno, en efecto tomando n = [1, 0, −ζ � ]T y t = [ζ � , 0, 1]T se obtiene:
p0 = −µv0� +
v2 =
γ 1
− �0 [En2 + (β − 1)Es2 ]
ζ
2
3 ζ � � v0�� �0 En Es
v +
+
2ζ 0
4
2µζ
Una vez que v2 y p0 son conocidas la ecuación(6.4) se puede reescribir quedando:
�
�
�
�
d γ
2�0 En Es 1 d 2
6µQ d 1 dζ
ρQ2
=
+ 2 4 + 2
+ �0 [En + (β − 1)Es2 ] (6.5)
dz ζ
2π ζ
ζ π dz ζ dz
ζ
2 dz
La ecuación(6.5) es muy importante para poder entender el fenómeno fı́sico del
electrospray y poder deducir las leyes de escala que gobiernan el problema.
6.2.
Tensor de tensiones de Maxwell
Aunque una descripción completa de la fı́sica de los campos electromagnéticos se
puede encontrar en [24], en este texto se realiza una útil deducción del tensor de
tensiones de Maxwell. Tomando equilibrio en un medio continuo podemos escribir:
f = ρe E = (∇ · D)E
Donde f son las fuerzas volumétricas, ρe es la densidad de carga volumétrica y
E es el campo electrostático. Esta expresión se puede reescribir como:
fi =
∂Dj
∂
∂Ei
Ei =
(Dj Ei ) − Dj
∂xj
∂xj
∂xj
Sabiendo que ∇ ∧ E = 0 se tiene:
∂Ei
∂Ej
=
∂xj
∂xi
Para medios lineales y uniformes se tiene que Dj = �Ej , � = cte, sustituyendo
en la última expresión se obtiene:
∂
∂
fi =
(�Ej Ei ) + �
∂xj
∂xi
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�
1 2
|E|
2
�
Obtenición de chorros estables en
electrospray bajo caudales mı́nimos
Eduardo Vioque Martı́nez
Con todo esto, el tensor de tensiones de Maxwell queda:
�
�
1 2
M
σij = � Ei Ej − E δij
2
(6.6)
Se debe remarcar que para medios lineales donde la polarización depende de la
densidad y la temperatura el tensor se modifica según:
� � �
�
1
ρ ∂�
σ = �EE − � 1 −
E.Eδ
2
� ∂ρ T
Una descripción más profunda sobre los efectos de los campos eléctricos en fluidos
y su formulación matemática se puede encontrar en [26, 12].
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