FUNCIÓN POLINOMIAL

FUNCIÓN POLINOMIAL.
DEFINICIÓN.
Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la
matemática.
atemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que
intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real.
Una función polinomial f es una función de la forma:
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+ ...a2x2+a1x1+a0
Donde n es un entero no negativo y an ≠ 0 , y los coeficientes an, an-1... a1, a0 son números
reales.
El grado de un término es el exponente de x en dicho término y el grado de toda la
expresión es igual al del término de mayor grado.
Entre las funciones polinomiale
polinomialess se encuentran; la función constante, la función lineal, la
función cuadrática, la función cúbica
cúbica y entre otras funciones de grado mayor a tres.
y
y
y
y
x
x
x
y=f(x)=a0 es una función
polinomial de grado cero y
corresponde a la función
constante.
2
y=f(x)=a1x+a0 (y=mx+b) es y=f(x)=a2x +a1x+a0
2
una función polinomial de (y=ax +bx+c) es una función
grado uno y corresponde a la polinomial de grado dos y
corresponde a la función
función lineal.
cuadrática.
En este apartado nos concretaremos al estudio de las funciones polinomiales de grado
mayor a dos.
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN POLINOMIAL.
•
La gráfica de y = f (x) intercepta al eje y en el punto (0, c).
•
La gráfica de y = f (x) intercepta al eje x en los puntos cuyas abscisas son las raíces
de la ecuación.
•
La función polinomial es una función continua.
RAÍCES DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL.
Para determinar los ceros de una función polinomial, es decir, las intersecciones con el eje
n
n-1
n-2
2
1
de las x, se considera que anx +an-1x +an-2x + ...a2x +a1x +a0=0 y se busca para
qué valores de x se cumple esta condición.
El método que utilizaremos para encontrar las raíces de una función polinomial es el método
de la división sintética.
DIVISIÓN SINTÉTICA.
La división sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio
n
n - 1
P(x) = anx + an - 1x
+an-2xn-2...+ a1x + a0 de grado n, esto es an ≠ 0, entre un
polinomio lineal (x – a). Antes de iniciar este procedimiento deberás de atender las
siguientes recomendaciones:
•
•
•
•
•
Que el dividendo esté ordenado en potencias decrecientes de una literal.
Si no aparece un término en una determinada potencia literal, éste deberá de
representarse usando al cero como su coeficiente numérico.
El divisor será siempre de la forma x-a.
Los valores de a para el divisor, son algunos de factores en los que se puede
descomponer el término independiente del polinomio a factorizar, siempre que el
coeficiente de la potencia de mayor grado en el polinomio sea 1.
Si el coeficiente de la potencia de mayor grado en el polinomio es >1 , los valores de a
serán fraccionarios, los cuales se obtendrán mediante la expresión
p
(q ≠ 0), donde p
q
son los factores del término independiente (a0) y q son los factores del coeficiente de
la potencia de mayor grado en el polinomio ( an).
El procedimiento para realizar esta división es muy simple, primero se toman todos los
coeficientes del polinomio P(x) y la constante a, con éstos se construye una especie de
''casita'' que ayudará en el proceso.
an
an-1
an-2 ... a1
a0
a
Lo primero es ''bajar'' el coeficiente an, a este coeficiente también lo denotamos por bn - 1,
luego se multiplica por la constante a, el resultado se coloca en la segunda columna y se
suma al siguiente coeficiente an - 1, al resultado lo denotamos bn – 2.
an
an-1
an-2 ... a1
abn-1
an
a0
abn-2
a
abn-1+an-1
bn-2
bn-1
Este último resultado se multiplica nuevamente por a y se le suma al coeficiente an - 2 y el
proceso se repite hasta llegar a a0. Los resultados parciales que se obtienen se denotan por
bn - 1, bn - 2, ... , b1, b0 (se inicia con bn - 1 pues el cociente tiene un grado menos que el
dividendo), y el último valor obtenido se denota por r, pues es el residuo de la división, de
esta forma lo que se obtiene es:
an
an-1
abn-1
an
bn-1
abn-1+an-1
bn-2
an-2 ...
a1
a0
abn-2
...
a
ab1+a1
b0
ab0+a0
r
Así, el cociente de la división de P(x) por x - a es bn - 1xn - 1 + bn - 2xn - 2 +
residuo r, en donde los coeficientes se detallan de la siguiente manera:
bn - 1 = an
bn - 2 = cbn - 1 + an - 1
bn - 3 = cbn - 2 + an - 2
b1 = cb2 + a2
b0 = cb1 + a1
r = cb0 + a0
...
+ b1x1 + b0 con un
GRÁFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES.
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
Construir la gráfica de la siguiente función y= f(x) = x3-2x,
2x, para cualquier valor de x positivo o
negativo, establecer su dominio, su rango y encontrar sus raíces.
Solución:
x
y= f(x) = x3-2x
-3 (-3)(-3)(-3) -2(-3)= -27+6=
27+6= -21
-2 (-2)(-2)(-2) -2(-2)= -8+4=
= -4
-1 (-1)(-1)(-1) -2(-1)= -1+2=
2= 1
0
(0)(0)(0) -2(0)= 0+0= 0
1
(1)(1)(1) -2(1)= 1-2= -1
2
(2)(2)(2) -2(2)= 8-4= 4
3
(3)(3)(3) -2(3)= 27-6= 21
Dominio
Rango
(x, y)
(-3,-21)
(-2, -4)
( -1, 1)
(0, 0)
(1, -1)
( 2, 4)
(3, 21)
− ∞ ≤ x ≤ +∞
− ∞ ≤ y ≤ +∞
Para encontrar las raíces aplicaremos el método de factorización.
En la ecuación y= x3-2x la igualamos a cero y nos queda.
x3-2x=0 sacamos a x como factor común, quedando: x(x2-2)=0.
Las raíces son los valores que podemos asignar a x para que la ecuación se haga cero, por
lo que:
x1=0,
x2=+ 2
y
x3=- 2
Los valores de las raíces se pueden observar en la gráfica.
x
Ejemplo 2.
Construir la gráfica de la siguiente función y= f(x) = x3-3x2-13x+15,, para cualquier valor de x
positivo o negativo, establecer su dominio, su rango y encontrar sus raíces.
raíces
Solución:
x
y=f(x) = x3-3x2-13x+15
-3 (-3)3 -3(-3)2-13(-3)+15=--2727+39+15=0
-2 (-2)3 -3(-2)2-13(-2)+15=--812+26+15=21
-1 (-1)3 -3(-1)2-13(-1)+15=--13+13+15=24
0
1
2
3
(0)3 -3(0)2-13(0)+15=+15
+15
(1)3 -3(1)2-13(1)+15=1-3
313+15=0
(2)3 -3(2)2-13(2)+15=8-12
1226+15=15
(3)3 -3(3)2-13(3)+15=27
27-2739+15=-24
Dominio
Rango
y
(x, y)
(-3, 0)
(-2, 21)
( -1, 24)
(0, 15)
(1, 0)
x
( 2, 15)
(3, -24)
− ∞ ≤ x ≤ +∞
− ∞ ≤ y ≤ +∞
Para encontrar las raíces utilizaremos el método de división sintética, por lo que habrá que
factorizar
actorizar la siguiente expresión x3-3x2-13x+15.
Por lo que los posibles valores de a son: ± 1 , ± 3 , ± 5 , ± 15 .
Si suponemos que a=-3.
x3
-3x2
-13x
+15
1
-3
-13
13
+15
1x-3= -3
-6x-3= 18
5x-3= -15
15
-6
5
0
1
(x-a)
(x
a=-3
a=
x-(-3)=x+3
El polinomio x3-3x2-13x+15
13x+15 se puede representar como (x2-6x+5)(x+3)
6x+5)(x+3), pero x2-6x+5 lo
podemos factorizar como se vio en el bloque 2, entonces x2-6x+5=(x-- 5)(x- 1) y el polinomio
x3-3x2-13x+15=(x- 5 )(x- 1) (x+3)=0,
(x+3)=0 por lo que sus raíces son:
x1=5,
x2=1
y
x3=-3