Cálculo diferencial de varias variables

CÁLCULO DIFERENCIAL PARA
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Vector Gradiente
Sea f : A ⊂ IRn → IR diferenciable en Å. Llamamos vector gradiente de f en a al
vector identificado canónicamente con df (a), es decir,


D1 f (a)


..

∇f (a) = 
.


Dn f (a)
Observación:
Si f es diferenciable en a, entonces D~v f (a) =< ∇f (a) | ~v > para todo ~v ∈ IRn , es decir,
cuando f es diferenciable, la derivada direccional se calcula como el producto escalar del
vector gradiente por el vector ~v .
Ejemplo:
Sea f (x, y) = ex+y , demostrar que f es diferenciable en (0, 0) y calcular D~v f (0, 0)
según la dirección ~v = √12 (1, 1)
Solución:
En primer lugar tenemos que probar que la función f es diferenciable, para ello calculamos
las derivadas parciales:
∂f
∂f
= ex+y
= ex+y
∂x
∂y
Como son funciones continuas por ser funciones elementales, la función f es diferenciable
en IR2 . En particular, f es diferenciable en (0, 0) y df (0, 0) = (1, 1).
µ ¶
1
El vector gradiente será ∇f (0, 0) =
y por tanto:
1
1
2
D~v f (0, 0) =< ∇f (0, 0) | ~v >=< (1, 1) | √ (1, 1) >= √
2
2
Interpretación geométrica de la diferencial: Plano tangente
Vamos a obtener una interpretación geométrica de la diferencial y del gradiente en
el caso de funciones de dos variables.
Sea f : A ⊂ IRn → IR diferenciable en (a, b) ∈ Å. Recordemos que D1 f (a, b) es la
pendiente de la recta tangente a la curva z = f (x, b) en el punto x = a. El vector
director de esta recta es (1, 0, D1 f (a, b)). Por otro lado D2 f (a, b) es la pendiente de
la recta tangente a la curva z = f (a, y) en el punto y = b. El vector director de esta
recta es (0, 1, D2 f (a, b)).
Finalmente, si ~v = (v1 , v2 ) es un vector unitario, D~v f (a, b) = v1 D1 f (a, b) +
v2 D2 f (a, b) y si cortamos la superficie con un plano vertical que contenga ~v y
pase por (a, b, f (a, b)), la tangente en dicho punto de la curva que se forma es
(v1 , v2 , D~v f (a, b)) = v1 (1, 0, D1 f (a, b)) + v2 (0, 1, D2 f (a, b)).
En definitiva, todos los vectores tangentes a las curvas contenidas en la superficie
que pasan por (a, b, f (a, b)) son combinación lineal de los vectores (1, 0, D1 f (a, b)) y
(0, 1, D2 f (a, b)).
16
14
12
10
8
6
4
2
0
4
2
0
−2
−4
−2
−4
0
2
4
Esto nos lleva a definir plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto (a, b)
como el plano que pasa por (a, b, f (a, b)) y contiene a los vectores (1, 0, D1 f (a, b)) y
(0, 1, D2 f (a, b)), es decir, al plano de ecuación cartesiana
¯
¯
¯
¯ x−a
1
0
¯
¯
¯
¯
y−b
0
1
¯=0
¯
¯
¯
¯ z − f (a, b) D f (a, b) D f (a, b) ¯
1
2
Ecuación del plano tangente a z = f (x, y) en (a, b).
Recta Normal
Como estamos en IR3 , el espacio ortogonal al plano tangente es una recta que denominaremos recta normal a la superficie f (x, y) en el punto (a, b, f (a, b)).
Para hallar su vector director basta desarrollar el determinante anterior:
−D1 f (a, b)x − D2 f (a, b)y + z − f (a, b) + aD1 f (a, b) + bD2 f (a, b) = 0
y por tanto
~n = (D1 f (a, b), D2 f (a, b), −1)
20
15
10
(1, 0, D1 f(a, b))
(0, 1, D2 f(a, b))
5
0
4
~n
2
4
2
0
0
−2
−4
−2
−4
Ejemplo:
Calcular el plano tangente a la superficie z = x2 + y 2 + 1 en el punto (0,0).
Solución:
Vemos en primer lugar que la función es diferenciable.

∂f

= 2x 

∂x
=⇒ existen y son continuas, luego f es diferenciable en IR2 .
∂f

= 2y 

∂y
à !
0
Además, ∇f (0, 0) =
. La ecuación del plano tangente es
0
¯
¯ ¯
¯
¯ ¯ x 1 0 ¯
¯ x−a
1
0
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯
¯
y−b
0
1
0=¯
¯ = ¯ y 0 1 ¯ =⇒ z − 1 = 0 Ec. plano tang.
¯
¯ ¯
¯
¯ z − f (a, b) D f (a, b) D f (a, b) ¯ ¯ z1 0 0 ¯
1
2
6
4
2
0
2
2
0
0
−2
−2
Paraboloide z = 1 + x2 + y 2 y plano tangente en (0, 0).
Ejemplo:
Calcular el plano tangente a la superficie z = xy en el punto (1,1).
Solución:
Vemos en primer lugar que la función es diferenciable.

∂f

=y 

∂x
=⇒ existen y son continuas, luego f es diferenciable en IR2 .
∂f

=x 

∂y
à !
1
Además, ∇f (1, 1) =
. La ecuación del plano tangente es
1
¯
¯ ¯
¯
¯ ¯ x−1 1 0 ¯
¯ x−a
1
0
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯
¯
y−b
0
1
0=¯
¯ = ¯ y − 1 0 1 ¯ =⇒ x + y − z + 1 = 0
¯
¯ ¯
¯
¯ z − f (a, b) D f (a, b) D f (a, b) ¯ ¯ z − 1 1 1 ¯
1
2
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
2
−4
−2
−1
0
0
1
2
−2
Paraboloide Hiperbólico z = xy y plano tangente en (1, 1).
Observación:
Notar como no siempre el plano tangente a una superficie en un punto la deja a toda ella
en el mismo lado, sino que también puede intersecar con ella.