Serie6.pdf

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Trabajo Práctico nº 6: Funciones Implícitas
Dada la ecuación F(x,y) = 0, decimos que define implícitamente a “y” como función de
“x”, en un entorno de P(𝑥0 , 𝑦0 ), si se verifica:
1) Existe por lo menos un punto P(𝑥0 , 𝑦0 ), llamado solución inicial, tal que F(𝑥0 , 𝑦0 )= 0.
2) F(x, y) como función de dos variables, es diferenciable, lo que equivale a decir que la
superficie F(x, y) admite plano tangente en P(𝑥0 , 𝑦0 ).
3)𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) ≠ 0, lo que asegura que el plano tangente a la superficie en ese punto no es
horizontal.
Entonces estas condiciones son suficientes para afirmar que en un entorno de P(𝑥0 , 𝑦0 )
existe la función y= f(x) continua y derivable, y su derivada vale:
y' = f' (x) =−𝐹𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) o lo que es igual 𝐹𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ). y ′ = 0
Las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y= f(x) definida implícitamente
por F(x, y) = 0 ,en P(𝑥0 , 𝑦0 ) son:
Recta Tangente:
𝐹𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ).( 𝑦 − 𝑦0 )= 0
ó
𝑦 − 𝑦0 =
−𝐹𝑥(𝑥 0 ,𝑦 0 ).
𝐹𝑦 (𝑥 0 ,𝑦0 ).
(𝑥 − 𝑥0 )
Recta Normal:
𝑦 − 𝑦0 =
𝐹𝑦 (𝑥 0 ,𝑦0 )
𝐹𝑥(𝑥 0 ,𝑦 0 )
(𝑥 − 𝑥0 )
De igual modo F(x,y,z) = 0 define implícitamente a una función z = f(x , y) si:
1) Existe P(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) /
F(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = 0
2) F es diferenciable.
3) 𝐹𝑧 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) ≠ 0
Luego, las derivadas parciales vienen dadas por : 𝑧𝑥 =
−𝐹𝑥
𝐹𝑧
,
La ecuación del plano tangente a z= f (x, y) en P( 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )
𝐹𝑦
𝑧𝑦 = − 𝐹
𝑧
es:
𝐹𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ). 𝑥 − 𝑥0 + 𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) . (𝑦 − 𝑦0 ) +𝐹𝑧 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 . 𝑧 − 𝑧0 = 0
Análogamente, la recta normal a la superficie en P( 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) es:
𝑥−𝑥 0
𝐹𝑥 (𝑥 0 ,𝑦0 ,𝑧0 )
=
𝑦 −𝑦0
𝐹𝑦 (𝑥 0 ,𝑦0 ,𝑧0 )
=
𝑧−𝑧0
𝐹𝑧 (𝑥 0,𝑦0 ,𝑧0 )
Ejercicios:
1) Dadas las ecuaciones F(x , y) = 𝑥 2 +𝑦 2 - 4 = 0 ; G(x , y ) = 𝑥 2 +𝑦 2 − 2𝑥𝑦 = 0
a) Encontrar por lo menos dos puntos soluciones de las ecuaciones dadas.
b) Verificar la existencia de “y” como función de “x”.
c) Calcular y' en esos puntos.
2) Dada la ecuación F(x , y) = 𝑥 2 +2𝑦 2 − 3𝑥𝑦 = 0
a) Investigar la existencia de y = f(x) , x = g(y) en un entorno de P (1,1)
b) Calcular las primeras derivadas, si existen, en ese punto.
c) Determinar las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a las curvas en ese
punto
3) Dada la ecuación F(x , y , z) = −2𝑥𝑦𝑧 − 8𝑥𝑧 2 / 𝑦 = 0.
Determinar la existencia de z= f(x , y) , x= g(y , z) , y= h(x , z) en un entorno de
P( 1,2,-1). Calcular, si existen, sus primeras derivadas parciales, la diferencial de z,
y las ecuaciones del plano tangente y la recta normal en ese punto.
4) Dada la ecuación F(x , y) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑥 − 3 = 0, que define implícitamente
a y= f(x). Hallar y' e y'' en forma implícita.