Tema 8. Métodos de Integración Integrales inmediatas 1. ∫ √ .

EUAT
Problemas de Cálculo Matemático
2008-2009
Tema 8. Métodos de Integración
Integrales inmediatas
1. ∫
𝑥𝑥 2
√𝑥𝑥
2
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 𝑥𝑥 2 √𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
5
2
1
4
5
1
2. ∫�𝑥𝑥 + √𝑥𝑥� 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 𝑥𝑥 3 + �√𝑥𝑥� + 𝑥𝑥 2 + 𝐶𝐶.
3
5
2
3
3. ∫ � 4 −
𝑥𝑥
√
1
𝑥𝑥 √𝑥𝑥
4. ∫ � 2 −
𝑥𝑥
𝑥𝑥
4
4
√𝑥𝑥
1
4
1
+ 2� 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: − +
2
5. ∫ �𝑥𝑥 2 + 3 � 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución:
𝑥𝑥
6. ∫
√
𝑥𝑥 3 +3√𝑥𝑥+1
𝑥𝑥 √𝑥𝑥
3
� 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 4� √𝑥𝑥 � −
2
𝑥𝑥 5
5
𝑥𝑥
3
1
10
8
+ 2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
√𝑥𝑥
3
3
+ 𝑥𝑥 2 √𝑥𝑥 2 + 3 √𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
5
4
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: �√𝑥𝑥� + 3 ln 𝑥𝑥 −
3
7. ∫ �6𝑥𝑥 3 + √2 + 3 +
𝑥𝑥
cos 2𝑥𝑥
𝑥𝑥 √𝑥𝑥
3
√𝑥𝑥
5
5
�√𝑥𝑥� + 𝐶𝐶.
3
2
√𝑥𝑥
+ 𝐶𝐶.
� 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 𝑥𝑥 4 + √2𝑥𝑥 −
8. ∫ 2 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 2𝑥𝑥 − tan 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
cos 𝑥𝑥
2
1
𝑥𝑥 2
+
6
13
6
13
� √𝑥𝑥 �
+ 𝐶𝐶.
cos 2𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: − cot 𝑥𝑥 − tan 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
9. ∫ 2
sen 𝑥𝑥 cos 2 𝑥𝑥
Integración por sustitución o cambio de variable
1
10. ∫ 𝑥𝑥√𝑥𝑥 2 + 1𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: �(𝑥𝑥 2 + 1)3 + 𝐶𝐶
11. ∫
12. ∫
𝑥𝑥
√2𝑥𝑥 2 +3
𝑥𝑥 2
√𝑥𝑥 3 +1
3
1
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: √2𝑥𝑥 2 + 3 + 𝐶𝐶.
2
2
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: √𝑥𝑥 3 + 1 + 𝐶𝐶.
3
1
13. ∫ 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
𝑥𝑥
14. ∫ 𝑒𝑒 cot(𝑒𝑒
15. ∫
16. ∫
ln (𝑥𝑥+1)
𝑥𝑥+1
ln 2 𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥 )
3
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: ln|sen(𝑒𝑒 𝑥𝑥 )| + 𝐶𝐶.
1
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: ln2 (𝑥𝑥 + 1) + 𝐶𝐶.
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución:
2
ln 3 𝑥𝑥
3
+ 𝐶𝐶.
1
17. ∫ tan 𝑥𝑥 sec 2 𝑥𝑥. Solución: tan2 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
18. ∫
19. ∫
sen 𝑥𝑥
cos 3 𝑥𝑥
tan 𝑥𝑥
cos 2 𝑥𝑥
Tema 8
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución:
1
2
2 cos 2 𝑥𝑥
1
+ 𝐶𝐶.
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: tan2 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
2
Página 1
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20. ∫
Problemas de Cálculo Matemático
cot 𝑥𝑥
sen 2 𝑥𝑥
1
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: − cot 2 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
𝑑𝑑𝑑𝑑
21. ∫
cos 2 (𝑥𝑥) �tan (𝑥𝑥)−1
23. ∫
�(1+cos 2𝑥𝑥)2
22. ∫
24. ∫
25. ∫
26.
cos 𝑥𝑥
�2 sen (𝑥𝑥)+1
sen 2𝑥𝑥
sen 2𝑥𝑥
√1+sen 2 𝑥𝑥
�tan (𝑥𝑥)+1
cos 2 𝑥𝑥
sen 3𝑥𝑥
2
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 2�tan(𝑥𝑥) − 1 + 𝐶𝐶.
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: �2 sen(𝑥𝑥) + 1 + 𝐶𝐶.
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución:
+ 𝐶𝐶.
2
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: �(tan(𝑥𝑥) + 1)3 + 𝐶𝐶.
3
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución:
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 3
√cos 4 3𝑥𝑥
1
2(1+cos 2𝑥𝑥)
𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 2√1 + sen2 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
cos 2𝑥𝑥
∫ (2+3 sen 2𝑥𝑥)3
27. ∫ 3
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Integración por partes
−1
12(2+3 sen 2𝑥𝑥)2
1
√cos 3𝑥𝑥
+ 𝐶𝐶.
+ 𝐶𝐶.
28. ∫ ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 𝑥𝑥 (ln 𝑥𝑥 − 1) + 𝐶𝐶.
29. ∫ ln(1 − 𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: −𝑥𝑥 − (1 − 𝑥𝑥) ln|1 − 𝑥𝑥| + 𝐶𝐶.
30. ∫ ln(𝑥𝑥 2 + 1) 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 𝑥𝑥 ln(𝑥𝑥 2 + 1) − 2𝑥𝑥 + 2 arctan 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
31. ∫ 𝑥𝑥 ln(𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución:
32. ∫ 𝑥𝑥 2 ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución:
𝑥𝑥 3
3
𝑥𝑥 2 −9
2
ln|𝑥𝑥 + 3| −
1
�ln 𝑥𝑥 − � + 𝐶𝐶.
3
𝑥𝑥 2
4
+
3𝑥𝑥
2
+ 𝐶𝐶.
33. ∫(𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6)𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 𝑒𝑒 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 13) + 𝐶𝐶.
1
34. ∫(𝑥𝑥 2 + 8) cos(3𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 𝑥𝑥 2 sen 3𝑥𝑥 +
3
70
27
2
sen 3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 cos 3𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
9
35. ∫ 𝑥𝑥 sen(1 − 𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 𝑥𝑥 cos(1 − 𝑥𝑥) + sen(1 − 𝑥𝑥) + 𝐶𝐶.
36. ∫ arcsen 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: 𝑥𝑥 arcsen 𝑥𝑥 + √1 − 𝑥𝑥 2 + 𝐶𝐶.
37. ∫ arctan √𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: (𝑥𝑥 + 1) arctan�√𝑥𝑥� − √𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
1
1
38. ∫ 𝑥𝑥 arctan 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. Solución: (𝑥𝑥 2 + 1) arctan(𝑥𝑥) − 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
2
Integración de funciones racionales
39. ∫
𝑥𝑥 5 +𝑥𝑥 4 −8
𝑥𝑥 3 −4𝑥𝑥
40. ∫ (𝑥𝑥 2
41. ∫
2
𝑑𝑑𝑑𝑑.
𝑥𝑥 4
𝑑𝑑𝑑𝑑.
−1) (𝑥𝑥+2)
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥 2 −6𝑥𝑥+5
.
𝑥𝑥 2
42. ∫ (𝑥𝑥+2)2 (𝑥𝑥−4)2 𝑑𝑑𝑑𝑑.
Tema 8
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(3𝑥𝑥+2)
2008-2009
𝑑𝑑𝑑𝑑.
43. ∫
𝑥𝑥 (𝑥𝑥+1)3
45. ∫
𝑥𝑥 (𝑥𝑥 2 +1)
𝑑𝑑𝑑𝑑
44. ∫ (𝑥𝑥−1)2 (𝑥𝑥+2)2 .
𝑑𝑑𝑑𝑑
.
𝑑𝑑𝑑𝑑
46. ∫ (𝑥𝑥−1)2 (𝑥𝑥 2
47. ∫ (𝑥𝑥 2
𝑑𝑑𝑑𝑑
.
+2)
.
+1) (𝑥𝑥 2 +2)
Integración de funciones trigonométricas
48. ∫ sen3 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑.
49. ∫ sen4 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑.
50. ∫ sen5 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑.
51. ∫ cos2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑.
52. ∫ cos3 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑.
53. ∫ sen3 𝑥𝑥 cos 4 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑.
54. ∫
cos 3 𝑥𝑥
sen 4 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑 .
55. ∫ tan3 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
56. ∫ cot 4 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑.
57. ∫ tan4 𝑥𝑥 sec 4 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑.
58. ∫ sen 𝑥𝑥 sen(3𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑.
59. ∫ cos (3𝑥𝑥) cos(7𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑.
60. ∫ cos(2𝑥𝑥) sen (4𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑.
61. ∫
62. ∫
sen 𝑥𝑥
1+sen 𝑥𝑥
cos 𝑥𝑥
1+cos 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑.
𝑑𝑑𝑑𝑑.
Integración de funciones irracionales
63. ∫ √4 − 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑.
64. ∫ √9 − 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑.
65. ∫ √25 − 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑.
66. ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑⁄√16 + 𝑥𝑥 2 .
67. ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑⁄√𝑥𝑥 2 − 9.
68. ∫ √1 + 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑.
Tema 8
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2008-2009
Métodos aproximados (rectángulos, trapecios, Simpson)
1 𝑑𝑑𝑑𝑑
69. Calcular de forma aproximada la integral ∫0
a) El método de los rectángulos.
1+𝑥𝑥
, utilizando (con 𝑛𝑛 = 4):
b) El método de los trapecios.
c) El método de Simpson.
d) Compárese con el valor exacto, ln 2 = 0.6931.
𝜋𝜋 ⁄2
70. Calcular aproximadamente la integral ∫0
para 𝑥𝑥 = 0°, 10°, … , 90°, utilizando:
a) El método de los trapecios.
sen2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑, tomando los valores de sen2 (𝑥𝑥)
b) El método de Simpson.
c) Comparar con el valor exacto 𝜋𝜋⁄4 .
5 𝑑𝑑𝑑𝑑
71. Calcular el valor aproximado de la integral ∫1
a) El método de los rectángulos.
𝑥𝑥
, utilizando (con 𝑛𝑛 = 12):
b) El método de los trapecios.
c) El método de Simpson.
1
72. Calcular el valor aproximado de ∫0 √1 − 𝑥𝑥 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 , según el método de los trapecios (𝑛𝑛 = 6).
73. Calcular el valor de 𝜋𝜋 partiendo de la igualdad
Simpson (𝑛𝑛 = 10).
𝜋𝜋
4
𝜋𝜋 ⁄2 sen 𝑥𝑥
74. Calcular el valor aproximado de la integral ∫0
(𝑛𝑛 = 10).
Tema 8
𝑥𝑥
1 𝑑𝑑𝑑𝑑
= ∫0
1+𝑥𝑥 2
, utilizando el método de
𝑑𝑑𝑑𝑑 , utilizando el método de Simpson
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