Momento de inercia de un cono

Momento de inercia de un cono de radio R, altura H masa M respecto a su centro de
gravedad
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El volumen del cono es V = πR2 H y su masa M = ρπR 2 H
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Consideramos un sistema de referencia tal que su eje de revolución es el eje OZ, y la base es
el plano XOY.
El momento de inercia respecto al centro de gravedad es la suma del momento de inercia
respecto al eje GZ y el momento de inercia respecto al plano perpendicular (XGY) que pasa
por él.
El momento de inercia respecto al eje GZ es I GZ = ∫∫∫ r 2 d m ;
consideramos un elemento diferencial de volumen dV = 2πrdzdr ,
situado a una distancia r del eje GZ. Es un cilindro hueco de radio
interior r, radio exterior r+dr y altura dz, por lo que la masa es
dm = ρ 2πrdzdr . La distancia z varia entre 0 (en la base) y H (en el
vértice) y la distancia r varía entre 0 (en el eje) y R. El momento de
inercia respecto a GZ es
I GZ = ∫∫∫ r 2 dm = ∫∫∫ r 2 ρ 2πrdrdz = ρ 2π ∫∫ zr 3dr donde el valor de z es
r⎞
⎛
variable, dependiendo de r, z = ⎜ 1 − ⎟ H , por tanto
R⎠
⎝
⎡ R4 R5 ⎤
⎛
r4 ⎞
R 4 ⎛ ρπHR 2 ⎞ 3 2 3
⎟⎟ R = MR 2
I GZ = ρ 2πH ∫ ⎜⎜ r 3 − ⎟⎟dr = 2πρH ⎢ −
ρπ
H
=
= ⎜⎜
⎥
R
4
5
R
10
3
10
⎠ 10
⎣
⎦
⎝
⎠
⎝
Aplicando el teorema de Steiner, el momento de inercia respecto al plano que pasa por el
centro de gravedad (XGY) es igual al momento de inercia respecto a un plano paralelo a él,
que pasa por la base, menos la masa por el cuadrado de la distancia que separa ambos planos
(el centro de gravedad se encuentra a H/4 de la base).
El momento de inercia respecto al plano que pasa por la base del cono es I base = ∫∫∫ z 2 d m
Elegimos un elemento diferencial de volumen, que
es un cilindro de radio r, situado a una distancia z de
Su
masa
es
dm = ρπr 2 dz ,
siendo
la
base.
r=
R
R2
( H − z ) . Por tanto r 2 = 2 ( H 2 + z 2 − 2 zH )
H
H
r
z
dz
Por tanto el momento de inercia respecto a la base es
I base = ρπ
R2
H2
∫ (H
H
2
)
z 2 + z 4 − 2 Hz 3 dz =
0
ρπR 2 ⎡ H 2 H 3
⎢
H2 ⎣
3
+
H5
H4⎤ 1
− 2H
ρπR 2 H 3 =
⎥=
5
4 ⎦ 30
1
⎛1
⎞1
= ⎜ ρπR 2 H ⎟ H 2 = MH 2 = I XOY
10
⎠ 10
⎝3
El momento de inercia respecto al plano paralelo que pasa por el centro de gravedad es,
aplicando el teorema de Steiner
I XGY =
IG =
3
MH 2
80
3
3
MH 2 + MR 2
80
10
1