Momento de inercia

Momento de inercia de un prisma recto de masa M, y lados a, b y c respecto a su centro
de gravedad
Consideramos un sistema de referencia cuyo origen
Z
es el vértice inferior izquierdo, y los ejes son
paralelos a las aristas. El volumen del prisma es
V = abc y su masa M = ρ abc
c
El momento de inercia respecto al centro de
Y
a
gravedad es la suma de los momentos de inercia
b
respecto a tres planos paralelos entre sí que se corten
en el, por tanto I G = I XGY + I XGZ + I YGZ
X
Calculamos los momentos de inercia respecto a los
Z
tres planos que se cortan en O, y por aplicación del
teorema de Steiner se calculan respecto a los planos
que pasan por G.
El momento de inercia respecto al plano que pasa por
c
su base es I base = I XOY = ∫∫∫ z 2 dm .
a
Y
V
b
Consideramos un elemento diferencial de volumen, a
una distancia z (0≤ z ≤c)del plano XOY, cuya masa
X
es dm = ρdV = ρabdz , por lo que
c
I base = I XOY = ∫∫∫ z ρabdz = ρab ∫ z 2 dz = ρab
2
0
V
c3
c 2 Mc 2
y el momento de inercia
= ( ρabc ) =
3
3
3
respecto al plano paralelo a la base, que pasa por el centro de gravedad es
2
I XGY =
Mc 2
Mc 2
⎛c⎞
− M⎜ ⎟ =
3
12
⎝ 2⎠
El momento de inercia respecto al plano lateral
Z
XOZ es I XOZ = ∫∫∫ y 2 dm .
y
V
Consideramos un elemento diferencial de volumen,
a una distancia y (0≤ y ≤b) del plano XOZ, cuya
c
Y
a
b
X
masa es
dm = ρdV = ρacdy , por lo que el
momento de inercia es
b
I XOZ = ∫∫∫ y 2 ρacdy = ρac ∫ y 2 dy = ρac
V
0
b3
b 2 Mb 2
= (ρabc ) =
3
3
3
y el momento de inercia respecto al plano perpendicular que pasa por el centro de gravedad es
2
I XGZ =
Mb 2
Mb 2
⎛b⎞
− M⎜ ⎟ =
3
12
⎝ 2⎠
El momento de inercia respecto al plano YOZ es
Z
I YOZ = ∫∫∫ x 2 dm .
V
Consideramos un elemento diferencial de volumen, a
una distancia x (0≤ x ≤a)del plano XOZ, cuya masa
c
Y
a
es dm = ρdV = ρbcdx , por lo que el momento de
inercia es
b
a
I YOZ = ∫∫∫ x 2 ρbcdx = ρbc ∫ x 2 dx = ρbc
X
V
0
a3
a 2 Ma 2
= ( ρabc )
=
3
3
3
y el momento de inercia respecto al plano paralelo, que pasa por el centro de gravedad es
2
I YGZ
Ma 2
Ma 2
⎛a⎞
=
− M⎜ ⎟ =
3
12
⎝ 2⎠
El momento de inercia respecto al centro de gravedad es I G =
(
M a2 + b2 + c2
12
)
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